河南省洛阳市孟津区第一高级中学2022-2023学年高三数学下学期开学考试试题（Word版附解析）

2023届高三下期入学数学测试题一、单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据用公式解绝对值不等式的方法，结合集合交集的定义进行求解即可.【详解】由于集合，，则.故选：B2.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由充分条件、必要条件的定义判断即可得解.【详解】由题意，若，则，故充分性成立；若，则或，推不出，故必要性不成立；所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.3.在同一直角坐标系中，函数的图像可能是（） A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】通过分析幂函数和对数函数的特征可得解.【详解】函数，与，答案A没有幂函数图像，答案B.中，中，不符合，答案C中，中，不符合，答案D中，中，符合，故选D.【点睛】本题主要考查了幂函数和对数函数的图像特征，属于基础题.4.如果函数y＝f(x)在区间I上是增函数，且函数y＝在区间I上是减函数，那么称函数y＝f(x)是区间I上的“缓增函数”，区间I叫做“缓增区间”.若函数f(x)＝x2－x＋是区间I上的“缓增函数”，则“缓增区间”I为（）A.[1，＋∞)B.[0，]C.[0，1]D.[1，]【答案】D【解析】 【分析】分别利用二次函数和对勾函数的单调性求出相应的单调区间，结合选项得出答案．【详解】因为函数f(x)＝x2－x＋的对称轴为x＝1，所以函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数.又当x≥1时，＝x＋－1，令g(x)＝x＋－1(x≥1)，则g′(x)＝－＝，由g′(x)≤0，得1≤x≤，即函数＝x－1＋在区间[1，]上单调递减，故“缓增区间”I为[1，].故选：D.【点睛】本题利用新定义的形式考查函数的单调区间，考查利用导数解决对勾函数的单调性，考查学生计算能力，属于中档题．5.函数的零点所在区间为A.（-1,0）B.（0,1）C.（1,2）D.（2,3）【答案】B【解析】【分析】根据函数的解析式，求得，根据函数的零点的存在定理，即可求解.【详解】由题意，函数，可得，所以，根据函数的零点的存在定理，可得函数在区间内有零点.故选B.【点睛】本题主要考查了函数的零点的判定，其中解答中熟记函数的零点的存在定理是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.6.已知函数是奇函数且其图象在点处的切线方程，设函数，则的图象在点处的切线方程为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】 【分析】先求出，再求出切点的坐标，即得解.【详解】解：由已知得，，因为是奇函数，所以，又因为，所以，，所以的图象在点处的切线方程为.故选：A7.已知向量，满足，，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】计算出、的值，利用平面向量数量积可计算出的值.【详解】，，，.，因此，.故选：D.【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题.8.在等差数列中，若，且它的前项和有最小值，则当时，的最小值为A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据已知条件得，，由等差数列前项和的 公式，能求出时，的最小值．【详解】∵数列是等差数列，它的前项和有最小值∴公差，首项，为递增数列∵∴，由等差数列的性质知：，.∵，∴当时，的最小值为16．故选C.【点睛】本题主要考查等差数列的性质应用，考查数列的函数特性．9.已知关于的方程的两个实根为满足则实数的取值范围为A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用二次方程实根分布列式可解得.【详解】设,根据二次方程实根分布可列式:,即,即,解得:.故选D.【点睛】本题考查了二次方程实根的分布.属基础题.10.在直三棱柱中，，，，，为线段的 三等分点，点在线段EF上（包括端点）运动，则二面角的正弦值的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先作辅助线，利用二面角的定义找到二面角的平面角，再设，用表示出二面角的正弦值，最后利用函数知识求二面角的正弦值的范围即可.【详解】在直三棱柱中,平面ABC，且平面ABC，故，又，，所以，.如图，过点作交于点，则，故平面ABC，因为平面ABC，故，过点作交AB于点，连接DN，因为平面，平面，且，所以平面，又平面，则，故即二面角的平面角.设，在直角中，，所以，，所以，. 所以，则，易知在上的值域为，所以.故选：C.11.已知双曲线（，），直线与T交于A，B两点，直线与T交于C，D两点，四边形ABCD的两条对角线交于点E，，则双曲线T的离心率为（）A.B.C.2D.4【答案】A【解析】【分析】根据题意分别得到点A，B，C，D的坐标，然后根据双曲线的对称性得到点E在y轴上，进而得到点E的坐标，再结合得到是等边三角形，利用三角形的知识得到a与b之间的关系，最后可得双曲线的离心率.【详解】在中，令，得，不妨设，，同理可得，，由对称性可知，四边形ABCD的两条对角线的交点E在y轴上.