湖南省永州市第四中学2022-2023学年高一数学下学期入学考试试题（Word版附解析）

永州四中高一入学考试数学试卷满分：150时间：120分钟一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则的真子集个数是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】首先求集合中的元素个数，再根据集合的真子集个数公式求解.【详解】因为，所以，即，集合中有两个元素，所以的真子集个数是.故选：A2.已知命题“，”，则命题（）A.，B.，C.，D.，【答案】B【解析】【分析】由全称命题的否定，即可得到答案.【详解】由题意可得命题是，故选：B.3.“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】记集合，或. 利用集合法进行判断.【详解】记集合，或.因为Ü，所以“”是“”充分不必要条件.故选：A4.如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，如图是会徽的几何图形，设弧长度是，弧长度是，几何图形面积为，扇形面积为，若，则（）A.5B.6C.7D.8【答案】D【解析】【分析】由条件可得，然后根据扇形的面积公式可得答案.【详解】设，则，所以，所以，故选：D5.已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边在第三象限且与单位圆交于点，则（）A.B.C.D. 【答案】C【解析】【分析】因为点在单位圆上，且终边在第三象限确定唯一，根据三角函数求解.【详解】在单位圆上即终边在第三象限所以，，所以所以.故选：C6.已知函数，则函数的大致图象为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】首先判断函数的奇偶性，排除选项，再根据时，函数值的趋向，即可判断选项.【详解】函数的定义域是，，，所以函数是奇函数，应关于原点对称，故排除CD； ，当时，，，所以，故排除B.故选：A7.用二分法判断方程在区间内的根（精确度0.25）可以是（参考数据：，）（　　）A.0.825B.0.635C.0.375D.0.25【答案】B【解析】【分析】设，由题意可得是上的连续函数，由此根据函数零点的判定定理求得函数的零点所在的区间．【详解】设，，，，在内有零点，在内有零点，方程根可以是0.635.故选：B．8.定义在的函数满足：对，，且，成立，且，则不等式的解集为（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】构造函数，讨论单调性，利用单调性解不等式.【详解】由且，，则两边同时除以可得，令，则在单调递增，由得且，即解得，故选：D.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若，,则下列不等式成立的是（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】举反例可判断,根据不等式的性质可分别判断.【详解】对于A,取，满足，,但，故A错误；对于B,因为，所以，又，故，B正确；对于C,因为，所以，故，C正确； 对于D,取满足，但，D错误，故选：10.下列说法正确的是（）A.函数定义城为B.和g（x）=x表示同一个函数C.函数的图像关于坐标原点对称D.函数f（x）满足，则【答案】AC【解析】【分析】根据函数的相关定义和运算规则逐项分析.【详解】对于A：由解得或x<－2，所以函数的定义域为，故A正确；对于B：的定义域为，的定义为，定义域不相同，所以和不是同一个函数，故B错误；对于C：由，所以为奇函数，所以函数的图像关于坐标原点对称，故C正确；对于D：因为函数f（x）满足，所以， 由解得，故D错误；故选：AC.11.已知是正数，且，则（）A.的最大值为4B.最大值为0C.的最小值为4D.的最小值为【答案】BCD【解析】【分析】根据不等式的性质和基本不等式性质，以及利用“1”的妙用，进行求最值即可得解.【详解】由是正数，且，可得，对A，，由可得，无最大值，故A错误；对B，由，所以，当且仅当时等号成立，所以，故B正确；对C，由基本不等式可得，当且仅当时取等号，故C正确；对D，，当且仅当时取等号，故D正确故选：BCD12.已知函数，其中表示不超过x的最大整数，下列说法正确的是（） A.函数为偶函数B.的值域为C.为周期函数，且最小正周期D.与的图像恰有一个公共点【答案】BCD【解析】【分析】利用特殊值排除错误选项，证明可能正确的选项正确.【详解】对于A，由于，所以，所以不是偶函数，故A错；对于B，由于为整数，的值有三种情况，所以的值域为故B正确；对于C，由于，所以，故C正确；对于D，由B得，令，得或，而不是公共点的横坐标.令，得或，而，所以是两个函数图像的一个公共点.令，得或，而，所以不是两个函数图像的一个公共点.综上所述，两个函数图像有一个公共点，故D正确. 故选：BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知幂函数的图象经过点，那么___．【答案】【解析】【分析】设，代入点可求得；将代入解析式即可求得结果.