苏教版必修第二册课后习题15.3 第1课时 互斥事件

15.3　互斥事件和独立事件第1课时　互斥事件1.已知100件产品中有5件次品,从这100件产品中任意取出3件,设E表示事件“3件产品全不是次品”,F表示事件“3件产品全是次品”,G表示事件“3件产品中至少有1件次品”,则下列结论正确的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　A.F与G互斥B.E与G互斥但不对立C.E,F,G任意两个事件均互斥D.E与G对立答案D解析由题意得,事件E与事件F不可能同时发生,是互斥事件;事件E与事件G不可能同时发生,是互斥事件;当事件F发生时,事件G一定发生,所以事件F与事件G不是互斥事件,故A,C错.事件E与事件G中必有一个发生,所以事件E与事件G对立,所以B错误,D正确.2.许洋说:“本周我至少做完三套练习题.”设许洋所说的事件为A,则A的对立事件为(　　)A.至多做完三套练习题B.至多做完两套练习题C.至多做完四套练习题D.至少做完两套练习题答案B解析至少做完3套练习题包含做完3,4,5,6,…套练习题,故它的对立事件为做完0,1,2套练习题,即至多做完2套练习题.3.某产品共有三个等级,分别为一等品、二等品和不合格品.从一箱产品中随机抽取1件进行检测,若“抽到一等品”的概率为0.65,“抽到二等品”的概率为0.3,则“抽到不合格品”的概率为(　　)A.0.95B.0.7C.0.35D.0.05 答案D解析设事件A为“抽到一等品”,事件B为“抽到二等品”,事件C为“抽到不合格品”,因为事件A与B是互斥事件,所以P(A+B)=0.65+0.3=0.95,P(C)=1-P(A+B)=0.05.4.某学校高一年级派甲、乙两个班参加学校组织的拔河比赛,甲、乙两个班取得冠军的概率分别为13和14,则该年级在拔河比赛中取得冠军的概率为(　　)A.712B.112C.512D.13答案A解析“甲班取得冠军”和“乙班取得冠军”是两个互斥事件,该校高一年级取得冠军是这两个互斥事件的和事件,其概率为两个互斥事件的概率之和,即为13+14=712.5.从一批羽毛球产品中任取一个,质量小于4.8g的概率为0.3,质量小于4.85g的概率为0.32,那么质量在[4.8,4.85)(g)范围内的概率是　　　　. 答案0.02解析从羽毛球产品中任取一个,A={质量小于4.8g},B={质量在[4.8,4.85)(g)范围内},C={质量小于4.85g},P(A)=0.3,P(C)=0.32,由P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B),得P(B)=P(C)-P(A)=0.32-0.3=0.02.6.已知射手甲射击一次,命中9环以上(含9环)的概率为0.5,命中8环的概率为0.2,命中7环的概率为0.1,则甲射击一次,命中6环以下(含6环)的概率为　　　　. 答案0.2解析设“命中9环以上(含9环)”为事件A,“命中8环”为事件B,“命中7环”为事件C,“命中6环以下(含6环)”为事件D,则D与A+B+C对立,已知P(A)=0.5,P(B)=0.2,P(C)=0.1,又A,B,C三个事件两两互斥,∴P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.8,∴P(D)=1-0.8=0.2.7.如果事件A与B是互斥事件,且事件A+B的概率是0.8,事件A的概率是事件B的概率的3倍,则事件A的概率为　　　　. 答案0.6解析依题意得P(A)+P(B)=0.8,P(A)=3P(B),解得P(A)=0.6. 8.国家射击队的队员为在世界射击锦标赛上取得优异成绩加紧备战,经过近期训练,某队员射击一次命中7~10环的概率如下表所示:命中环数10987概率0.320.280.180.12求该射击队员在一次射击中:(1)命中9环或10环的概率;(2)至少命中8环的概率;(3)命中不足8环的概率.解记事件“射击一次,命中k环”为Ak(k∈N,k≤10),则事件Ak之间彼此互斥.(1)设“射击一次,命中9环或10环”为事件A,那么当A9,A10之一发生时,事件A发生,由互斥事件概率的加法公式得P(A)=P(A9)+P(A10)=0.28+0.32=0.6.(2)设“射击一次,至少命中8环”为事件B,那么当A8,A9,A10之一发生时,事件B发生,由互斥事件概率的加法公式得P(B)=P(A8)+P(A9)+P(A10)=0.18+0.28+0.32=0.78.(3)设“射击一次命中不足8环”为事件C,由于事件C与事件B互为对立事件,故P(C)=1-P(B)=1-0.78=0.22.9.已知事件A,B,则(A∪B)(A∪B)表示(　　)A.必然事件B.不可能事件C.A与B恰有一个发生D.A与B不同时发生答案C解析A∪B表示事件A,B至少有1个发生,A∪B表示事件A,B至少有一个不发生,∴(A∪B)(A∪B)表示A与B恰有一个发生.10.若A,B为互斥事件,则(　　)A.P(A)+P(B)<1B.P(A)+P(B)>1 C.P(A)+P(B)=1D.P(A)+P(B)≤1答案D解析由已知中A,B为互斥事件,由互斥事件概率加法公式可得P(A)+P(B)≤1,当A,B为对立事件时,P(A)+P(B)=1.故选D.11.