华师大版九下数学27.1.2第2课时垂径定理导学案

27.2圆的对称性2.圆的对称性第2课时垂径定理学习目标：1.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.（重点）2.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）自主学习一、知识链接1.圆是_____对称图形，它的对称轴是____________________________.2.如图，OA=_______,△OAB是_____三角形；若OD⊥AB，则AE=______,∠AOD=______,∴=_______.二、新知预习（预习课本P39-40）填空并完成练习：(1)垂径定理：垂直于弦的直径______弦，并且______弦所对的两条弧.(2)平分弦(不是直径)的直径______弦，并且_________弦所对的弧.(3)平分弧的直径__________这条弧所对的弦.练习：（1）如图，⊙O中，若OD⊥AB于点C，OB=13，AB=24，则BC的长为，OC的长为.（2）如图，⊙O中，若C为AB的中点，OC=5，OB=13，则BC的长为，AB的长为.（3）如图，⊙O中，若D为弧AB的中点，AB=24，OC=5，则OB的长为.合作探究一、要点探究探究点1：垂径定理及其推论做一做1.剪一张圆纸片，任意画一条直径CD后，再画一条垂直于CD的弦AB，垂足为E.将纸片沿着直径CD对折，对比AE和BE，和，和，你有什么发现？请证明你的结论.【要点归纳】 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.推导格式：∵CD是直径，CD⊥AB，∴AE=BE，，.想一想下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？（1）（2）（3）（4）归纳总结：垂径定理的几个基本图形【典例精析】例1如图，OE⊥AB于点E，若⊙O的半径为10cm，OE=6cm，则AB=cm.【针对训练】如图，⊙O的弦AB＝8cm，直径CE⊥AB于点D，DC＝2cm，求半径OC的长.【方法归纳】运用垂径定理求线段长度时，常用做辅助线的方法如下：①连结半径；②过圆心作弦的弦心距；③作垂直于弦的直径，为应用垂径定理创造条件.思考探索如果把垂径定理结论与题设交换一条，命题是真命题吗？①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？命题1如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.(1)CD⊥AB吗？为什么？(2)与相等吗？与相等吗？为什么? 【要点归纳】垂径定理的推论——平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.命题2如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使D为的中点.(1)CD⊥AB吗？请说明理由；(2)AE=BE吗？请说明理由.【要点归纳】垂径定理的推论——平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦.【典例精析】例2已知：⊙O中弦AB∥CD，求证：.方法一：证明：作直径MN⊥AB.方法二：证明：取的中点M，连结OM.探究点2：垂径定理的实际应用例3如图，圆弧形桥拱的跨度AB=12米，拱高CD=4米，求拱桥的半径．【针对训练】如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，CD=10，EM=25．求⊙O的半径． 【方法归纳】在圆中涉及弦长a，半径r，弦心距(圆心到弦的距离)d，弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.二、课堂小结垂径定理内容垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.推论一条直线满足：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦(不是直径)；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其他三个结论(“知二推三”).辅助线两条辅助线：半径，弦心距.基本图形及变式图形构造直角三角形利用勾股定理直接计算或建立方程求解.当堂检测1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=5cm，CD=8cm，则OE=____cm.第1题图第2题图第3题图2.如图，在⊙O中，弦AB为8mm，圆心O到AB的距离为3mm，则⊙O的半径等于_____mm.3.如图，⊙O的弦AB=8，半径ON交AB于点M，M是AB的中点，且OM=3，则MN的长为________.4.如图，AB、BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，垂足为D，若⊙O的直径为5，BC=4，求AB的长.5.如图，AB是⊙O的直径，点P是AB上一点，且点P是弦CD的中点．（1）依题意画出弦CD，并说明画图的依据；（不写画法，保留画图痕迹）（2）若AP=2，CD=8，求⊙O的半径.6.如图是输水管的切面，阴影部分是有水部分，其中水面AB宽10cm，水最深3cm，求输水管的半径． 参考答案自主学习一、知识链接1.轴直径所在的直线2.OB等腰BE∠BOD二、新知预习（1）平分平分（2）垂直于平分（3）垂直平分练习：（1）125（2）1224（3）13合作探究一、要点探究探究点1：垂径定理及其推论做一做：1.AE=BE，，证明如下：∵OA=OB，OD⊥AB，∴AE=BE，∠AOD=∠BOD，∴.∵，∴，∴.想一想：解：（1）是.(2)不是，因为没有垂直.(3)是.（4）不是，因为CD没有过圆心.【典例精析】例116【针对训练】解:连结OA，∵CE⊥AB于点D，∴设OC=x，则OD=x-2，根据勾股定理，得x2=42+(x-2)2，解得x=5cm.即半径OC的长为5cm.思考探索命题1解：（1）CD⊥AB.连结AO、BO，则AO=BO，又AE=BE，OE=OE,∴△AOE≌△BOE，∴∠AEO=∠BEO=90°，∴CD⊥AB.（2）由垂径定理可得=，=.命题2解：（1）CD⊥AB，理由如下：∵D为的中点，∴，∴∠AOB=∠BOD.即OD平分∠AOB.∵OA=OB，∴OD⊥AB，即CD⊥AB.（2）AE=BE.理由如下：由（1）知OA=OB，OD⊥AB，则AE=BE.【典例精析】 例2方法一：证明：作直径MN⊥AB.∵AB∥CD，∴MN⊥CD.则（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧），∴∴.方法二：证明：取的中点M，连结OM.∴OM⊥AB，∵AB∥CD，∴MN⊥CD，∴，∴∴.探究点2：垂径定理的实际应用【典例精析】例3解：根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD所在的直线上，设圆心是O，连结OA、OD．根据垂径定理，得AD=6，设圆的半径是r，则OD=r-4.根据勾股定理，得r2=36+（r-4）2，解得r=6.5，答：拱桥的半径是6.5米．【针对训练】解：连结OC，∵M是弦CD的中点，EM过圆心O，∴EM⊥CD．∴CM=MD．∵CD=10，∴CM=5．设OC=x，则OM=25-x，在Rt△COM中，根据勾股定理，得52+（25-x）2=x2．解得 x=13．∴⊙O的半径为13．当堂检测1.32.53.24.解：连结OB，∵AO⊥BC，垂足为D，BC=4，∴BD=CD=2，∠BDO=90°.由勾股定理得OD=，∴AD=OA+OD=4.在Rt△ADB中，由勾股定理得AB=5.解：（1）画出弦CD，如图．依据：垂直于弦的直径平分弦．（2）如图，连结OD，∵OA⊥CD于点P，AB是⊙O的直径，∴PD=CD.∵CD=8，∴PD=4．设⊙O的半径为r，则OD=r，OP=OA-AP=r-2，在Rt△ODP中，OD2=OP2+PD2，即r2=（r-2）2+42，解得r=5，即⊙O的半径为5． 6.解：设圆形切面的半径为r，过点O作OD⊥AB于点D，OD的延长线交⊙O于点E，则AD=BD=AB=×10=5（cm）.∵最深地方的高度是3cm，∴OD=r-3，在Rt△OBD中，OB2=BD2+OD2，即r2=52+（r-3）2，解得r=cm，∴输水管的半径为cm．