四川省遂宁市2022-2023学年高二数学（理）上学期期末教学水平监测试题（Word版附解析）

遂宁市高中2024届第三学期教学水平监测数学（理科）试题本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。总分150分。考试时间120分钟。第Ⅰ卷（选择题，满分60分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。3．考试结束后，将答题卡收回。一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知直线与直线平行，则a值为A．2B．C．8D．42．已知a、b为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列说法正确的是A．若，，则B．若，，，则C．若，，则D．若，，，则3．已知点A与点关于直线对称，则点A的坐标为A．B．C．D．4．宋元时期，中国数学鼎盛时期中杰出的数学家有“秦〔九韶〕､李〔冶〕､杨〔辉〕､朱〔世杰〕四大家”，朱世杰就是其中之一.他的著作《算学启蒙》中，记载有这样一个“松竹并生”的问题：松长四尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.如图是源于其思想的一个程序框图.若输入的a，b分别为4，2，则输出的n=高二数学（理科）试题第10页（共10页）学科网（北京）股份有限公司 A．2B．3C．4D．55．关于用统计方法获取、分析数据，下列结论错误的是A.质检机构为检测一大型超市某商品的质量情况，合理的调查方式为抽样调查B．若甲､乙两组数据的标准差满足，则可以估计甲比乙更稳定C.若数据的平均数为,则数据的平均数为D．为了解高一学生的视力情况，现有高一男生200人，女生400人，按性别进行分层抽样，样本量按比例分配，若从女生中抽取的样本量为80，则男生样本容量为606．若圆与圆有且仅有3条公切线，则m=A．14B．28C．9D．7．若x，y满足约束条件，且的最大值为12，则正实数m的值为　　A．1B．2C．4D．88．如图，在直棱柱中，为BC的中点，F为的中点，则异面直线AF与所成角的正弦值为A．B．C．D．9．从非洲蔓延到东南亚的蝗虫灾害严重威胁了国际农业生产，影响了人民生活.世界性与区域性温度的异常、旱涝频繁发生给蝗灾发生创造了机会.已知蝗虫的产卵量y与温度x的关系可以用模型（其中e为自然对数的底数）拟合，设，其变换后得到一组数据：x2023252730z22.4334.6高二数学（理科）试题第10页（共10页）学科网（北京）股份有限公司 由上表可得经验回归方程，则当x＝35时，蝗虫的产卵量y的估计值为A．B．C．8D．10．已知直线与圆交于A，B两点，且，则k=A．2B．C．D．111．已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，是边长为2的正三角形，SC为球O的直径，且SC=4，则此棱锥的体积为A．B．C．D．12．如图，棱长为2的正方体中，P为线段上动点（包括端点）．①三棱锥中，点P到面的距离为定值②过点P且平行于面的平面被正方体截得的多边形的面积为③直线与面所成角的正弦值的范围为④当点P为中点时，三棱锥的外接球表面积为以上命题为真命题的个数为A．1B．2C．3D．4第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）注意事项：1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，则图中m的值▲．高二数学（理科）试题第10页（共10页）学科网（北京）股份有限公司 甲乙7239m324814．已知点A在圆C：上，点B在直线上，则最小值是▲.15．下图为一个多面体的直观图和三视图，M是AB的中点，一只蝴蝶在几何体ADF-BCE内自由飞舞，则它飞入几何体EF-MBC内的概率为▲.16．已知实数x，y满足，则的最大值为▲.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（本小题10分）已知的三个顶点分别是A（4,0），B（6,6），C（0,2）．（1）求BC边上的高所在直线的方程；（2）求AB边的垂直平分线所在直线的方程．▲18.（本小题12分）如图，在四棱锥中，底面，且底面为正方形，分别是的中点．（1）求证：；（2）求证：.高二数学（理科）试题第10页（共10页）学科网（北京）股份有限公司 ▲19.（本小题12分）某次人才招聘活动中，某公司计划招收600名新员工.由于报名者共2000人，远超计划，故该公司采用笔试的方法进行选拔，并按照笔试成绩择优录取.现采用随机抽样的方法抽取200名报名者的笔试成绩，绘制频率分布直方图如图:已知图中左边四个小长方形的高度自左向右依次构成公比为2的等比数列.根据频率分布直方图解答以下问题:（1）求m；（2）估计此次笔试的平均成绩;（3）估计该公司此次招聘的录取分数线.▲20.（本小题12分）已知袋子中放有大小和形状相同，标号分别是0，1，2的小球，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球2个，标号为2的小球1个.从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的球标号为b.记“”为事件A.（1）求事件A的概率；（2）在区间内任取2个实数x，y，求事件“”恒成立的概率.