在一次随机试验中,彼此互斥的事件A,B,C,D的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3,则下列说法正确的是(　　)A.A+B与C是互斥事件,也是对立事件B.B+C与D是互斥事件,也是对立事件C.A+C与B+D是互斥事件,但不是对立事件D.A与B+C+D是互斥事件,也是对立事件答案D解析由于A,B,C,D彼此互斥,且由P(A+B+C+D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=1,知A+B+C+D是一个必然事件,故其事件的关系如图所示.由图可知,任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件,任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件,故只有D中的说法正确.12.掷一枚骰子的试验中,出现各点的概率均为16.事件A表示“小于5的偶数点出现”,事件B表示“小于5的点数出现”,则一次试验中,事件A+B(B表示事件B的对立事件)发生的概率为(　　)A.13B.12C.23D.56答案C解析由题意知,B表示“大于或等于5的点数出现”,事件A与事件B互斥,由概率的加法计算公式可得P(A+B)=P(A)+P(B)=26+26=23.13.根据多年气象统计资料,某地6月1日下雨的概率为0.45,阴天的概率为0.20,则该日晴天的概率为(　　) A.0.65B.0.55C.0.35D.0.75答案C解析设事件“某地6月1日下雨”为事件A,“某地6月1日阴天”为事件B,“某地6月1日晴天”为事件C,由题意可得事件A,B,C为互斥事件,所以P(A)+P(B)+P(C)=1,因为P(A)=0.45,P(B)=0.20,所以P(C)=0.35,故选C.14.(多选)下列命题中为真命题的是(　　)A.若事件A与事件B互为对立事件,则事件A与事件B为互斥事件B.若事件A与事件B为互斥事件,则事件A与事件B互为对立事件C.若事件A与事件B互为对立事件,则事件A∪B为必然事件D.若事件A∪B为必然事件,则事件A与事件B为互斥事件答案AC解析对于A,对立事件首先是互斥事件,故A为真命题.对于B,互斥事件不一定是对立事件,如将一枚硬币抛掷两次,共出现(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)四种结果,事件M=“两次出现正面”与事件N=“只有一次出现反面”是互斥事件,但不是对立事件,故B为假命题.对于C,事件A,B为对立事件,则在一次试验中A,B一定有一个发生,故C为真命题.对于D,事件A∪B表示事件A,B至少有一个要发生,A,B不一定互斥,故D为假命题.15.(多选)下列结论错误的是(　　)A.若A,B互为对立事件,P(A)=1,则P(B)=0B.若事件A,B,C两两互斥,则事件A与B∪C互斥C.若事件A与B为两个随机事件,则P(A∪B)=P(A)+P(B)D.若事件A与B互斥,则它们的对立事件也互斥答案CD解析若A,B互为对立事件,P(A)=1,则P(B)=1-P(A)=0,故A正确;若事件A,B,C两两互斥,则事件A,B,C不能同时发生,则事件A与B∪C也不可能同时发生,则事件A与B∪C互斥,故B正确;当A与B为互斥事件时,才有P(A∪B)=P(A)+P(B),对于任意两个事件A,B满足P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB),故C错误;若事件A,B互斥但不对立,则它们的对立事件不互斥,故D错误.16.现有8名翻译人员,其中A1,A2,A3通晓日语,B1,B2,B3通晓俄语,C1,C2通晓韩语,从中选出通晓日语、俄语、韩语的翻译人员各一人组成一个翻译小组,则B1和C1不全被选中的概率为　　　　.  答案56解析用列举法可求出样本点总数共18个,若N表示“B1,C1不全被选中”这一事件,则N表示“B1,C1全被选中”这一事件,由于N由(A1,B1,C1),(A2,B1,C1),(A3,B1,C1)3个样本点组成,∴P(N)=318=16,∴P(N)=1-P(N)=56.17.抛掷一个质地均匀的正方体玩具(各面分别标有数字1,2,3,4,5,6),事件A表示“朝上一面的数是奇数”,事件B表示“朝上一面的数不超过3”,则P(A+B)=　　　　. 答案23解析将事件A+B分成“出现1,2,3”和“出现5”这两个事件,记“出现1,2,3”为事件C,“出现5”为事件D,则C与D两个事件互斥,所以P(A+B)=P(C+D)=P(C)+P(D)=36+16=23.18.围棋盒子中有多粒黑子和白子,已知从中取出2粒都是黑子的概率为17,从中取出2粒都是白子的概率是1235,则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是　　　　,任取出2粒恰好不同色的概率是　　　　. 答案1735　1835解析易知事件“从中取出2粒都是黑子”和“从中取出2粒都是白子”为互斥事件,故所求的概率为17+1235=1735.不同色的概率为1-1735=1835.19.某校组织“中国诗词”竞赛,在“风险答题”的环节中,共为选手准备了A,B,C三类不同的题目,选手每答对一个A类,B类或C类的题目,将分别得到300分,200分,100分,但如果答错,则相应要扣去300分,200分,100分.根据平时训练数据统计,选手甲答对A类、B类或C类题目的频率大约为0.6,0.75,0.85,若要每一次答题的均分更大一些,则选手甲应选择的题目类型应为　　　(填“A”“B”或“C”). 