河南省 2022-2023学年高二数学下学期第一次段考试题（Word版附答案）

2024届高二年级下学期第一次段考数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分）1．已知等差数列的前n项和为，若，，则公差为（）A．-3B．-1C．1D．32．英国著名数学家布鲁克-泰勒以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世．在数学中，泰勒级数用无限连加式来表示一个函数，泰勒提出了适用于所有函数的泰勒级数，并建立了如下指数函数公式：，其中，，，则的近似值为（精确到0.01）（）A．1.63B．1.64C．1.65D．1.663．已知等差数列的前n项和为满足，，则数列的前8项和为（）A．B．C．D．4．在等比数列中，，公比，且，又与的等比中项为2，，数列的前n项和为，则当最大时，n的值等于（）A．8B．8或9C．16或17D．175．定义在R上的函数满足，且，是的导函数，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．B．C．D．6．已知等差数列的前n项和为，，，则当取得最小值时，n的值为（）A．5B．6C．7D．8 7．给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”．经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图像的对称中心．若函数，则（）A．-8080B．-8082C．8084D．80888．已知数列中，，，则数列的前n项和（）A．B．C．D．9．设有三个不同的零点，则a的取值范围是（）A．B．C．D．10．已知a，b为正实数，直线与曲线相切，则的取值范围是（）A．B．C．D．11．已知函数，，若成立，则的最小值为（）A．B．C．D．12．关于函数，下列说法错误的是（）A．是的极小值点 B．函数有且只有1个零点C．存在正实数k，使得恒成立D．对任意两个正实数，，且，若，则二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若各项均为正数的数列中，，前n项和为，对于任意的正整数n满足，则数列的通项公式______．14．在等差数列中，若，则______．15．已知函数，（e是自然对数的底数），对任意的，存在，有，则a的取值范围为______．16．已知函数，若关于x的方程有3个不同的实数根，则a的取值范围为______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数在区间上的最大值与最小值．18．（本小题满分12分）已知数列的前n项和．（1）求的通项公式；（2）求数列的前n项和.19．（本小题满分12分）已知函数，.（1）求函数的值域； （2）设，当时，函数有两个零点，求实数k的取值范围.20．（本小题满分12分）如图，AB是过抛物线焦点F的弦，M是AB的中点，l是抛物线的准线，，N为垂足，点N坐标为．（1）求抛物线的方程；（2）求的面积（O为坐标系原点）．21．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，四边形ABCD是边长为4的正方形，平面平面ABCD，，．（1）求证：平面CDP；（2）若点E在线段AC上，直线PE与直线DC所成的角为，求平面PDE与平面PAC夹角的余弦值．22.（本小题满分12分）已知函数，．（1）若在上单调递增，求实数a的取值范围；（2）若恒成立，求实数a的取值范围．2024届高二年级下学期第一次段考数学答案 题号123456789101112答案BCBBACBBDCDC13．14．515．16．17．（1），∴，又，∴曲线在点处的切线方程为，即（2），令，解得或，又∴当x变化时，，的变化情况如下表所示：x-110-0++1单调递减单调递增1∴在区间上的最大值是1，最小值是．18．（1）当时，，即，当时，，时，，与不符，所以；（2）由得，而，所以当时，，当时，，当时，，当时， ，所以19．（1）由可知令则，x-1-0+减极小值增所以，无最大值，所以的值域为．（2）当时，，令，则有两个零点等价于有两个零点，对函数求导得：，当时，在上恒成立，于是在上单调递增.所以，因此在上没有零点即在上没有零点，不符合题意当时，令得，在上，在上所以在上单调递减，在上单调递增所以的最小值为由于在上有两个零点，所以，因为，， 对于函数，，所以在区间上，函数单调递减；在区间，，函数单调递增；所以所以所以由零点存在性定理得时，在上有两个零点，综上，可得k的取值范围是．20．解：（1）点，在准线l上，所以准线l方程为：，则，解得所以抛物线的方程为：．（2）设，，由A、B在抛物线上，所以，则，又，可知点M纵坐标为-3，M是AB的中点，所以，所以，又知焦点F坐标为，则直线AB的方程为：联立抛物线的方程，可得，解法1：直接解得或，所以；所以．解法2：由韦达定理得．所以．21．【解析】（1）∵四边形ABCD为正方形，∴，又平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，∴平面ADP，又平面ADP，∴，∴，．∴，∴；∵，∴，又，PD，平面CDP，∴平面 CDP．（2）作，垂足为O，作，交BC于F，∵平面平面ABCD，平面平面，平面ADP，∴平面ABCD，由（1）知：，，，∴，∴，，∴，以O为坐标原点，，，正方向为x，y，z轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，∴，，，，设，则，∴，∴，解：，∴，设平面PDE的法向量，则，令，解得：，，∴；设平面PAC的法向量，则，令，解得：即平面PDE与平面PAC夹角的余弦值为．22．（1），因为在上单调递增， 所以，恒成立，即恒成立，因为在上单调递减，所以，则．故实数a的取值范围为；（2）因为恒成立，所以恒成立，设，，则，设，，则，所以在上单调递减，且，，则，使，即，且，，列表得x+0-极大值所以，则．解法二：恒成立，即恒成立，令，，则，所以在上单调递增，因为时，，所以在上的值域为． 因为，所以，恒成立，设，，则，令得，列表得t1+0-极大值所以，则．解法三：恒成立，即恒成立，令，，则在上单调递增，的值域为R．因为，所以，恒成立，设，，则，令得，列表得t0+0-极大值所以，则．故实数a的取值范围是．