云南省红河州2023届高三数学第一次复习统一检测（一模）试题（Word版附解析）

秘密★启用前红河州2023届高中毕业生第一次复习统一检测数学注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、学校、班级、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将答题卡交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合，，则（）A．B．C．D．2．复数与下列哪个复数相等（）A．B．C．D．3．已知向量，，且，则实数（）A．2B．C．8D．4．中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地，茶文化是把茶、赏茶、闻茶、饮茶、品茶等习惯与中国的文化内涵相结合而形成的一种文化现象，具有鲜明的中国文化特征．其中沏茶、饮茶对水温也有一定的要求，把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温 度是，经过t分钟后物体的温度为θ℃，满足公式．现有一壶水温为92℃的热水用来湖茶，由经验可知茶温为52℃时口感最佳，若空气的温度为12℃，那从沏茶开始，大约需要（）分钟饮用口感最佳．（参考数据；，）A．2.57B．2.77C．2.89D．3.265．如图所示是一块边长为10cm的正方形铝片，其中阴影部分由四个全等的等腰梯形和一个正方形组成，将阴影部分裁剪下来，并将其拼接成一个无上盖的容器（铝片厚度不计），则该容器的容积为（）A．B．C．D．6．一组数据为148，150，151，153，153，154，155，156，156，158，163，165，则这组数据的上四分位数是（）A．151B．152C．156D．1577．古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个命题：平面内与两定点的距离的比为常数k（且）的点的轨迹为圆，后人将这个圆称为阿波罗尼奥斯圆．已知点O（0，0），A（5，0），圆C：上有且只有一个点P满足，则r的值是（）A．2B．8C．8或14D．2或148．已知函数．若为偶函数．的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列。将函数图象 上每一点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位后得到函数的图象，则（）A．0B．－2C．1D．－1二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．某校高三一名数学教师从该校高三学生中随机抽取男、女生各50名进行了身高统计，得到男、女身高分别近似服从正态分布N（173，11）和N（164，9），并对其是否喜欢体育锻炼进行数据统计，得到如下2×2列联表：喜欢不喜欢合计男生37m50女生n3250合计5545100参考公式：α0.010.0050.0016.6357.87910.828则下列说法正确的是（）A．，B．男生身高的平均数约为173，女生身高的平均数约为164C．男生身高的标准差约为11，女生身高的标准差约为9D．依据的独立性检验，认为喜欢体育锻炼与性别有关联10．已知，，且，则下列说法正确的是（）A．B．C．D．11．三棱锥P－ABC的四个顶点都在球O上，且PA⊥底面ABC，，，则下列说法正确的是（） A．B．球心O在三棱锥的外部C．球心O到底面ABC的距离为2D．球O的体积为12．已知函数，则下列说法正确的是（）A．函数有两个极值点B．若关于x的方程恰有1个解，则C．函数的图象与直线有且仅有一个交点D．若，且，则无最值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．的展开式中的系数为．（用数字作答）14．在数列中，，，若为等比数列，则．15．已知函数，则不等式的解集为．16．已知双曲线E：的左、右焦点分别为、，若E上存在点P，满足为坐标原点），且的内切圆的半径等于a，则E的离心率为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知正项数列圆器的前n项和为，且满足．（1）求数列的通项公式：（2）若，数列的前n项和为，证明：．18．（12分） 在①，②这两个条件中任选一个，补充到下面横线上，并解答．