江苏省南京天印高级中学2022-2023学年高三数学下学期一模考试试卷（Word版附解析）

2022-2023学年南京天印高级中学高三第二学期一模考试试卷一．选择题（共8小题）1．“x∈{x|log3（2﹣x）≤1}”是“x∈{x||x﹣1|≤1}”的（　　）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要2．已知复数z在复平面内对应的点都在射线y＝3x（x＞0）上，且|z|＝，则z的虚部为（　　）A．3B．3iC．±3D．±3i3．在五边形ABCDE中，＝，＝，M，N分别为AE，BD的中点，则＝（　　）A．B．C．D．4．衡阳市在创建“全国卫生文明城市”活动中，大力加强垃圾分类投放宣传．某居民小区设有“厨余垃圾”、“可回收垃圾”、“其它垃圾”三种不同的垃圾桶．一天，居民小贤提着上述分好类的垃圾各一袋，随机每桶投一袋，则恰好有一袋垃圾投对的概率为（　　）A．B．C．D．5．某中学开展劳动实习，学习加工制作食品包装盒．现有一张边长为6的正六边形硬纸片，如图所示，裁掉阴影部分，然后按虚线处折成高为的正六棱柱无盖包装盒，则此包装盒的体积为（　　）A．144B．72C．36D．246．已知函数g（x）＝sin（ωx+φ），g（x）图象上每一点的横坐标缩短到原来的，得到f（x）的图象，f（x）的部分图象如图所示，若，则ω等于（　　） A．B．C．D．7．某圆锥母线长为2，底面半径为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（　　）A．2B．C．D．18．已知e≈2.71828是自然对数的底数，设a＝﹣，b＝﹣，c＝﹣ln2，则（　　）A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．b＜c＜aD．c＜a＜b二．多选题（共4小题）（多选）9．对于两条不同直线m，n和两个不同平面α，β，下列选项中正确的为（　　）A．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥nB．若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n或m∥nC．若m∥α，α∥β，则m∥β或m⊂βD．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α（多选）10．已知函数f（x）＝，则下列结论正确的是（　　）A．f（x）是偶函数B．f（f（﹣π））＝1C．f（x）是增函数D．f（x）的值域为[﹣1，+∞）（多选）11．提丢•斯波得定律是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何学规则，它是在1766年由德国的一位中学老师戴维斯•提丢斯发现的，后来被柏林天文台的台长波得归纳成一条定律，即数列{an}：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，19.6，…表示的是太阳系第n颗行星与太阳的平均距离（以天文单位A．U．为单位）．现将数列{an}的各项乘10后再减4，得到数列{bn}，可以发现数列{bn}从第3项起，每项是前一项的2 倍，则下列说法正确的是（　　）A．数列{bn}的通项公式为bn＝3×2n﹣2B．数列{an}的第2021项为0.3×22020+0.4C．数列{an}的前n项和Sn＝0.4n+0.3×2n﹣1﹣0.3D．数列{nbn}的前n项和Tn＝3（n﹣1）•2n﹣1（多选）12．定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足2f（x）+xf′（x）＝，f（1）＝0，则下列说法正确的是（　　）A．f（x）在x＝处取得极大值，极大值为B．f（x）有两个零点C．若f（x）＜k﹣在（0，+∞）上恒成立，则k＞D．f（1）＜f（）＜f（）三．填空题（共4小题）13．在二项式（1﹣3x）n的展开式中，若所有项的系数之和等于64，那么在这个展开式中，x2项的系数是　　．（用数字作答）14．抛物线C：x2＝2py，其焦点到准线l的距离为4，则准线l被圆x2+y2﹣6x＝0截得的弦长为　　．15．若直线y＝﹣2x+与曲线y＝﹣ax相切，则a＝　　．16．已知椭圆C：的两个焦点为F1（﹣2，0）和F2（2，0），直线l过点F1，点F2关于l的对称点A在C上，且＝6，则C的方程为　　．四．解答题（共6小题）17．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn+1+2Sn﹣1＝3Sn（n≥2）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令，求数列{bn}的前n项和Tn．18．