【详解】为幂函数，可设，则，解得：，，.故答案为：.14.已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集为__．【答案】【解析】【分析】根据不等式解集得到且，代入得到，解得答案.【详解】由题意得，所以，故，即，，故解集为.故答案为：15.若函数存在最大值和最小值，记，侧____________．【答案】16【解析】 【分析】设，证明为奇函数，利用奇函数的性质得出答案.【详解】，令则，即为奇函数，由此故故答案为：16.16.设函数，方程有四个不相等的实根，则的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】根据函数对称性作出图象，结合图象，得到且，求得，化简，结合换元法和二次函数的性质，即可求解.【详解】当时，所以在与上的图像关于对称.作出图象如下图所示，不防令，可得且所以，所以. 因为，令，则原式化为.因为其对称轴为，开口向上，所以在上单调递增所以所以的取值范围是.故答案为：．【点睛】关键点睛：根据函数的对称性，作出函数的图象，结合函数的图象有，化简，利用换元法和二次函数的性质求解是解答的关键.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.计算下列各式的值：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据分式指数幂和根式的运算，即可化简求值； （2）根据对数的运算性质，即可化简求值.【小问1详解】解：原式.【小问2详解】解：原式．18.已知非空集合，．（1）若，求；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由交集，补集的概念求解，（2）转化为集合间关系后列式求解，【小问1详解】当时，，，则,，【小问2详解】由题意得是的真子集，而是非空集合，则且与不同时成立，解得， 故a的取值范围是19.科学实验中，实验员将某种染料倒入装有水的透明水桶，想测试染料的扩散效果，染料在水桶中扩散的速度是先快后慢，1秒后染料扩散的体积是，2秒后染料扩散的体积是，染料扩散的体积y与时间x（单位：秒）的关系有两种函数模型可供选择：①，②，其中m，b均为常数．（1）试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；（2）若染料扩散的体积达到，至少需要多少秒．【答案】（1）选，（2）至少需4秒【解析】【分析】(1)根据两种函数模型的特点和题中染料实际扩散的速度选择模型，代入数据即可求出模型的解析式；(2)根据题干条件，列出不等式，解之即可求解.【小问1详解】因为函数中，随的增长而增长，且增长的速度也越来越快，二函数中，随的增长而增长，且增长的速度也越来越慢，根据染料扩散的速度是先快后慢，所以选第二个模型更合适，即，由题意可得：，解得：，所以该模型的解析式为：，【小问2详解】由（1）知：，由题意知：，也即，则有，∴，∴，∴至少需要4秒． 20.已知，.（1）求的值；（2）若，且，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据诱导公式化简整理，上下同除，计算即可得答案.（2）根据题意及的范围，可求得的值，根据两角差的余弦公式，可得的值，进而可得的值，根据两角和的正切公式，可得的值，即可得答案.【小问1详解】∵，∴，解得.【小问2详解】∵，∴，且，∴，∴，∴，则， ∴，又∵，∴.21.已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）令，求的最小值.【答案】（1）;（2）【解析】【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式及辅助角公式可得，从而可求函数的最小正周期；（2）利用正弦函数的图象与性质可得时，，令，根据二次函数的性质即可求最小值.【小问1详解】，所以函数的最小正周期为.【小问2详解】由，可得，所以.令,则， 令，其对称轴为，①当，即，在上单调递增，所以；②当，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以；③当，即时，在上单调递减，所以.综上所述，故22.已知函数是定义在上的奇函数．（1）判断并证明函数的单调性；（2）是否存在实数，使得函数在区间上的取值范围是？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）是上的增函数，证明见解析（2）存在；【解析】 【分析】(1)先利用奇函数的性质求出字母，再根据函数单调性定义取证明即可；(2)先假设存在，利用第一问函数单调性结论得出两个等式，再结合两个等式的特点转化为一个方程，使用换元法可得一个一元二次方程两个不等正根的问题，结合一元二次方程根与系数关系即可求解.【小问1详解】，所以是上的增函数，证明如下：设，，，∴，，，，∴是上的单调增函数．【小问2详解】假设存在实数，使之满足题意．由（1）可得函数在上单调递增，∴，∴∴，为方程的两个根，即方程有两个不等的实根．令，即方程有两个不等的正根．，∴故存在，实数的取值范围为：