河南省洛阳市栾川县第一高级中学2022-2023学年高三数学下学期入学测试试题（Word版附解析）

2023届高三下期入学数学测试题一、单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数z满足，则复数的模是（）A.B.C.D.2【答案】A【解析】【分析】计算，得到，再计算模长得到答案.【详解】，故，的模为，故选：A2.已知集合，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】解不等式得集合，由二次根式有意义求得集合，然后由集合的运算法则计算．【详解】依题意，，，故，故，故选：A．3.已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】分离参数，求函数的导数，根据函数有两个零点可知函数的单调性，即可求解.【详解】由题意得有两个零点 令,则且所以，在上为增函数，可得，当，在上单调递减，可得，即要有两个零点，实数的取值范围是.故选：A【点睛】方法点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．4.已知函数．若，，．则a，b，c的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先根据对数函数与指数函数的性质，得到，，再根据函数单调性，即可判断出结果.【详解】因为，，函数与都是增函数，所以也是增函数， 因此，即.故选：D.【点睛】本题主要考查由函数单调性比较大小，熟记指数函数与对数函数的性质即可，属于常考题型.5.若曲线与曲线存在公切线，则实数的取值范围（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】分别求出两个函数的导函数，由两函数在切点处的导数相等，并由斜率公式，得到由此得到，则有解．再利用导数进一步求得的取值范围．【详解】在点的切线斜率为，在点的切线斜率为，如果两个曲线存在公共切线，那么：．又由斜率公式得到，，由此得到，则有解，由，的图象有公共点即可．当直线与曲线相切时，设切点为，则，且，可得 即有切点，，故取值范围是：．故选:.【点睛】本题利用导数研究曲线上某点的切线方程，曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，考查转化思想和运算能力，是中档题．6.函数和（，，）的部分图象如图所示，则不等式的解集是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由三角函数的图象求得，根据，得到，结合三角函数的性质，即可求解.【详解】由题图可知，点，,设的最小正周期为T，则，可得，所以，可得，所以， 又点在图象上，所以，所以根据五点作图法可得，可得，则，由，可得，即，所以，解得，所以不等式的解集为.故选:B.7.已知函数，有如下命题：①将的图象向左平移个单位长度可以得到的图象；②将图象向左平移个单位长度可以得到的图象；③与的图象关于直线对称；④与的图象关于直线对称，则上述命题中正确的序号是（）A.②③B.②④C.①③D.①④【答案】D【解析】【分析】根据正弦型函数图象变换的性质，结合函数的对称性进行逐一判断即可.【详解】，，对①，将的图象向左平移个单位长度可以得到，所以①正确； 对②，将的图象向左平移个单位长度可以得到，所以②不正确；对③，因为所以与的图象不关于直线对称，所以③错误；对④，因为所以与的图象关于直线对称，所以④正确.故选：D．8.已知AB是的直径，C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，设，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由平面向量线性运算法则求解．【详解】是的直径，C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，且，．故选：A． 9.在正项数列中，，前项和满足，则（）A.72B.80C.90D.82【答案】A【解析】【分析】已知两边同时除以得数列是等差数列，由等差数列通项公式求得后，再根据求得，从而可得结论．【详解】由得．，两边同时除以，得．而．根据，得．故选：A．10.已知是函数的导函数，若，则（    ）A.B.2C.D.8【答案】C【解析】【分析】根据已知条件，结合导数的定义，即可求解【详解】故选：C11.已知O为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为2，过的直线与双曲线的右支交于P，Q两点，且的最小值为6，下列错误的是（） A.该双曲线的方程为B.若，则直线PQ的斜率为C.的最小值为25D.面积的最小值为12【答案】B【解析】【分析】根据双曲线通径的性质，结合双曲线离心率的公式、双曲线的性质、三角形面积公式逐一判断即可.【详解】依题意可知，，，结合，得，，从而该双曲线的方程为，故A正确．易知，设，，直线，因为直线PQ与双曲线的右支交于两点，所以，从而，联立方程，得，则，，，对于选项B，若，则，即，解得，不满足，故B错误；对于选项C，由焦半径公式可知，，所以，因为，所以，故C正确； 对于选项D，，设，则，，易知函数在上单调递减，因此，故D正确．故选：B【点睛】关键点睛：利用双曲线通径的性质、焦半径公式是解题的关键.12.