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求∠A；（2）若，，求△ABC的面积．（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．）19．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，A，B，C，D四点共面，，，AF⊥平面ABCD，．（1）求证：CD⊥平面ADF；（2）若，，求平面BEF和平面DEF的夹角的余弦值．20．（12分）在某校举办“青春献礼二十大，强国有我新征程”的知识能力测评中，随机抽查了100名学生，其中共有4名女生和3名男生的成绩在90分以上，从这7名同学中每次随机抽1人在全校作经验分享，每位同学最多分享一次记第一次抽到女生为事件A，第二次抽到男生为事件B．（1）求，，（2）若把抽取学生的方式更改为：从这7名学生中随机抽取3人进行经验分享，记被抽取的3人中女生的人数为X，求X的分布列和数学期望．21．（12分）已知P为抛物线E：上任意一点，过点P作轴，垂足为O，点C（7，8）在抛物线上方（如图所示），且的最小值为9． （1）求E的方程；（2）若直线与抛物线E相交于不同的两点A，B，线段AB的垂直平分线交x轴于点N，且△ABN为等边三角形，求m的值．22．（12分）已知函数，曲线在点处的切线与直线平行．（1）求a的值；（2）若时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．红河州2023届高中毕业生第一次复习统一检测数学参考答案及评分标准评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半：如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。4．只给整数分数，单项选择题不给中间分。一、选择题（1－8为单选题，每小题5分，9－12为多选题，每小题全部选对得5分，部分选对得2分，有错选的得0分．）题号123456789101112 答案CADBBDDAABDBCABDAC1．C【解析】集合，，所以，故选C．2．A【解析】因为，由，，故选A．3．D【解析】由题意得，，由．得，所以，故选D．4．B【解析】由题意得，代入数据得，整理得，即，解得，故选B．5．B【解析】由题知，该容器的容积就是正四棱台的体积，如图，连接正四棱台上下底面的中心，，因为该正四棱台上、下底面边长分别为2，6，等腰梯形的斜高为4，所以该棱台的高，下底面面积，上底面面积，所以该容器的容积是，故选B．6．D 【解析】依题意，，所以所给数据的上四分位数是，故选D．7．D【解析】设P（x，y），由，得，化简并整理得点P的轨迹方程为，其圆心为（－4，0），半径为6．又因为点P在圆C；上，圆C的圆心为（4，0），半径为r．由题意知，两圆相切，且圆心距为8．若两圆外切，则有，解得：若两圆内切，则有，解得．故选D．8．A【解析】由的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，可以得到函数的周期，；由为偶函数，可得的图象关于直线对称，所以，，因为，所以，，则将函数图象上每一点的横坐标缩短为原来的，得到，再向左平移个单位得到函数，，故选A．9．ABD【解析】对于A．因为，，算得，，故A正确：对于B，在正态分布中，μ约为平均数，所以男生身高的平均数约为173，女生身高的平均数约为164，故B正确；对于C，在正态分布中，为方差，为标准差，男生身高的标准差为，女生身高的标准差为3，故C不正确； 对于D，由，故D正确．故选ABD．10．BC【解析】对于A，由，得，当且仅当时，等号成立，解得，即，故A不正确；对于B，由，得，当且仅当时，等号成立即，解得，或（舍去），故B正确；对于C，，令，，即，故C正确；对于D，，令，，即，故D不正确，故选BC．11．ABD【解析】对于A，在△ABC中，由余弦定理得，即，故A正确；对于B，如图，设△ABC外接圆的圆心为，连接，则底面ABC，又PA⊥底面ABC，所以，由，得圆心在△ABC外部，故球心O在三棱锥的外部，故B正确；对于C，取线段PA的中点Q，连接OO，因为PA是球O的一条弦，所以，所以四边形为矩形，故，即球心O到底面ABC的距离为1，故C不正确； 对于D，设球O的半径为R，圆的半径为r，由正弦定理得，所以，进而，球的体积为，故D正确，故选ABD．12．AC．