河南省漯河市第四高级中学2022-2023学年高一数学上学期期末试题（Word版附解析）

2022-2023学年高一期末达标模拟检测卷一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.命题“∀xR，∃n0N*，使得n0≥2x+1”的否定形式是（）A.∀xR，∃n0N*，使得n0<2x+1B.∀xR，∀n0N*，使得n0<2x+1C.∃x0R，∃nN*，使得n<2x0+1D.∃x0R，∀nN*，使得n<2x0+1【答案】D【解析】【分析】特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题，依据规则写出命题的否定形式即可.【详解】解：由特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题，则命题“∀xR，∃n0N*，使得n0≥2x+1”的否定形式为“∃x0R，∀nN*，使得n<2x0+1”，故选：D．2.设集合，，则是的真子集的一个充分不必要的条件是A.B.C.D.【答案】D【解析】【详解】,若,则,BA,若,则A,若,则A,A的一个充分不必要条件是. 3.若正数满足，则的最小值为（）A.8B.9C.10D.12【答案】B【解析】【分析】根据题意确定的正负，利用基本不等式求得答案.【详解】由题意可得正数满足，当时，则，当且仅当时取等号，当时，，不合题意；故的最小值为9，故选：B4.已知关于的不等式的解集中恰有三个整数，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由题意易知，利用求根公式求出不等式的解满足，易知，则不等式中的三个整数为1,2,3，由此即可知，由此即可求出答案.【详解】因为，所以，因为该不等式的解集中恰有三个整数， 则，即，则不等式的解满足：，即，显然，要使解集中恰有3个整数，则需满足，即，解得：，所以实数的取值范围是：.故选：D.5.已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，f（x）在[0，+∞）上递增，且f（2）＝0，则不等式（x﹣1）f（x）＞0的解集是（）A.（﹣∞，1）∪（2，+∞）B.（﹣2，1）∪（2，+∞）C.（﹣2，1）∪（1，2）D.（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）【答案】B【解析】【分析】由奇偶性得出函数在上的单调性，然后分类讨论求解不等式可得．【详解】解：∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)在[0，+∞)上递增，f(2)＝0，∴函数f(x)在(﹣∞，0)上为减函数，且f(﹣2)＝f(2)＝0，则不等式(x﹣1)f(x)＞0等价为或，解得或，即不等式的解集为(﹣2，1)∪(2，+∞)．故选：B． 6.若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】把不等式变形，分和情况讨论，数形结合求出答案.【详解】变形为：，即在上恒成立，若，此时在上单调递减，，而当时，，显然不合题意；当时，画出两个函数的图象，要想满足在上恒成立，只需，即，解得：，综上：实数a的取值范围是.故选：C 7.设函数，若函数恰有三个零点，，，则的值是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先求出在的对称轴和，根据图像判断出，关于对称，，关于对称，即可求得.【详解】函数令，可得：，.∵∴令，可得一条对称轴方程.∴令，可得一条对称轴方程.函数恰有三个零点，可知，关于其中一条对称是对称的，即，关于其中一条对称是对称的.即那么.故选：B. 【点睛】求几个零点的和通常利用对称轴即可求解.8.核酸检测在新冠疫情防控核中起到了重要作用，是重要依据之一，核酸检测是用荧光定量法进行的，即通过化学物质的荧光信号，对在扩增过程中的靶标进行实时检测．已知被标靶的在扩增期间，每扩增一次，的数量就增加．若被测标本扩增次后，数量变为原来的倍，则的值约为（），（参考数据：，）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】设数量没有扩增前数量为，由题意可得，解指数方程即可得的值.【详解】设数量没有扩增前数量为，由题意可得，所以，所以，可得，，故选：C.二、多选题（本大题共4小题，共20分.在每小题有多项符合题目要求，漏选得2分，错选不得分）9.若，且满足，则（）A.的最小值为4B.的最小值为2C.的最小值为D.的最小值为【答案】AD【解析】【分析】将，变形为，然后利用“1”的代换，由利用基本不等式求解；根据，再用“1”的代换，由利用基本不等式求解. 【详解】因为，且满足，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为4，因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为故选：AD【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，还考查了转化化归思想和运算求解的能力，属于中档题.10.