江苏省苏州市2022-2023学年高一数学上学期期末学业质量阳光指标调研试题（Word版附解析）

苏州市2022~2023学年第一学期学业质量阳光指标调研卷高一数学注意事项：学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1.本卷共6页，包含单项选择题（第1题~第8题）､多项选择题（第9题~第12题）､填空题（第13题~第16题）､解答题（第17题~第22题）.本卷满分150分，答题时间为120分钟.答题结束后，请将答题卡交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名､调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔，请注意字体工整，笔迹清楚.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知角，那么的终边在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C【解析】【分析】利用角终边相同公式得到的终边与的终边相同，从而得到的终边所在象限．【详解】因为，又，所以的终边在第三象限．故选：C．2.命题“”的否定为（）A.“”B.“”C.“”D.“”【答案】D【解析】【分析】根据全称命题的否定形式可直接得到结果.【详解】由全称命题的否定可知:的否定为 故选：D3.已知一个面积为的扇形所对的弧长为，则该扇形圆心角的弧度数为（）A.B.C.2D.【答案】B【解析】【分析】根据扇形面积和弧长公式求得正确答案.【详解】设扇形的半径为，圆心角为，则，解得.故选：B4.已知，，则“”是“”成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由条件推结论可判断充分性，由结论推条件可判断必要性.【详解】若“”，则“”必成立；但“”，未必有“”，例如.所以“”是“”成立的充分不必要条件.故选：A.5.下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的周期性、单调性确定正确选项. 【详解】的最小正周期是，不符合题意.在区间上单调递增，不符合题意.对于，，所以在区间上单调递增，不符合题意.对于，画出图象如下图所示，由图可知的最小正周期为，且在区间上单调递减，B选项正确.故选：B6.已知的定义域为A，集合，若，则实数a的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先根据二次不等式求出集合A，再分类讨论集合B，根据集合间包含关系即可求解.【详解】的定义域为A，所以，所以或，①当时，, 满足，所以符合题意；②当时，，所以若，则有或，所以或（舍）③当时，，所以若，则有或（舍），，综上所述，，故选：B.7.三个数，之间的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】结合指数函数、对数函数的单调性，以及临界值，求解即可.【详解】由题意，即，，即，，综上：故选：A 8.已知函数，若函数有两个零点，则实数a的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】画出、和的图象，结合图象以及函数有两个零点求得的取值范围.【详解】函数有两个零点，即有两个不相等的实数根，即与的图象有两个交点.画出、和的图象如下图所示，由解得，设.由解得，设.对于函数，要使与的图象有两个交点，结合图象可知，.故选：D 二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.设集合，集合，则下列对应关系中是从集合A到集合B的一个函数的有（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】根据函数的定义一一判断求解.【详解】对于A，任意，，即任意，都有唯一的与之对应，所以A正确；对于B，存在，，所以B错误；对于C，任意，，即任意，都有唯一的与之对应，所以C正确；对于D，任意，，即任意，都有唯一的与之对应，所以D正确；故选:ACD.10.已知函数，则下列结论中正确的有（）A.B.的定义域为 C.在区间上单调递增D.若，则的最小值为【答案】BC【解析】【分析】根据正切函数的性质周期,定义域,函数值和单调性等选项逐个判断即可.【详解】已知函数,函数的定义域为,即函数的定义域为,故选项正确;则,故选项错误;当,则在区间上单调递增,故选项正确;因为的周期,所以若，则的最小值为,故选项错误;故选:.11.若a，b均为正数，且满足，则（）A.的最大值为2B.的最小值为4 C.的最小值是6D.的最小值为【答案】AD【解析】【分析】根据基本不等式、二次函数的性质对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，，当且仅当时等号成立，A选项正确.B选项，，但由解得，不满足，所以等号不成立，所以B选项错误.C选项，，当且仅当时等号成立，所以C选项错误.D选项，，所以当，时，取得最小值，D选项正确.故选：AD12.已知指数函数（，且）与对数函数（，且）互为反函数，它们的定义域和值域正好互换．若方程与的解分别为，，则（）A.B.C.D. 【答案】ABC【解析】【分析】由题意可得，直线与两函数和的交点横坐标分别为、，结合图像即可判断各选项.【详解】由方程和可化为和，即直线与两函数和的交点横坐标分别为、，由于和互为反函数，则它们图像关于直线对称，如图所示，点、关于点对称，，且，所以，故A正确；因为，所以，又，所以，故B正确；由和它们的图像关于直线对称，所以，，所以，故C正确；对于D，由，则，即，与矛盾，故D错误.故选：ABC.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.求值：__________．