易知直线AC的方程为，令，得，即.因为， 所以是等边三角形，，所以，即，因为，所以，所以.故选：A12.某地区居民的肝癌发病率为，现用甲胎蛋白法进行普查，医学研究表明，化验结果是可能存有误差的．已知患有肝癌的人其化验结果呈阳性，而没有患肝癌的人其化验结果呈阳性，现在某人的化验结果呈阳性，则他真的患肝癌的概率是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】记事件某人患肝癌，事件化验结果呈阳性，利用全概率公式求出的值，再利用条件概率公式可求得所求事件的概率.【详解】记事件某人患肝癌，事件化验结果呈阳性，由题意可知，，，所以，，现在某人的化验结果呈阳性，则他真的患肝癌的概率是.故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.曲线在点处的切线方程为___________． 【答案】.【解析】【分析】本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得切线方程【详解】详解：所以，所以，曲线在点处的切线方程为，即．【点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．14.已知正数满足，且，则的取值范围是_____．【答案】【解析】【分析】由已知可得，结合>0及z⩽3x，可得，从而可求的范围，化简得到，然后结合对勾函数的性质可求结果．【详解】∵正数x，y，z满足，∴，由>0且x>0，y>0可得2y−x>0，∵z⩽3x，∴， 整理可得，，∴，∵2y−x>0，∴(3x−2y)(x−y)⩽0，∴，令，则，则在上单调递减，在单调递增，当时，P有最小值，当t=1或t=时，P有最大值，P的取值范围是，故答案为.【点睛】本题考查函数的综合运用，考查学生的逻辑推理能力和计算求解能力，解题的关键在于得出的范围，属难题.15.某个微信群在某次进行的抢红包活动中，若某人所发红包的总金额为15元，被随机分配为3.50元，4.75元，5.37元，1.38元共4份，甲､乙､丙､丁4人参与抢红包，每人只能抢一次，则甲､乙二人抢到的金额之和不低于8元的概率为___________.【答案】【解析】【分析】计算出基本事件总数及满足条件的有利事件数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．【详解】由题意可得，甲、乙二人抢到的金额的基本事件总数为，，，，，共6种， “甲、乙二人抢到的金额之和不低于8元”包含，，共3种，∴甲、乙二人抢到的金额之和不低于8元的概率.故答案为：．16.已知复数满足(i为虚数单位)，复数的虚部为2.则为实数的条件是________.【答案】【解析】【详解】因为，所以，.设.则.因为实数，所以，.故三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知中，内角所对的边分别为，且.（1）求角B；（2）若________，求的面积.请在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并加以解答.【答案】（1）；（2）答案见解析. 【解析】【分析】（1）利用诱导公式及正弦定理变形，再结合二倍角的正弦求解作答.（2）选择①，利用正弦定理、余弦定理求出角A即可计算得解；选择②，利用和角的正切求出角A即可计算得解；选择③，求出角A，C的正弦及边a即可计算得解.【小问1详解】在中，依题意，，由正弦定理，又因为，因此，即，而，即有，则，解得，所以.【小问2详解】选①，依题意，得，由正弦定理得，由余弦定理得，而，则，由（1）知，因此为等边三角形，又，所以的面积.选②，，解得，而，则，由（1）知，因此等边三角形，又，所以的面积.选③，由，显然A为锐角，解得， 由正弦定理，得，而，所以的面积.18.已知数列为正项等比数列，；数列满足.（1）求；（2）求的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）首先令和求出，从而得到公比，再求通项公式即可.（2）首先根据已知求出，再利用裂项求和即可得到答案.【详解】（1）令，得，所以，令，得，所以，又，所以，设数列的公比为，则，所以；（2）当时，①又，②②–①， 因为，所以，时也成立，所以.，所以.【点睛】本题第一问考查等比数列的通项公式，第二问考查由前项和求通项，同时考查了裂项求和，属于中档题.19.在四棱锥中，底面．（1）证明：；（2）求PD与平面所成的角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）作于，于，利用勾股定理证明，根据线面垂直的性质可得，从而可得平面，再根据线面垂直的性质即可得证；（2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案.【小问1详解】证明：在四边形中，作于，于，因为， 所以四边形为等腰梯形，所以，故，，所以，所以，因为平面，平面，所以，又，所以平面，又因为平面，所以；【小问2详解】解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系，，则，则，设平面法向量，则有，可取，则，所以与平面所成角的正弦值为. 20.已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点在双曲线C上，TP垂直x轴于点P，且点P到双曲线C的渐近线的距离为2.