某市有四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览的概率为，游览的概率都是，且该游客是否游览这四个景点相互独立．用随机变量表示该游客游览的景点个数，错误的是（）A.该游客至多游览一个景点的概率为B.C.D.【答案】C【解析】【分析】确定的所有可能取值为0，1，2，3，4．结合独立事件概率公式、互斥事件概率公式计算出相应的概率，再求出期望，然后判断各选项．【详解】的所有可能取值为0，1，2，3，4．则，，所以该游客至多游览一个景点的概率为，故A正确．，故B正确．，故C错误． 又，所以，故D正确．故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.复数z的虚部为，在复平面内复数z对应的向量的模为2，则复数_______________.【答案】或【解析】【分析】设，由题意可得,解出的值即可得答案.详解】解：设，则有，解得或，所以或，故答案为：或.14.若的展开式中的系数为9，则a的值为______．【答案】1【解析】【分析】由题得，再借助二项式展开式的通项分两种情况讨论得解.【详解】解：，且展开式的通项，当时，，此时的系数为. 当时，，此时系数为.展开式中的系数为，．故答案为：115.已知、是椭圆的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且，若的面积为9，则b=______．【答案】3【解析】【分析】利用三角形的面积列方程，由此求得.【详解】设，由于，所以，，所以.故答案为：16.在我国古代数学名著《九章算术》中，四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．已知在鳖臑中，平面ABC，．M为PC的中点，则点P到平面MAB的距离为______．【答案】【解析】【分析】利用等体积法求得到平面的距离.【详解】因为平面ABC，平面ABC，所以， 依题意可知平面，所以平面，由于是的中点，所以到平面的距离是到平面的距离的一半，即到平面的距离是.,，所以，由于，所以，，设到平面的距离为，则，即.故答案为：三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列是等差数列：②数列是等差数列；③．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【答案】证明过程见解析【解析】【分析】选①②作条件证明③时，可设出，结合的关系求出，利用是等差数列可证；也可分别设出公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系，进行证明.选①③作条件证明②时，根据等差数列的求和公式表示出，结合等差数列定义可证；选②③作条件证明①时，设出，结合的关系求出，根据可求 ，然后可证是等差数列；也可利用前两项的差求出公差，然后求出通项公式，进而证明出结论.【详解】选①②作条件证明③：[方法一]：待定系数法+与关系式设，则，当时，；当时，；因为也是等差数列，所以，解得；所以，，故.[方法二]：待定系数法设等差数列的公差为d，等差数列的公差为，则，将代入，化简得对于恒成立．则有，解得．所以．选①③作条件证明②：因为，是等差数列，所以公差，所以，即，因为，所以是等差数列.选②③作条件证明①： [方法一]：定义法设，则，当时，；当时，；因为，所以，解得或；当时，，当时，满足等差数列的定义，此时为等差数列；当时，，不合题意，舍去.综上可知为等差数列.[方法二]【最优解】：求解通项公式因为，所以，，因为也为等差数列，所以公差，所以，故，当时，，当时，满足上式，故的通项公式为，所以，，符合题意.【整体点评】这类题型在解答题中较为罕见，求解的关键是牢牢抓住已知条件，结合相关公式，逐步推演，选①②时，法一：利用等差数列的通项公式是关于的一次函数，直接设出，平方后得到的关系式，利用得到的通项公式，进而得到，是选择①②证明③的通式通法；法二：分别设出与的公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系，，进而得到；选①③时，按照正常的思维求出公差，表示出及，进而由等差数列定义进行证明；选②③时，法一：利用等差数列的通项公式是关于的一次函数，直接设出，结合的关系求出，根据可求，然后可证是等差数列；法二：利用是等差数列即前两项的差 求出公差，然后求出的通项公式，利用，求出的通项公式，进而证明出结论.18.已知的内角所对的边分别为，且满足．（1）求角B的大小；（2）若，设的面积为S，满足，求b的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）切化弦后由正弦定理化边为角，并利用两角和的正弦公式、诱导公式化简变形可得角大小；（2）由三角形面积公式得，再由正弦定理可求得．【小问1详解】由，得，根据正弦定理，得．因为，所以，所以．因为，所以，所以，则．【小问2详解】由，得．又由正弦定理得，所以，解得．19.如图，在三棱柱中，平面，，. （1）求证：平面；（2）点在线段上，且，点在线段上，若平面，求的值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由题设条件可证，，从而得到平面.（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设，，，则可用表示，再根据其与平面的法向量垂直可得的值.