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知tanA＝．（1）若a＝，c＝，求b的值； （2）若角A的平分线交BC于点D，＝，a＝2，求△ACD的面积．19．2020年将全面建成小康社会，是党向人民作出的庄严承诺．目前脱贫攻坚已经进入冲刺阶段，某贫困县平原地区家庭与山区家庭的户数之比为3：2．用分层抽样的方法，收集了100户家庭2019年家庭年收入数据（单位：万元），绘制的频率直方图如图所示，样本中家庭年收入超过1.5万元的有10户居住在山区．（1）完成2019年家庭年收入与地区的列联表，并判断是否有99.9%的把握认为该县2019年家庭年收入超过1.5万元与地区有关．超过1.5万元不超过1.5万元总计平原地区山区10总计附：K2＝，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k）0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828（2）根据这100个样本数据，将频率视为概率．为了更好地落实党中央精准扶贫的决策，从2020年9月到12月，每月从该县2019年家庭年收入不超过1.5万元的家庭中选取4户作为“县长联系家庭”，记“县长联系家庭”是山区家庭的户数为X，求X的分布列和数学期望E（X）．20．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BCC1B1为矩形，ABB1A1是边长为2的菱形，BC＝1，AC＝， （1）证明：平面A1BC⊥平面ABB1A1；（2）若AC＝A1C，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．21．在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别F1、F2焦距为2，且与双曲线﹣y2＝1共顶点．P为椭圆C上一点，直线PF1交椭圆C于另一点Q．（1）求椭圆C的方程；（2）若点P的坐标为（0，b），求过P、Q、F2三点的圆的方程；（3）若＝λ，且λ∈[，2]，求的最大值．22．已知函数f（x）＝aex﹣x2（a∈R）（其中e≈2.71828为自然对数的底数）．（1）当a＝1时，求证：函数f（x）图象上任意一点处的切线斜率均大于；（2）若对于任意的x∈[0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围． 2022-2023学年南京天印高级中学高三第二学期一模考试试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．“x∈{x|log3（2﹣x）≤1}”是“x∈{x||x﹣1|≤1}”的（　　）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要【解答】解：由log3（2﹣x）≤1得0＜2﹣x≤3，得﹣3≤x﹣2＜0，得﹣1≤x＜2，即A＝[﹣1，2），由|x﹣1|≤1得﹣1≤x﹣1≤1得0≤x≤2，即B＝[0，2]，则x∈A是x∈B的既不充分也不必要条件，故选：D．2．已知复数z在复平面内对应的点都在射线y＝3x（x＞0）上，且|z|＝，则z的虚部为（　　）A．3B．3iC．±3D．±3i【解答】解：因为复数z在复平面内对应的点都在射线y＝3x（x＞0）上，设z＝a+3ai，a∈R，a＞0，所以|z|＝，解得a＝1，故复数z＝1+3i，所以z的虚部为3．故选：A．3．在五边形ABCDE中，＝，＝，M，N分别为AE，BD的中点，则＝（　　）A．B．C．D．【解答】解：因为＝，＝，M，N分别为AE，BD的中点，所以＝＝．故选：C． 4．衡阳市在创建“全国卫生文明城市”活动中，大力加强垃圾分类投放宣传．某居民小区设有“厨余垃圾”、“可回收垃圾”、“其它垃圾”三种不同的垃圾桶．一天，居民小贤提着上述分好类的垃圾各一袋，随机每桶投一袋，则恰好有一袋垃圾投对的概率为（　　）A．B．C．D．【解答】解：某居民小区设有“厨余垃圾”、“可回收垃圾”、“其它垃圾”三种不同的垃圾桶．一天，居民小贤提着上述分好类的垃圾各一袋，随机每桶投一袋，基本事件总数n＝＝6，其中恰好有一袋垃圾投对包含的基本事件个数m＝＝3，则恰好有一袋垃圾投对的概率为P＝＝．故选：D．5．某中学开展劳动实习，学习加工制作食品包装盒．现有一张边长为6的正六边形硬纸片，如图所示，裁掉阴影部分，然后按虚线处折成高为的正六棱柱无盖包装盒，则此包装盒的体积为（　　）A．144B．72C．36D．24【解答】解：由正六棱柱的每个内角为，按虚线处折成高为的正六棱柱，即BF＝，∴BE＝，可得正六边形的底面边长为AB＝6﹣2×1＝4，则正六棱柱的底面积为S＝6×＝，则此包装盒的体积为V＝．故选：B． 6．已知函数g（x）＝sin（ωx+φ），g（x）图象上每一点的横坐标缩短到原来的，得到f（x）的图象，f（x）的部分图象如图所示，若，则ω等于（　　）A．