北师大版数学九年级下册 3.6 第2课时 切线的判定及三角形的内切圆 课件

3.6直线和圆的位置关系第三章圆第2课时切线的判定及三角形的内切圆 砂轮上打磨工件时飞出的火星下图中让你感受到了直线与圆的哪种位置关系？如何判断一条直线是否为切线呢？情境引入 问题1如图，OA是⊙O的半径，经过OA的外端点A，作一条直线l⊥OA，圆心O到直线l的距离是多少？直线l和⊙O有怎样的位置关系？合作探究ll圆的切线的判定 圆心O到直线l的距离等于半径OA.由圆的切线定义可知直线l与圆O相切.ll 过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线.OA为⊙O的半径BC⊥OA于ABC为⊙O的切线ABC切线的判定定理应用格式O要点归纳 在此定理中，“经过半径的外端点”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线.下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？(1)不是，因为没有垂直.(2)，(3)不是，因为没有经过半径的外端点A.判一判注意O.AO.ABAO(1)(2)(3) 判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线;2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.lAlOlrd要点归纳OO 用三角尺过圆上一点画圆的切线.做一做(2)过点P沿着三角尺的另一条直角边画直线l，则l就是所要画的切线.如图所示.如下图所示，已知⊙O上一点P，过点P画⊙O的切线．画法：(1)连接OP，将三角尺的直角顶点放在点P处，并使一直角边与半径OP重合；为什么画出来的直线l是⊙O的切线呢？ 例1已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线.OBAC证明：连接OC.∵OA＝OB，CA＝CB，∴OC是等腰△OAB底边AB上的中线.∴AB⊥OC.∵OC是⊙O的半径，∴AB是⊙O的切线.典例精析 例2如图，△ABC中，AB＝AC，O是BC的中点，⊙O与AB相切于E.求证：AC是⊙O的切线．BOCEA分析：根据切线的判定定理，要证明AC是⊙O的切线，只要证明由点O向AC所作的垂线段OF是⊙O的半径就可以了，而OE是⊙O的半径，因此只需要证明OF=OE.F 证明：连接OE，OA，过O作OF⊥AC.∵⊙O与AB相切于E，∴OE⊥AB.又∵在△ABC中，AB＝AC，O是BC的中点．∴AO平分∠BAC，FBOCEA∴OE＝OF.∵OE是⊙O半径，OF＝OE，OF⊥AC.∴AC是⊙O的切线．又∵OE⊥AB，OF⊥AC. 例1例2(1)已明确直线和圆有公共点，连结圆心和公共点，即半径，再证直线与半径垂直.简记“有交点，连半径,证垂直”；(2)不明确直线和圆有公共点，过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径.简记“无交点，作垂直，证半径”.方法归纳证切线时辅助线的添加方法 例3如何作圆，使它和已知三角形的各边都相切？已知：△ABC.求作：和△ABC的各边都相切的圆O.分析：如果圆O与△ABC的三条边都相切，那么圆心O到三条边的距离都等于______，从而这些距离相等.半径到一个角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上，因此圆心O是∠A的__________与∠B的___________的___点.平分线平分线交三角形的内切圆及内心 作法：1.作∠B和∠C的平分线BM和CN，交点为O.2.过点O作OD⊥BC.垂足为D.3.以O为圆心，OD为半径作圆O.☉O就是所求的圆.MNDO 观察与思考与△ABC的三条边都相切的圆有几个？因为∠B和∠C的平分线的交点只有一个,并且交点O到△ABC三边的距离相等且唯一，所以与△ABC三边都相切的圆有且只有一个.D 1.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.B2.三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心.4.三角形的内心就是三角形的三条角平分线的交点.┐ACO┐┐DEF3.三角形的内心到三角形的三边的距离相等.⊙O是△ABC的内切圆，点O是△ABC的内心.概念学习 名称确定方法图形性质外心：三角形外接圆的圆心内心：三角形内切圆的圆心三角形三边中垂线的交点1.OA=OB=OC2.外心不一定在三角形的内部．三角形三条角平分线的交点1.到三边的距离相等；2.OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；3.内心在三角形内部．