▲21.（本小题12分）在多面体中，平面平面，四边形为直角梯形，，，，，，为的中点，且点满足．高二数学（理科）试题第10页（共10页）学科网（北京）股份有限公司 （1）求证：平面；（2）当多面体的体积最大时，求二面角的余弦值．▲22.（本小题12分）平面直角坐标系中，已知圆的半径为2，圆心在y轴的正半轴上，直线与圆相切．（1）求圆的方程；（2）设，过点作直线，交圆于P、Q两点，不在y轴上，过点作与直线垂直的直线，交圆于、两点，记四边形的面积为，求的最大值．▲高二数学（理科）试题第10页（共10页）学科网（北京）股份有限公司 遂宁市高中2024届第三学期教学水平监测数学（理科）试题参考答案及评分意见一、选择题（5×12=60分）题号123456789101112答案BCCBDAACABDD二、填空题（每小题5分，共4小题，共20分）13.314.15.16.三、解答题（本大题70分）17．(10分）（1）边所在的直线的斜率，…………………………………………2分因为边上的高与垂直，所以边上的高所在直线的斜率为．……3分又边上的高经过点，所以边上的高所在的直线方程为，即．…………………………………………………………………5分（2）同理边所在的直线的斜率，……………………………………6分所以边的垂直平分线的斜率为，…………………………………………7分边中点E的坐标是，即，………………………………8分所以AC边的垂直平分线的方程是即．……………………………………10分18.(12分）（1）平面，平面，；………………………2分四边形为正方形，；平面，，平面，………………4分又平面，；分别为的中点,,.………6分（2）四边形为正方形，且E，G分别为AB，DC边的中点.………8分由（1）知，…………9分高二数学（理科）试题第10页（共10页）学科网（北京）股份有限公司 又………………………………………………………………12分19.(12分）解:（1）根据频率分布直方图各小长方形面积之和为1,结合题意得×10m+0.2+0.15+0.05=1,解得m=0.032.……………………………4分（2）由频率分布直方图,得样本数据的平均值可估计为35×0.04+45×0.08+55×0.16+65×0.32+75×0.20+85×0.15+95×0.05=67.1,∴此次笔试的平均成绩可估计为67.1分.……………………………………………8分（3）根据题意,录取率为=0.3,故应录取成绩最高的30%的报名者,…………………9分根据频率直方图可得,80~100分占总体的比例可估计为20%,70~100分占总体的比例可估计为40%,故录取分数线在70~80分之间,设录取分数线为x,则0.2+0.15+0.05=0.3,解得x=75,∴估计该公司此次招聘的录取分数线为75分.………………………………………12分20.(12分）（1）将标号为0的小球记为0，标号为1的小球记为A，B，标号为2的小球记为2，则从袋子中两次不放回地随机抽取2个小球可能的结果为：共12种(4分)事件A包含4种：，所以；………………………6分（2）因为的最大值为4，所以事件B等价于恒成立，………………8分可以看做平面中的点，则全部结果所构成的区域，事件B所构成的区域，则.……………………………………………………………12分21.(12分）（1）取AB，EB中点M，N，连接CM，MN，ND，在梯形ACDE中，且DC=EA，…………………2分而M，N分别为BA，BE中点，∴MN//EA，MN=EA，高二数学（理科）试题第10页（共10页）学科网（北京）股份有限公司 ∴MN//CD，MN=CD，即四边形CDNM是平行四边形，∴CM//DN，又，N为EB中点，∴为EN中点，又F为ED中点，∴，故，………………………………………………………4分又CM平面ABC，GF平面ABC，∴平面ABC.…………………………5分（2）在平面ABC内，过B作BH⊥AC交AC于H．∴平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE平面ABC=AC，BH平面ABC，BH⊥AC，∴BH⊥平面ACDE，则BH为四棱锥B-ACDE的高，又底面ACDE面积确定，要使多面体ABCDE体积最大,即BH最大，此时AB=BC=，，为AC的中点，………………7分连结，易得，易知HB，HC，HF两两垂直，以为原点建立如图所示的平面直角坐标系H-xyz，∴，则，设为平面ABE的一个法向量，则，即，取，…………………………8分设为平面DBE的一个法向量，则，即，取，…………………………10分∴，∴二面角A-BE-D的余弦值为.………………………………………………12分22．(12分）（1）设圆心为(0,a)，a>0，则圆的方程为∴，……………………………………………………………………2分∴a＝2，∴圆C的方程为；…………………………………………4分（2）设直线的方程为，即，则圆心到直线的距离，所以，………………………………………………6分高二数学（理科）试题第10页（共10页）学科网（北京）股份有限公司 （i）若，则直线斜率不存在，则，，则，………………………………………………………………7分（ii）若，则直线得方程为，即，则圆心到直线的距离，所以，………………………………………………9分则……………………10分，当且仅当，即时，等号成立，综上所述，因为，所以S的最大值为7．…………………………………12分高二数学（理科）试题第10页（共10页）学科网（北京）股份有限公司