B．C．D．【解答】解：已知函数g（x）＝sin（ωx+φ），g（x）图象上每一点的横坐标缩短到原来的，得到f（x）的图象，则f（x）＝sin（2ωx+φ），由，得﹣|AB||BC|cos∠ABC＝|AB|2，∵2|AB|＝|BC|，cos∠ABC＝﹣，则∠ABC＝120°，过B作BE⊥x轴于E，则BE＝，AE＝3，即周期T＝12，即＝12，得ω＝，故选：A．7．某圆锥母线长为2，底面半径为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（　　）A．2B．C．D．1【解答】解：截面为△SMN，F为MN的中点，设OF＝x（0＜x≤），，所以SO＝1，，故＝， 所以当x＝1时，S△SMN＝2，此时的截面面积最大．故选：A．8．已知e≈2.71828是自然对数的底数，设a＝﹣，b＝﹣，c＝﹣ln2，则（　　）A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．b＜c＜aD．c＜a＜b【解答】解：已知e≈2.71828是自然对数的底数，a＝﹣，b＝﹣，c＝﹣ln2，设f（x）＝﹣，则f′（x）＝﹣，当0≤x≤时，f′（x）＞0，函数f（x）在0≤x≤上是增函数，当x＞时，f′（x）＜0，函数f（x）在x＞上是减函数，a＝f（3），b＝f（2），而＜2＜3，所以b＞a，又因为ex＞x+1，x≠1，为常用不等式，可得，令g（x）＝﹣lnx，g′（x）＝﹣，当x＜e时，g′（x）＜0，函数g（x）在x＜e上是减函数，故g（2）＞g（e）＝0，则＞ln2，即﹣＜﹣ln2，则c＞b，故：a＜b＜c故选：A．二．多选题（共4小题）（多选）9．对于两条不同直线m，n和两个不同平面α，β，下列选项中正确的为（　　）A．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n B．若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n或m∥nC．若m∥α，α∥β，则m∥β或m⊂βD．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α【解答】解：由两条不同直线m，n和两个不同平面α，β，知：对于A，若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则由线面垂直、面面垂直的性质得m，n一定垂直，故A正确；对于B，若m∥α，n∥β，α⊥β，则m与n相交、平行或异面，故B错误；对于C，若m∥α，α∥β，则由线面平行、面面平行的性质得m∥β或m⊂β，故C正确；对于D，若m⊥α，m⊥n，则由线面垂直的性质得n∥α或n⊂α，故D正确．故选：ACD．（多选）10．已知函数f（x）＝，则下列结论正确的是（　　）A．f（x）是偶函数B．f（f（﹣π））＝1C．f（x）是增函数D．f（x）的值域为[﹣1，+∞）【解答】解：函数f（x）＝，其图像如图，由图可得，f（x）不是偶函数，也不是增函数，故AC错误，f（x）的最小值为﹣1，无最大值，故值域为[﹣1，+∞），D正确，f（﹣）＝cos（﹣）＝0，∴f（f（﹣））＝f（0）＝1，即B成立，故选：BD．（多选）11．提丢•斯波得定律是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何学规则，它是在1766年由德国的一位中学老师戴维斯•提丢斯发现的，后来被柏林天文台的台长波得归纳成一条定律，即数列{an}：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，19.6，…表示的是太阳系第n颗行星与太阳的平均距离（以天文单位A．U．为单位）．现将数列{an}的各项乘10后再减 4，得到数列{bn}，可以发现数列{bn}从第3项起，每项是前一项的2倍，则下列说法正确的是（　　）A．数列{bn}的通项公式为bn＝3×2n﹣2B．数列{an}的第2021项为0.3×22020+0.4C．数列{an}的前n项和Sn＝0.4n+0.3×2n﹣1﹣0.3D．数列{nbn}的前n项和Tn＝3（n﹣1）•2n﹣1【解答】解：数列{an}各项乘10再减4得到数列{bn}：0，3，6，12，24，48，96，192，…，故该数列从第2项起构成公比为2的等比数列，所以，故选项A错误；所以，所以，故选项B错误；当n＝1时，S1＝a1＝0.4，当n≥2时，＝，当n＝1时，S1＝0.4也适合上式，所以，故选项C正确；因为，所以当n＝1时，T1＝b1＝0，当n≥2时，Tn＝b1+2b2+3b3+…+nbn＝0+3×（2×20+3×21+4×22+…+n•2n﹣2）①，则②，所以①﹣②可得，＝，所以， 又当n＝1时，T1也适合上式，所以，故选项D正确．故选：CD．（多选）12．