【详解】（1）证明：∵在三棱柱中，平面，因为平面，故，同理.因为，故四边形为菱形，故.因为，故，∵，∴平面，∵平面，∴，∵，∴平面. （2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，，，，，，，，，设平面的法向量，则，取，得，点在线段上，且，点在线段上.设，，，则，，，即，，解得，，，∵平面，∴，解得.∴的值为.20.国家逐步推行全新的高考制度．新高考不再分文、理科，采用模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各分，另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结 合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物门科目中自选门参加考试（选），每科目满分分．为了应对新高考，某高中从高一年级名学生（其中男生人，女生人）中，采用分层随机抽样的方法从中抽取名学生进行调查．（1）已知抽取的名学生中有女生人，求的值及抽取到的男生人数；（2）学校计划在高一上学期开设选修中的物理和地理两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对在（1）的条件下抽取到的名学生进行问卷调查（假设每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目），下表是根据调查结果得到的列联表．请将列联表补充完整，并判断是否有把握认为选择科目与性别有关，说明理由；（3）在抽取的选择地理的学生中用分层随机抽样的方法再抽取名学生，然后从这名学生中抽取名学生了解学生对地理的选课意向情况，求名学生中至少有名男生的概率．选择物理选择地理总计男生女生总计参考数据及公式：，其中．【答案】（1），抽到的男生人数为人；（2）列联表见解析，有的把握认为选择科目与性别有关，理由见解析；（3）．【解析】【分析】（1）利用分层抽样可得出关于的等式，可求得的值，利用抽样比乘以男生的总人数可得到抽到的男生人数；（2）结合题中信息完善列联表，计算出的观测值，结合临界值表可得出结论； （3）从名选择地理的学生中用分层随机抽样的方法抽取名学生，这名学生中有名男生，名女生，设男生编号为、，女生编号为、、、，列举出所有的基本事件，并列举出事件“所抽取的名学生中至少有名男生”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】（1）由题意得，，解得，则男生人数为；（2）列联表如下：选择物理选择地理总计男生女生总计，所以有的把握认为选择科目与性别有关；（3）从名选择地理的学生中用分层随机抽样的方法抽取名学生，则这名学生中有名男生，名女生，设男生编号为、，女生编号为、、、，从名学生中抽取名学生，所有可能的结果为，共种可能的结果，至少有一名男生的结果为，共种可能的结果，所以名学生中至少有名男生的概率．【点睛】方法点睛：求解古典概型概率的方法有如下几种：（1）列举法；（2）树状图法；（3）列表法；（4）排列组合数公式的应用. 21.已知双曲线经过点，两条渐近线的夹角为，直线交双曲线于､两点.（1）求双曲线的方程；（2）若过原点，为双曲线上异于､的一点，且直线､的斜率､均存在，求证：为定值；（3）若过双曲线右焦点，是否存在轴上的点，使得直线绕点无论怎样转动，都有成立？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）存在，.【解析】【分析】（1）利用双曲线经过点，两条渐近线的夹角为，建立方程即可求解；（2）设点坐标为，则由对称性知点坐标，设，由点A,P在双曲线上可得，，代入中化简即可；(3）先假设存在定点M，使MAMB恒成立，设出M点坐标，根据数量积为0，求得结论.【详解】（1）由题意得：解得：∴双曲线的方程为（2）证明：设点坐标为，则由对称性知点坐标为 设，则，得∴（3）当直线的斜率存在时，设直线方程为，与双曲线方程联立消得：，∴得且设､∵假设存在实数，使得，∴对任意的恒成立，∴，解得.∴当时，.当直线l的斜率不存在时，由及知结论也成立 综上：存在，使得.【点睛】本题主要考查点的轨迹方程的求法，考查斜率的计算，考查存在性问题，综合性强，属于难题.22.已知函数，是的导数（e为自然对数的底数）．I.当时，求曲线在点（）处的切线方程；II.若当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围．【答案】I.；II.【解析】【分析】I.利用解析式和导数分别求解出切点坐标和斜率，根据点斜式方程写出切线方程；II.将问题转化为在上恒成立；当时，根据导数可验证出单调递减，从而满足恒成立的结论；当时，根据导数可知时，单调递增，导致不等式不恒成立，从而可确定的范围.【详解】I.当时，，则，切线方程为：，即II.当时，恒成立，即：在上恒成立设则，①当时，，此时，则可知在上单调递减，则在上单调递减即恒成立满足题意 ②当时，令，解得：当时，，则单调递增此时，则在上单调递增即当时，即不恒成立，可知不合题意综上所述，【点睛】本题考查导数的几何意义、利用导数解决不等式恒成立问题，处理自变量取值范围的临界点恰为恒成立的式子取等号的点的恒成立问题时，通常采用构造函数的方式，将问题转变成与零的大小比较，根据导数符号恒定即函数单调性恒定，确定取值范围；再说明在所得范围的补集上不恒成立，从而使问题得以解决.