山西省太原市2023届高三数学上学期期末考试试卷（Word版附答案）

2022~2023学年第一学期高三年级期末考试数学试卷（考试时间：上午8:00—10:00）说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间120分钟，满分150分．一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合，则（）A．B．C．D．2．设复数z满足（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知，则向量与的夹角为（）A．B．C．D．4．中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，垂直于底面，，，底面扇环所对的圆心角为，弧的长度是弧长度的2倍，，则该曲池的体积为（）A．B．C．D．5．某学校音乐社团为庆祝学校百年华诞将举办歌曲展演，要从4首独唱歌曲和2首合唱歌曲中选出4首歌曲安排演出，若最后一首歌曲必须是合唱歌曲，则不同的安排方法种数为（）A．96B．120C．240D．3606．已知，则（）A．B．C．D． 7．如表所示的数阵称为“森德拉姆素数筛”，表中每行每列的数都成等差数列，设表示该数阵中第m行、第n列的数，则下列说法正确的是（）234567…35791112…4710131619…5913172125…6111212631…71319253137……………………A．B．C．D．8．已知函数及其导函数的定义域均为，记，若均为偶函数，当时，，且，则（）A．20B．30C．35D．40二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．已知正数x，y满足，则下列结论正确的是（）A．的最大值是1B．的最小值是4C．的最大值是D．的最小值是110．已知函数的部分图象如图所示，下列结论正确的是（） A．的图象关于直线对称B．的图象关于点对称C．将函数的图象向左平移个单位长度可以得到函数的图象D．方程在上有7个不相等的实数根11．已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交C于A，B两个不同点，则下列结论正确的是（）A．若点，则的最小值是3B．的最小值是2C．若，则直线的斜率为D．过点A，B分别作抛物线C的切线，设两切线的交点为Q，则点Q的横坐标为12．已知正四棱柱的底面边长为2，侧棱，P为上底面上的动点，M为棱的中点，下列结论正确的是（）A．三棱锥的体积为定值1B．当直线与平面所成角为时，点P的轨迹长度为C．若直线平面，则线段长度的最小值为D．直线被正四棱柱外接球所截得线段长度的取值范围是三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数的图象在处的切线经过坐标原点，则实数____________．14．的展开式中常数项为_________．（用数字作答）15．在临床上，经常用某种试验来诊断试验者是否患有某种癌症，设“试验结果为阳性”，“试验者患有此癌症”，据临床统计显示．已知某地人群中患有此种癌症的概率为0.001，现从该人群中随机抽在了1人，其试验结果是阳性，则此人患有此种癌症的概率为_____________． 16．已知双曲线的左、右焦点分别为，过作圆的切线，切点为T，延长交双曲线E的左支于点P．若，则双曲线E离心率的取值范围是__________．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题10分）已知数列的前n项和为．（1）从条件①、条件②这两个条件中选择一个条件作为已知，求的通项公式；（2）设，记的前n项和为，若对任意正整数的n，不等式恒成立，求的最小值．条件①，且；条件②为等比数列，且满足；（注：若条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．）18．（本小题12分）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．（1）求证：；（2）求的取值范围．19．（本小题12分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，整理测量结果得到如下频率分布直方图：（1）求这500件产品质量指标值的样本平均值和样本方差（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）由直方图可以认为，这种产品的质量指标Z服从正态分布，其中近似为样本平均数近似为样本方差．（ⅰ）利用该正态分布，求；（ⅱ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间的产品件数．利用（ⅰ）的结果，求．附：；若，则．20．（本小题12分）如图，在三棱锥中，平面平面，，O为的中点．（1）证明：；（2）若是边长为1的等边三角形，点E在棱上，，且二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．21．（本小题12分）已知椭圆的左右焦点分别为，椭圆C经过点，且直，与圆相切．（1）求椭圆C的方程；（2）直线与椭圆C交于P，Q两点，点M在x轴上，且满足，求点M横坐标的取值范围．22．（本小题12分）已知函数．（1）若在处取得极大值，求的单调区间；（2）若恰有三个零点，求实数a的取值范围． 2022-2023学年太原市第一学期期末高三数学试题参考答案及评分建议一、选择题：BDCABCDB二、选择题：9．AC10．AB11．ACD12．ACD三、填空题：13．14．15．16．四、解答题：17．解：（1）选择条件①，且，由题意可得，∴，∴，∴为公比的等比数列，∵，∴，∴，∴；选择条件②为等比数列，且满足，由题意可得，∴，∴；（2）由（1）得,∴,∴，∴的最小值为．18．解：（1）由余弦定理得， ∵，∴，由正弦定理得，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（2）由（1）得，∴，∵，∴，∴，∴，∴的取值范围为．19．解：（1）由题意得，；（2）由题意得，（ⅰ）∵，∴；（ⅱ）由（ⅰ）得从该企业购买了1件这种产品，其质量指标值位于区间的概率为，∴，∴．20．解：（1）∵O为的中点，，∴，∵平面平面，∴平面，∴；（2）由（1）得平面，以点O为原点，所在的直线分别为x轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，由题意可得 ，设是平面的一个法向量，则∴，令，则，∴，由题意可知是平面的一个法向量，∴，∴，∴，，∴，∴直线与平面所成角的正弦值为．21．解：（1）∵椭圆C经过点，∴，由题意得直线的方程为，即，∵直线与圆相切，∴，∴，∴，∴椭圆C的方程为；（2）设，点是的中点， 由得，∴，∴，∵，∴，∴，∴直线的方程为，∴点M的横坐标为，∵，∴，∴．∴“点M的横坐标的取值范围为．22．解：（1）由题意得，令，则或，①当时，即时，令，则：令，则，或，∴在上递减，在上递增，∴在处取得极小值，此时不符合题意；②当时，即时，则，∴在R上递增，∴在处不取极值，比时不符合题意③当时，即时，令，则；令，则，或， ∴在和上递增，在上递减，∴在处取得极大值，此时符合题意；综上，的单调减区间为，单调增区间为和；（2）由题意得，显然是的零点，则方程，即恰有两个不为2的实数根，令，则，令，则；令，则，∴在上递增，在上递减，当时，的值域为；当时，的值域为，∴，且，∴，且，综上，实数a的取值范围为．