【解析】的图象为对于A，由图可知，和是函数的两个极值点，故A正确；对于B，若函数恰有1个零点，或，故B不正确；对于C，因为函数在点处的切线为，函数在处的切线为，如图所示，易知当，即时，的图象与直线恰有一个交点；当，即时，令，得，令，则，，由二次函数的图象及零点存在定理可知，方程有且只有一个实数根；当，即时，令 ，设，，则（仅当时取等号），即函数在上单调递增，由于，，所以函数有且仅有一个实数根；故C正确．对于D，由，则，，，则，设，则，设，显然在上单调递增，且，，所以存在，使，且当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以存在最小值，故D不正确；故选AC．三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．题号13141516答案1412713．14【解析】因为在中的系数为，的系数为，所以的展开式中的的系数．14．127【解析】设等比数列的公比为q，则，所以 ，故．15．【解析】因为，，所以在R上单调递增，不等式可化为；又因为为奇函数，所以，所以，即，解得．16．【解析】因为，所以，，又因为P在双曲线上，所以，联立可得，，所以，因为的内切圆的半径为a，所以，即，即，所以，两边平方得，即，两边同时除以，得，，因为，所以．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）解：（1）因为，所以．当时，可知，解得， 当时，，两式相减，得，即，又因为，所以，所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，所以．（2）由（1）知．所以，因为，所以．18．（12分）解：（1）选①，由正弦定理，得．所以．化简为．由余弦定理．由于所以． 选②．由正弦定理．，得．化简得由两角和的正弦公式得．由诱导公式化简得．因为，，所以．由于所以．（2）由题意知，，由，得．即．由余弦定理，．因为，因为，，所以．即△ABC为边长是4的等边三角形．．19．（12分）解：（1）因为AF⊥平面ABCD，所以CD⊥AF，AD⊥AF．因为AF∥CE，所以CE⊥平面ABCD，所以CE⊥CD．所以在Rt△AFD和Rt△CED中，由勾股定理得 ，．又因为，所以，即CD⊥AD．由，所以CD⊥平面ADF．（2）由（1）得CD⊥AD，当时，点D在线段AC的垂直平分线上，D到直线AC的距离为1，由，AF⊥平面ABCD，故以点A为坐标原点，建立如图所示空间直角标系．则，，，，，，．设平面BEF的一个法向量为，由，得，令，得．设平面DEF的一个法向量为，则由，得，令，得．则．所以平面BEF和平面DEF的夹角的余弦值为．20．（12分）解：（1）方法一： “第一次抽到女生且第二次抽到男生”就是事件AB：“第一次抽到男生且第二次抽到男生”就是事件，从7个同学中每次不放回地随机抽取2人，试验的样本空间Ω包含42个等可能的样本点，即．因为，，所以，方法二：“在第一次抽到女生的条件下，第二次抽到男生”的概率就是事件A发生的条件下，事件B发生的概率，显然，利用条件概率公式得．（2）被抽取的3人中女生人数X的取值为0，1，2，3，，X的分布列：X0123PX的数学期望21．（12分）解： （1）抛物线E：的焦点，准线方程为，所以，故，又因为的最小值为9，所的最小值为，当且仅当点C，P，F三点共线时，取得最小值，此时，解得，故抛物线E的方程为；（2）联立，消去x得，由，得，设，，则有，，所以，设线段AB的中点，则，，即，直线MN的斜率，直线MN的方程为：，令，得，即，所以，，又因为△ABN为等边三角形，所以， 所以，解得，且满足，故所求m的值为．22．（12分）解：（1）的定义域为．因为曲线在点处的切线与直线平行，所以，即．解得：或，由已知条件，故可求得实数．（2）解法一；，不等式，即．设，，则恒成立．，令，．①若，则，在上单调递增，，不符合题意；②若，则，二次函数的对称轴，在上单调递增，则，，所以，不符合题意； ③若，则，（ⅰ）当，即时，在上单调递减，，所以，在上单调递减，，符合题意；（ⅱ）当，即时，在上单调递增，此时，，不符合题意；综上所述，m的取值范围为．解法二：对于，不等式恒成立，即任意的，不等式恒成立．①当时，原不等式即，显然成立此时．②当时，原不等式即．令．∴．令，则恒成立．所以在恒成立．从而在单调递减． 所以，此时．综合①，②，得m的取值范围为．解法三：，不等式，即．设，．，由于，所以恒成立的必要条件是，∴当，，∴当且仅当时，等号成立，所以，在上单调递减，所以，．所以，m的取值范围为．