答案B 解析选手甲选择A类题目,得分的平均值为0.6×300+0.4×(-300)=60,选手甲选择B类题目,得分的平均值为0.75×200+0.25×(-200)=100,选手甲选择C类题目,得分的平均值为0.85×100+0.15×(-100)=70,故若要每一次答题的均分更大一些,则选手甲应选择的题目类型应为B.20.在一个袋子中放入大小相同的3个白球、1个红球,摇匀后随机摸球.(1)摸出的球不放回袋中,求第1次或第2次摸出红球的概率;(2)摸出的球放回袋中,连续摸2次,求第1次或第2次摸出的球都是红球的概率.解(1)记“第1次摸到红球”为事件A,“第2次摸到红球”为事件B.显然A,B为互斥事件,易知P(A)=14.下面计算P(B).记3个白球分别为白1,白2,白3,则样本空间Ω={(白1,白2),(白1,白3),(白1,红),(白2,白1),(白2,白3),(白2,红),(白3,白1),(白3,白2),(白3,红),(红,白1),(红,白2),(红,白3)},第二次摸到红球有3个样本点,所以P(B)=14,故第1次或第2次摸到红球的概率为P(A+B)=P(A)+P(B)=14+14=12.(2)把第1次、第2次摸球的样本点列举出来,除了上题中列举的12个以外,由于放回,又会增加4个即(白1,白1),(白2,白2),(白3,白3),(红,红),这样共有16个样本点.其中第1次摸出红球,第2次摸出不是红球的概率为P1=316.第1次摸出不是红球,第2次摸出是红球的概率为P2=316.两次都是红球的概率为P3=116.所以第1次或第2次摸出的球都是红球的概率为P=P1+P2+P3=716.21在某次数学考试中,小江的成绩在90分以上的概率是x,在[80,90]的概率是0.48,在[70,80)的概率是0.11,在[60,70)的概率是0.09,在60分以下的概率是0.07.计算:(1)x的值;(2)小江在此次数学考试中取得80分及以上的概率;(3)小江考试及格(成绩不低于60分)的概率.解(1)分别记小江的成绩在90分以上,[80,90],[70,80),[60,70),60分以下为事件A,B,C,D,E,它们是互斥事件, 由条件得P(A)=x,P(B)=0.48,P(C)=0.11,P(D)=0.09,P(E)=0.07,由题意得P(A)+P(B)+P(C)+P(D)+P(E)=1,∴x=1-0.48-0.11-0.09-0.07=0.25.(2)小江的成绩在80分及以上的概率为P(A+B),P(A+B)=P(A)+P(B)=0.25+0.48=0.73.(3)小江考试及格(成绩不低于60分)的概率为P(E)=1-P(E)=1-0.07=0.93.22.袋中有外形、质量完全相同的红球、黑球、黄球、绿球共12个,从中任取一球,得到红球的概率是13,得到黑球或黄球的概率是512,得到黄球或绿球的概率也是512.(1)试分别求得到黑球、黄球、绿球的概率;(2)从中任取一球,求得到的不是红球或绿球的概率.解(1)从袋中任取一球,记事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”分别为A,B,C,D,则A,B,C,D为互斥事件,则P(A)=13,P(B+C)=P(B)+P(C)=512,P(C+D)=P(C)+P(D)=512,P(B+C+D)=P(B)+P(C)+P(D)=1-P(A)=1-13=23.联立P(B)+P(C)=512,P(C)+P(D)=512,P(B)+P(C)+P(D)=23,解得P(B)=14,P(C)=16,P(D)=14,故得到黑球、黄球、绿球的概率分别为14,16,14.(2)事件“得到红球或绿球”可表示为事件A+D,由(1)得P(A+D)=P(A)+P(D)=13+14=712,故得到的不是红球或绿球的概率P=1-P(A+D)=1-712=512. 23.某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如下表所示:一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数/人x3025y10结算时间/(分钟/人)11.522.53已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x,y的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值;(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.(将频率视为概率)解(1)由已知得25+y+10=55,x+30=45,所以x=15,y=20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为100的简单随机样本,顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计,其估计值为1×15+1.5×30+2×25+2.5×20+3×10100=1.9(分钟).(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”,A1,A2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”,将频率视为概率,得P(A1)=20100=15,P(A2)=10100=110.P(A)=1-P(A1)-P(A2)=1-15-110=710.故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为710.