已知函数，．记，则下列关于函数的说法正确的是（）A.当时，B.函数的最小值为C.函数在上单调递减D.若关于的方程恰有两个不相等的实数根，则或【答案】ABD【解析】 【分析】得到函数，作出其图象逐项判断.【详解】由题意得：，其图象如图所示：由图象知：当时，，故A正确；函数的最小值为，故正确；函数在上单调递增，故错误；方程恰有两个不相等的实数根，则或，故正确；故选：ABD11.设函数的定义域为，若对于任意，存在使（为常数）成立，则称函数在上的“半差值”为下列四个函数中，满足所在定义域上“半差值”为的函数是（）A.B.C.D. 【答案】AC【解析】【分析】根据题中定义逐项判断可得出合适的选项.【详解】解：由题可知：对任意定义域中的任意，存在，使得，对于A选项，函数的值域为，A满足条件；对于B选项，当时，，此时不存在自变量，使得函数值为，故B不满足；对于C选项，函数的值域为，C满足条件；对于D，当时，，所以，不存在自变量，使得函数值为，所以D不满足.故选：AC.12.对任意两个实数，，定义，若，，下列关于函数的说法正确的是（）A.函数是偶函数B.方程有两个实数根C.函数在上单调递增，在上单调递减D.函数有最大值为0，无最小值【答案】ABD【解析】【分析】先根据题意化简函数，再分段画函数图象，结合函数图象逐一判断选项的正误即可.【详解】解：因为，所以,时，，；或时，，.故的图象如图所示： 由图可知，函数是偶函数，故A正确；3有两个实数根或，故B正确；函数在上单调递减，在上单调递增，故C错误；函数有最大值为0，无最小值，故D正确.故选：ABD.三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.古希腊数学家欧几里得所著《几何原本》中的“几何代数法”，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明“如图，为线段中点，为上的一点.以为直径作半圆，过点作的垂线，交半圆于.连结，，，过点作的垂线，垂足为.设，，则图中线段，线段，线段________；由该图形可以得出，，的大小关系为__________.【答案】①.②.【解析】【分析】第一空由即可得，第二空由中线段长度大小即可得，注意当和重合的特殊情况.【详解】由题意得：，，由于，，∴，则，故 ，利用直角三角形的边的关系，得.当和重合时，，∴，即故答案为：,.14.已知是奇函数，是偶函数，它们的定义域为，且它们在上的图象如图所示，则函数是__________填“奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、既不是奇函数又不是偶函数”中的一个；不等式的解集是__________.【答案】①.奇函数②.【解析】【分析】由函数奇偶性的定义可判定是奇函数；观察图象选择与的函数值异号的部分，从而求得答案.【详解】∵为奇函数，为偶函数，，，∴，为奇函数；由题中图象可知，当时，与异号，∴的解集为故答案为：奇函数；. 15.设函数________．若函数有最小值，且无最大值，则实数的取值范围是________．【答案】①.##-0.5②.【解析】【分析】由可得，从而可求出值，先求出每段函数的值域，然后由有最小值，且无最大值，可得，从而可求得实数的取值范围【详解】因为所以，，解得，当时，，当时，，因为函数有最小值，且无最大值，所以，解得，所以实数的取值范围是，故答案为：， 16.已知函数，，的图象在y轴上的截距为1，且关于直线对称.若对于任意的.存在.使得，则实数m的取值范围为___________.【答案】【解析】【分析】根据的图象在y轴上的截距为1，且关于直线对称，求得，再根据对于任意的.存在.使得，由求解.【详解】因为的图象在y轴上的截距为1，且关于直线对称，所以，，所以，因为，所以，所以，当时，，所以，所以，在上递减，所以，因为对于任意的.存在.使得， 所以，即，解得，所以实数m的取值范围为.故答案为：【点睛】结论点睛：不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数，（1）若，，总有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，则的值域是值域的子集．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知，.（1）是否存在实数，使是的充要条件？若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由；（2）是否存在实数，使是的必要条件？若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由.【答案】（1）存在，；（2）存在，.【解析】【分析】（1）化简集合，解方程组即得解；（2）由题得，再分和两种情况讨论得解.【小问1详解】由. 要使是的充要条件，则P=S.所以有，此方程组解得.所以存在实数，使是的充要条件.【小问2详解】要使是的必要条件，则.当时，，解得；当时，，解得，要使，则有，解得.综上可得，当实数2时，是的必要条件.18.