（1）求双曲线C的标准方程；（2）已知过点的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，且的外接圆圆心Q在y轴上，求满足条件的所有直线l的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）利用点在双曲线上和点到渐近线的距离等于2得到关于、的方程组，进而求得标准方程；（2）先分析直线l不存在斜率时的情形，再设出直线l方程，联立直线和双曲线方程，得到关于的一元二次方程，利用直线l与双曲线C的右支相交于两点得到斜率的取值范围，利用根与系数的关系、弦长公式、三角形外心的几何性质进行求解.【小问1详解】解：由在双曲线C上，得，由TP垂直x轴于点P，得， 则由到双曲线C的渐近线的距离为2，得，得，联立和，解得，，即双曲线C的标准方程为.【小问2详解】解：由题意，，当直线无斜率时，直线方程为，则、，则为等腰三角形，若的外接圆的圆心Q在y轴上，则，而，，，不符合题意（舍）；当直线存在斜率时，设直线方程为，联立，得，即设直线l与双曲线C的右支相交于、，则，解得，即或；则，， 从而，则线段AB的中点，且.由题意设，易知Q在线段AB的垂直平分线上，因此，得，即，连接QP，QA，QM，因此.由勾股定理可得，，又，则，化简得，得（舍去），因此直线l的方程为，即或.【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线的位置关系问题要做好两点：一是转化，把题中的已知条件和所求准确转化为代数中的数与式，即形向数的转化，如本题中将是的外心转化为且；二是设而不求，其主要思路是：要先设出直线方程，与圆锥曲线联立得到一元二次方程，利用根与系数的关系求解，通常情况下设直线方程要注意直线斜率不存在的情况.21.某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下： 办理业务所需的时间（分）12345频率0.10.40.30.101从第一个顾客开始办理业务时计时.（1）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；（2）表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求的分布列及数学期望.【答案】（1）0.22；（2）分布列见解析，0.51.【解析】【分析】（1）设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布列，对“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”分三种情况讨论①第一个顾客办理业务所需时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟，求概率.（2）确定X所有可能的取值，求出对应的概率，即可得到X的分布列即数学期望.【详解】（1）设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布如下：Y12345P0.10.40.30.10.1记事件A：第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务①第一个顾客办理业务所需时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟所以P（A）=0.1×0.3+0.3×0.1+0.4×0.4=0.22；（2）X所有可能的取值为：0，1，2X=0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以P（X=0）=P（Y＞2）=0.5；X=1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需时间超过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，所以P（X=1）=0.1×0.9+0.4=0.49；X=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P（X=2）=0.1×0.1=0.01； 所以X的分布列为：X012P0.50.490.01期望：EX=0×0.5+1×0.49+2×0.01=0.51.即的数学期望为0.51..【点睛】求离散型随机变量的分布列，应按以下三个步骤进行：（1）明确离散型随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义；（2）利用概率的有关知识求出随机变量每个取值的概率；（3）按规范形式写出分布列并用分布列的性质进行检验.22.已知函数.（I）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）若对任意的恒成立，求整数的最大值.【答案】（I）的减区间为，无增区间；（Ⅱ）3.【解析】【分析】(I)利用二次求导即得.(Ⅱ)先分离参数得到令，通过二次求导和零点存在性定理确定零点所在区间及整数的最大值.【详解】（I）的定义域为当时，令，，，单调递增，，单调递减 的减区间为，无增区间；（Ⅱ）令，则令，则，在上单调递增，，存在唯一，使得即，列表表示：0单调递减极小值单调递增整数的最大值为3.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性,利用零点存在性定理确定零点所在区间,中档题.