【答案】1 【解析】【分析】利用指数对数的运算性质化简即可得到结果.【详解】故答案为：114.已知幂函数满足：①是偶函数；②在区间上单调递减，请写出一个这样的函数__________．【答案】(答案不唯一)【解析】【分析】根据幂函数的性质即得.【详解】因为幂函数为偶函数，且在区间上单调递减，所以函数满足题意.故答案为：.15.已知，则__________．【答案】【解析】【分析】利用同角三角函数平方关系可构造方程求得,再求,进而运算求得结果.【详解】由得：，解得：；由得： 又因为,且,所以即所以则故答案为：.16.我们知道，设函数的定义域为I，如果对任意，都有，且，那么函数的图象关于点成中心对称图形．若函数的图象关于点成中心对称图形，则实数c的值为__________；若，则实数t的取值范围是__________．【答案】①.2②.【解析】【分析】（1）根据题意可得即可求出c的值；（2）根据解析式判断函数的单调性，并根据不等式得，利用函数的对称性和单调性即可求解不等式.【详解】因为函数的图象关于点成中心对称图形，所以，即，即，所以，所以在定义域上单调递减，令，因为函数的图象关于点成中心对称，所以的图象关于对称， 且单调递减，因为，即，即，也即，所以则解得或，故实数t的取值范围是.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.设集合．（1）若，；（2）若，．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解不等式求得集合，由此求得.（2）根据并集、补集、交集的知识求得正确答案.【小问1详解】，所以，所以.，解得，所以.若，则，所以.【小问2详解】或，若，则，所以. 18.已知．（1）若角的终边过点，求；（2）若，分别求和的值．【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）利用诱导公式化简，根据三角函数的定义求得.（2）根据齐次式的知识求得正确答案.【小问1详解】，若角的终边过点，则，所以.【小问2详解】若，所以； .19.某公司为了提升销售利润，准备制定一个激励销售人员的奖励方案．公司规定奖励方案中的总奖金额y（单位：万元）是销售利润x（单位：万元）的函数，并且满足如下条件：①图象接近图示；②销售利润x为0万元时，总奖金y为0万元；③销售利润x为30万元时，总奖金y为3万元．现有以下三个函数模型供公司选择：A．；B．；C．．（1）请你帮助该公司从中选择一个最合适的函数模型，并说明理由；（2）根据你在（1）中选择的函数模型，解决如下问题：①如果总奖金不少于9万元，则至少应完成销售利润多少万元？②总奖金能否超过销售利润的五分之一？【答案】（1）模型C,理由见解析（2）①210万元;②不会.【解析】【分析】（1）根据函数的图象性质即可选择模型；（2）①令解对数不等式求解，②即，结合函数图象的增长速度解释.【小问1详解】模型A．，因为，所以匀速增长，模型B．，因，先慢后快增长，模型C．，因为，先快后慢增长，所以模型C最符合题意.【小问2详解】 因为销售利润x为0万元时，总奖金y为0万元，所以，即，又因为销售利润x为30万元时，总奖金y为3万元，所以，即，由解得，所以，①如果总奖金不少于9万元，即，即，即，解得，所以至少应完成销售利润210万元.②设，即，因为与有交点，且增长速度比慢，所以当时，恒在的下方，所以无解，所以总奖金不会超过销售利润的五分之一.20.已知函数的图象经过点．（1）求在区间上的最大值和最小值；（2）记关于x的方程在区间上的解从小到大依次为，试确定正整数n的值，并求的值． 【答案】（1）最大值为，最小值为；（2），.【解析】【分析】（1）将代入，求出函数的解析式，根据求出的范围，即可求出函数的最大值和最小值；（2）由方程可得，利用余弦函数的性质，可求得n的值和的值.【小问1详解】将代入，得，即，解得，，因为，所以，所以，当时，，所以，所以，所以在区间上的最大值为，最小值为；【小问2详解】因为，所以，即，， 由余弦函数性质可知，在上有4个解，所以，即，，，累加可得，.21.已知为奇函数．（1）判断函数在区间上的单调性，并证明你的判断；（2）若关于x的方程有8个不同的解，求实数m的取值范围．【答案】（1）在单调递增，在上单调递减；证明见解析.（2）【解析】【分析】(1)根据奇函数性质可求得的值，用单调性的定义即可证明函数的单调性.(2)将已知方程因式分解得，，作出的图像，数形结合即可得到的取值范围.【小问1详解】因为函数为奇函数，且定义域为，则，解得，所以，当时，，，所以函数为奇函数.则在单调递增，在上单调递减. 证明如下：，且，当时，，，，所以，即，所以函数在上单调递增；当时，，，，所以，即，所以函数在上单调递减.【小问2详解】因为，则，即，解得或，因为有4个解，要使关于x的方程有8个不同的解，则有4个不同的解，如图所示，根据第一问函数单调性可知，当时，，所以的取值范围是且，综上，的取值范围是.22.已知，分别为定义在上的奇函数和偶函数，且．（1）求和的解析式；（2）若函数在上的值域为，求正实数a的值； （3）证明：对任意实数k，曲线与曲线总存在公共点．【答案】（1），（2）（3）证明见详解【解析】【分析】（1）利用解方程组法即可求得解析式.（2）构造函数通过换元法利用二次函数的最值即可求得的值.（3）分类讨论利用零点存在性定理即可证明.【小问1详解】，分别为定义在上的奇函数和偶函数所以，又因为①，所以②，有①②可知，，.【小问2详解】令，由（1）知，，又因为，令，所以所以，函数在上的值域为，所以，故,当时，得，又因为，所以【小问3详解】 由（1）知，所以与曲线总存在公共点，即在有实数根，令，当时，易知为函数的零点，当时，易知函数在单调递减，又因为，，由零点存在性定理可知:,使得成立.当时，，又因为，，所以.由零点存性定理可知:,使得成立.故对任意实数函数在有零点.即对任意实数曲线与曲线总存在公共点.