如图所示，将一个矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在射线AB上，N在射线AD上，且对角线MN过C点已知米，米，设AN的长为米（1）要使矩形AMPN的面积大于54平方米，则AN的长应在什么范围内？（2）求当AM，AN的长度分别是多少时，矩形花坛AMPN的面积最小，并求出此最小值；【答案】（1）（2），最小面积为48平方米【解析】【分析】（1）先表达出AMPN的面积表达式，时解出不等式，即可知AN的取值范围.（2）令，将式子化成对勾函数后求最值.【小问1详解】 解：设的长为米（）是矩形由，得，解得或即的取值范围为【小问2详解】令，（），则当且仅当，即时，等号成立，此时，最小面积为48平方米19.已知二次函数的图象经过点，且，方程有两个相等的实根.（1）求的解析式；（2）设，①判断函数的单调性，并证明；②已知，求函数的最小值.【答案】（1） （2）①单调递减，在单调递增；②【解析】【分析】（1）通过待定系数的方式，以及条件中二次函数图象经过点，，方程有两个相等的实根，列出对应的方程组，从而得到的解析式；（2）①通过单调性的定义证明函数的单调；②因为条件中的和中的具有关系，所以可以换元，并求出的范围，并将函数化简为，从而求出函数的最小值.【小问1详解】（法一）设，则，由得，化简得恒成立，则，即因为方程有两个相等实根，即有两个相等实根，所以，可得，..（法二）由可得对称轴为，又过点，因此设，，所以因为方程有两个相等实根，即有两个相等实根，所以，可得.小问2详解】 ①在单调递减，在单调递增.证明：任取，则·当时，，，则，在单调递增；当时，，，则，在单调递减.因此在单调递减，在单调递增.②令，则.因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以.设，1）当时，，在上单调递增，2）当时，，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增所以在上单调递增，综上，.20.已知定义域均为的函数和，是偶函数，是奇函数，（1）求解析式；（2）判断在的单调性，并用定义证明；（3）若，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）（2）在上是增函数；证明见解析（3）【解析】【分析】（1）根据是偶函数，是奇函数，可得，再将其与联立，解方程即可求出解析式；（2）根据单调性的定义即可判断并证明在的单调性；（3）令，由（2）可知，再整理化简可得，设，将原问题转化为当，恒成立，再根据二次函数的性质求解即可.【小问1详解】解：因为，则且是偶函数，是奇函数，所以，，可得【小问2详解】解：任取，令，因为，所以，，则，即，所以在上是增函数．【小问3详解】 解：令，由（2）可知，单调递增，又为偶函数，，单调递减，所以时，取得最大值，时，取得最小值，即又所以设，所以当，恒成立，即或或成立又解得；无解；无解；所以21.函数（其中）的部分图象如图所示，把函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移1个单位，得到函数的图像．（1）判断在的解的个数，并求出所有解的和； （2）令，若对任意都有恒成立，求的最大值．【答案】（1）个，；（2）．【解析】【分析】（1）由图像可得，求出周期，从而可求出的值，再将点代入函数中可求出的值，则可求出函数解析式，再利用三角函数图像变换规律求出的解析式，再根据正弦函数图与性质，求得在的解的个数，以及所有解的和，（2）由题意可得，令，则，再利用二次函数的性质可得恒成立，由此可求得的范围，从而可求出的最大值【详解】（1）根据图像可知代入得，，把函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移1个单位，得到函数，由，得，当，则，在的解的个数为4个，设这4个解分别为， 根据函数图像的对称性可得，所以，所以所以在的解的个数为4个，所有解的和为-（2）由（1）可知对任意都有恒成立令，，是关于的二次函数，开口向上则恒成立而的最大值，在或时取到最大值则，，解得所以，则的最大值为．-22.已知函数（1）若存在实数m，使得（其中为常数）对一切恒成立，求实数a的取值范围；（2）若存在实数n，使得函数（其中n为常数）有三个零点，求实数a的取值范围.【答案】（1）（2）或.【解析】【分析】（1）分与两类情况讨论即可；（2）根据二次函数与一次函数性质，分四类情况讨论即可求解.【小问1详解】当时，， 若存在实数m，使得，则，解得；当时，，若存在实数m，使得，则，解得.综上：.【小问2详解】函数有三个零点,等价于与的图像有三个交点.由（1）知：，易知左右侧两个函数不能同时为一次函数，若均为二次函数，左侧对称轴为，右侧对称轴为，若要满足与的图像有三个交点，分四类情况讨论：①左侧为一次函数，即，此时，图像如图所示：符合题意，所以.②右侧为一次函数，即，，此时，图像如图所示： 不符合题意.③左右两侧开口方向相反，两条对称轴在同一侧则，解得或；④两条对称轴在各自区间则，解得：.综上：或.【点睛】二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．