湖北省武汉市新洲区第一中学2022-2023学年高二数学下学期开学收心考试试题（Word版附答案）

新洲一中2024届高二下开学收心考试数学试卷一.选择题（共8小题）1.已知，是实数，若，，且，则（）A.B.0C.2D.42.已知圆，则圆的圆心和半径为（）A.圆心，半径B.圆心，半径C.圆心，半径D.圆心，半径3.椭圆与曲线的（）A.焦距相等B.离心率相等C.焦点相同D.曲线是双曲线4.等比数列的公比为，且，，成等差数列，则的前10项和为（）A.B.C.171D.5.在平面直角坐标系中，椭圆的中心在原点，焦点，在轴上，离心率为，过的直线交椭圆于，两点，且的周长为24，则椭圆的方程为（）A.B.C.D.6.设抛物线的焦点为，准线为.斜率为的直线经过焦点，交抛物线于点，交准线于点（，在轴的两侧）.若，则抛物线的方程为（）A.B.C.D.7.如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是（） ①直线平面②三棱锥的体积为定值③异面直线与所成角的取值范围是④直线与平面所成角的正弦值的最大值为A.①②B.①②③C.①③④D.①②④8.设数列满足，，，则（）A.存在，，B.存在，使得是等差数列C.存在，，D.存在，使得是等比数列二.多选题（共4小题）（多选）9.过点的直线与直线平行，则下列说法正确的是（）A.直线的倾斜角为45°B.直线的方程为：C.直线与直线间的距离为D.过点且与直线垂直的直线为：（多选）10.如图，是椭圆与双曲线在第一象限的交点，且，共焦点，，，，的离心率分别为，，则下列结论不正确的是（） A.，B.若，则C.若，则的最小值为2D.（多选）11.已知数列的前项和为且满足，，下列命题中正确的是（）A.是等差数列B.C.D.是等比数列（多选）12.已知正三棱柱的棱长均为2，点是棱上（不含端点）的一个动点.则下列结论正确的是（）A.棱上总存在点，使得直线平面B.的周长有最小值，但无最大值C.三棱锥外接球的表面积的取值范围是D.当点是棱的中点时，二面角的正切值为三.填空题（共4小题）13.圆关于直线对称的圆的标准方程为______.14.若双曲线的一个焦点为，两条渐近线互相垂直，则______. 15.已知数列满足，，则的最小值为______.16.如图，在三棱柱中，，，，在底面的射影为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为______.四.解答题（共6小题）17.已知等差数列中，，.（1）求首项和公差；（2）求该数列的前10项的和的值.18.如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值.19.已知等差数列的公差为，且关于的不等式的解集为.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列前项和.20.如图，已知椭圆的一个焦点为，离心率为. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点作斜率为的直线交椭圆于两点，，的中点为.设为原点，射线交椭圆于点.当与的面积相等时，求的值.21.已知数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）若恒成立.求实数的最大值.22.在平面直角坐标系中，已知点，，设的内切圆与相切于点，且，记动点的轨迹为曲线.（1）求的方程；（2）设过点的直线与交于，两点，已知动点满足，且，若，且动点在上，求的最小值.新洲一中2024届高二下开学收心考试数学解析一.选择题（共8小题）1.【解答】解：根据题意，若，，且，设，则有，解可得、，则；故选：D.2.【解答】解：根据题意，圆，即，即圆心为 ，半径；故选：A.3.【解答】解：时，曲线方程为：，即，，且，所以曲线为椭圆，可得椭圆的焦距，焦点在轴上，椭圆的焦距，焦点在轴上，所以两个椭圆的焦点不同，焦距相同，曲线的离心率由参数，所以离心率不同，故选：A.4.【解答】解：∵等比数列的公比为，且，，成等差数列，∴，即，解得，∴等比数列的前10项和为，故选：A.5.【解答】解：由于椭圆的焦点在轴上，故设椭圆的方程为，又离心率为，则，又过的直线交椭圆于，两点，且的周长为24，则，解得，所以，则，所以椭圆的方程为.故选：A.6.【解答】解：如图，设抛物线的准线与轴交于点，抛物线与直线的另一个交点为，分别过，作准线的垂线，垂足点分别为，，设，，则，，又直线的斜率为，∴，∴，∴，，又，∴，∴，∴，，∴，又易知 ，∴，∴，∴抛物线的方程为.故选：B.7.【解答】解：在①中，∵，，，且，平面，∴平面，平面，∴，同理，，∵，且，平面，∴直线平面，正确；在②中，∵，平面，平面，∴平面，∵点在线段上运动，∴到平面的距离为定值，又的面积是定值，∴三棱锥的体积为定值，正确；在③中，∵，∴异面直线与所成角为直线与直线的夹角.易知为等边三角形，当为的中点时，；当与点或重合时，直线与直线的夹角为.故异面直线与所成角的取值范围是，错误；在④中，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1，则，，，，所以，.