ABOABCO填一填C 例4△ABC中，⊙O是△ABC的内切圆，∠A=70°，求∠BOC的度数.ABCO解：∵∠A=70°∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=110°∵⊙O是△ABC的内切圆∴BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线即∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB典例精析 ∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-×110°=125°.ABCO （√）1.判断下列命题是否正确.(1)经过半径外端的直线是圆的切线.(2)垂直于半径的直线是圆的切线.(3)过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线.(5)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线.(6)三角形的内心是三角形三个角平分线的交点.(7)三角形的内心到三角形各边的距离相等.(8)三角形的内心一定在三角形的内部.（×）（×）（√）（√）（√）（√） 2.如图，⊙O内切于△ABC，切点D、E、F分别在BC、AB、AC上．已知∠B＝50°，∠C＝60°，连接OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于()A．40°B．55°C．65°D．70°解析：∵∠B＝50°，∠C＝60°，∴∠A＝70°.∵D、E、F为⊙O的切点，∴∠OEA＝∠OFA＝90°.∴∠EOF＝360°－∠A－∠OEA－∠OFA＝110°.∴∠EDF＝∠EOF＝55°.B ·BDEFOCA3.如图，△ABC的内切圆的半径为r，△ABC的周长为l，求△ABC的面积S.解：设△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，则OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC.∴S△ABC＝S△AOB＋S△BOC＋S△AOC＝AB·OD＋BC·OE＋AC·OF＝l·r 设△ABC的三边为a、b、c，面积为S，则△ABC的内切圆的半径r＝；当△ABC为直角三角形，a、b为直角边时，r=.2sa＋b＋caba＋b＋c知识拓展 证明：连接OP.∵AB=AC，∴∠B=∠C.∵OB=OP，∴∠B=∠OPB.∴∠OPB=∠C.∴OP∥AC.∵PE⊥AC，∴PE⊥OP.∴PE为⊙O的切线.4.如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P，PE⊥AC于E.求证:PE是⊙O的切线.OABCEP 5.如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M.求证：CD与⊙O相切．证明：连接OM，过点O作ON⊥CD于点N，∵⊙O与BC相切于点M，∴OM⊥BC.又∵ON⊥CD，O为正方形ABCD对角线AC上一点，∴OM＝ON∴CD与⊙O相切．MN 6.已知：△ABC内接于☉O，过点A作直线EF.(1)如图1，AB为直径，要使EF为☉O的切线，还需添加的条件是（只需写出两种情况）：①_________；②_____________.(2)如图2，AB是非直径的弦，∠CAE=∠B，求证：EF是☉O的切线.BA⊥EF∠CAE=∠BAFEOAFEOBCBC图1图2 证明：连接AO并延长交☉O于D，连接CD，则AD为☉O的直径.∴∠D+∠DAC=90°.∵∠D与∠B同对，∴∠D=∠B.又∵∠CAE=∠B,∴∠D=∠CAE.∴∠DAC+∠EAC=90°.∴EF是☉O的切线.AFEOBC图2D 7.如图，已知E是△ABC的内心，∠A的平分线交BC于点F，且与△ABC的外接圆相交于点D.(1)证明：∵E是△ABC的内心，∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠CAD.又∵∠CBD＝∠CAD，∴∠BAD＝∠CBD.∴∠CBE＋∠CBD＝∠ABE＋∠BAD.即∠DBE＝∠DEB，故BD＝ED.(1)求证：BD＝ED； (2)若AD＝8cm，DF∶FA＝1∶3.求DE的长．(2)解：∵AD＝8cm，DF∶FA＝1∶3，∴DF＝AD＝×8＝2(cm)．∵∠CBD＝∠BAD，∠D＝∠D，∴△BDF∽△ADB，∴，∴BD2＝AD·DF＝8×2＝16，∴BD＝4cm，又∵BD＝DE，∴DE＝4cm. 切线的判定方法定义法数量关系法判定定理1个公共点，则相切d=r，则相切经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线证切线时常用辅助线添加方法：①有公共点，连半径，证垂直；②无公共点，作垂直，证半径.三角形内切圆有关概念内心概念及性质