由①正确：可知是平面的一个法向量，∴直线与平面所成角的正弦值为：，∴当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为，正确.故选：D.8.【解答】解：∵，∴①，则②，由①-②得，∴，则，由此可得，，∴，则且，，故，故A，C错误；由，则不是常数，故不存在，使得是等差数列，故B错误；假设存在，使得是等比数列，设公比为，则， ∴，由，则，解得，故存在，使得是等比数列，故D正确.故选：D.二.多选题（共4小题）9.【解答】解：直线与直线平行，则直线的斜率为，即直线的倾斜角为135°，故A错误，设直线的方程为，直线过点，则，解得，故直线的方程为，故B正确，直线与直线间的距离为，故C正确，过点且与直线垂直的直线可设为，代入可得，，解得，故过点且与直线垂直的直线为：，故D正确.故选：BCD.10.【解答】解：依题意，，解得，，A不正确；令，由余弦定理得：，当时，，即，因此，B正确；当时，，即，有，而，则有，解得，C不正确； ，，于是得，解得，而，，因此，D不正确.故选：ACD.11.【解答】解：∵，∴，∴，又，∴是以首项为3，公差为3的等差数列，∴A选项正确；∴，∴，∴B选项正确；当时，，又，∴，∴C选项错误；∴，∴是以首项为，公比为的等比数列，∴D选项正确.故选：ABD.12.【解答】解：对A，在上取一点使得，则，当时，四边形为平行四边形，故，又平面，平面，所以直线平面，故A正确；对B，如图展开侧面，易得当在与的交点时取得最小值， 因为是棱上（不含端点）的一个动点，故无最大值，故的周长有最小值，但无最大值，故B正确；对C，由题意，三棱锥外接球即四棱锥的外接球，取中点，中点，连接并延长，交正方形的外接圆于，则.易得平面平面，根据外接球的性质有外接球的球心在平面中，且为的外接圆圆心，由对称性，可得当在中点时，最大，此时外接球直径最小，此时，故外接球直径，此时外接球表面积，当在或者点时，三棱锥外接球即正三棱柱的外接球，此时外接球的一条直径与和的外接圆直径构成直角三角形：此时外接球直径，此时外接球表面积，因为点是棱上（不含端点）的一个动点，故三棱锥外接球的表面积的取值范围是，故C正确； 对D，设到平面的距离为，则由，即，故，设到线段的距离，则，解得，故二面角的正切值为，故D错误；故选：ABC.三.填空题（共4小题）13.【解答】解：设圆关于直线对称的圆的圆心为，由题意可得，，解得，，故对称点的坐标是，故圆的方程为.故答案为：. 14.【解答】解：由题意可得：，，解得，故答案为：.15.【解答】解：∵，，，…，由累加得，所以，∴，∵在上单调递减，在上单调递增，∴在上单调递减，在上单调递增，且，∴或5时最小，时，；时，，所以的最小值为.故答案为：.16.【解答】解：如图所示：取的中点，连接，，，因为，，又，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面，又平面平面，作，则平面，因为，所以直线与平面所成角的正弦值为.故答案为：. 四.解答题（共6小题）17.【解答】解：（1）因为在等差数列中，，，所以有，；（2）因为在等差数列中，，，所以.18.【解答】证明：（1）取中点为，连接，，如图所示，因为，分别是，的中点，所以且，又因为且，所以，，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面.解：（2）取中点为，以为空间直角坐标系原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，，设平面的法向量为，因为，，所以，令，解得，即，设平面的法向量为，因为，，所以，令，解得，即，所以，所以平面与平面夹角的余弦值为.19.【解答】解：（1）关于的不等式的解集为，可得，3是方程的两根，则，，解得，，则；（2），数列前项和，，上面两式相减可得，化简可得.20.【解答】解：（Ⅰ）由题意得，又，则， ∴，∴椭圆的方程为；（Ⅱ）由（Ⅰ）得椭圆的方程为，由题意得直线的方程为，即，联立直线与椭圆可得，整理得，设，，由韦达定理得，，∵与的面积相等，∴点和点到直线的距离相等，又的中点为，则为线段的中点，即四边形是平行四边形，设，则，即，∴，，又，即，解得.21.【解答】解：（1）依题意，，当时，，解得，当时，，，两式相减得，因此，则，则是以为首项，2为公比的等比数列，由，显然满足上式，所以数列的通项公式为.（2）由（1）可知，，因，整理得：， 令，则，显然，当时，，即，因此当时，数列是递增的，于是得，依题意，恒成立，即有，所以实数的最大值为.22.【解答】解：（1）设的内切圆与，分别相切于点，，由切线长性质可知，，，，所以，所以，所以动点的轨迹为以点，为焦点，长轴长为4的椭圆（且不在上），设动点的轨迹方程为，则，，解得，所以曲线的方程为；（2）设，，，因为，所以，若，则，则，即与重合，与矛盾，则；所以，，即，将点的坐标代入，整理可得，同理可得，，则，是方程的两个根， 则，即，所以动点在定直线上，显然直线与没有交点，令直线，当直线与相切时，即，的距离为，则，联立，消去可得，，则，解得（负值舍去），此时，可解得，，即切点坐标为，