定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足2f（x）+xf′（x）＝，f（1）＝0，则下列说法正确的是（　　）A．f（x）在x＝处取得极大值，极大值为B．f（x）有两个零点C．若f（x）＜k﹣在（0，+∞）上恒成立，则k＞D．f（1）＜f（）＜f（）【解答】解：对A，∵2f（x）+xf′（x）＝，且x∈（0，+∞），可得2xf（x）+x2f′（x）＝，可得：[x2f（x）]′＝，故x2f（x）＝lnx+c（c为常数），∵f（1）＝0可得：12f（1）＝ln1+c，求得：c＝0，故x2f（x）＝lnx，整理可得：f（x）＝，x∈（0，+∞），f′（x）＝＝＝，当1﹣2lnx＞0，即lnx＜ln，解得0＜x＜，f′（x）＞0，此时f（x）单调递增，当1﹣2lnx＝0，即lnx＝ln，解得x＝，f′（x）＝0，当1﹣2lnx＜0，即lnx＞ln，解得：x＞，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减，∴x＝，f（x）取得极大值，f（）＝＝，故A正确；对B，x→0+，f（x）＜0，x＝，f（）＝，x→+∞，f（x）＞0，画出f（x）草图：如图： 根据图象可知：f（x）只有一个零点，故B说法错误；对C，要保证f（x）＜k−在（0，+∞）上恒成立，即：保证f（x）+＜k在（0，+∞）上恒成立，∵f（x）＝，可得+＜k在（0，+∞）上恒成立，故只需k＞，令G（x）＝+，∴G′（x）＝，当0＜x＜时，G′（x）＝＞0，当x＞时，G′（x）＝＜0，当x＝时，G′（x）＝＝0，则G（x）max＝G（）＝＝，∴k＞＝，故C说法正确，对D，根据0＜x＜，f（x）单调递增，x＞，f（x）单调递减，∵1＜＜，可得f（1）＜f（），又∵f（）＝＝，f（）＝，∵f（2）＝＝f（），故f（1）＜f（）＝f（2）＜f（），故D说法正确．综上所述，正确的说法是：ACD．故选：ACD．三．填空题（共4小题）13．在二项式（1﹣3x）n的展开式中，若所有项的系数之和等于64，那么在这个展开式中，x2 项的系数是　135　．（用数字作答）【解答】解：在（1﹣3x）n中，令x＝1得所有项的系数之和为（﹣2）n，∴（﹣2）n＝64，解得n＝6∴（1﹣3x）6的展开式的通项为Tr+1＝（﹣3）rC6r×xr令r＝2得展开式中含x2项的系数是135故答案为13514．抛物线C：x2＝2py，其焦点到准线l的距离为4，则准线l被圆x2+y2﹣6x＝0截得的弦长为　2　．【解答】解：抛物线C：x2＝2py，其焦点到准线l的距离为4，可得p＝4，所以抛物线的准线方程为y＝﹣2，圆x2+y2﹣6x＝0的圆心（3，0），半径为3，所以准线l被圆x2+y2﹣6x＝0截得的弦长为2＝2，故答案为：2．15．若直线y＝﹣2x+与曲线y＝﹣ax相切，则a＝　3　．【解答】解：设切点为（m，n），y＝﹣ax的导数为y′＝x2﹣a，可得切线的斜率为m2﹣a，由切线的方程y＝﹣2x+，可得m2﹣a＝﹣2，﹣2m+＝m3﹣am，解得a＝3，m＝﹣1，故答案为：3．16．已知椭圆C：的两个焦点为F1（﹣2，0）和F2（2，0），直线l过点F1，点F2关于l的对称点A在C上，且＝6，则C的方程为　　．【解答】解：因为A与F2关于直线l对称，所以直线l为AF2的垂直平分线，所以|AF1|＝|F1F2|＝4，由椭圆的定义可得|AF2|＝2a﹣4， 设直线l与AF2交于点M，则M为AF2的中点，且，所以（）＝（）＝（2+3）＝2+3＝3＝3|＝，解得a＝3或1（舍去），所以a＝3，b2＝a2﹣c2＝5，则C的方程为：，故答案为：．四．解答题（共6小题）17．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn+1+2Sn﹣1＝3Sn（n≥2）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令，求数列{bn}的前n项和Tn．【解答】解：（1）由题意，设等比数列{an}的公比为q，则当q＝1时，Sn+1+2Sn﹣1＝（n+1）a1+2（n﹣1）a1＝3n﹣1，3Sn＝3na1＝3n，∴Sn+1+2Sn﹣1≠3Sn，显然q＝1不符合题意，故q≠1，当q≠1时，Sn＝＝，Sn+1＝，Sn﹣1＝，∵Sn+1+2Sn﹣1＝3Sn，∴+2＝3， 即1﹣qn+1+2（1﹣qn﹣1）＝3（1﹣qn），化简，得qn﹣1（q﹣2）（q﹣1）＝0，∵q≠1且q≠0，∴q＝2，∴an＝1•2n﹣1＝2n﹣1，n∈N*．（2）由（1）知，Sn＝，Sn+1＝，则＝＝＝﹣，∴Tn＝b1+b2+…+bn＝﹣+﹣+…+﹣＝1﹣．18．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知tanA＝．（1）若a＝，c＝，求b的值；（2）若角A的平分线交BC于点D，＝，a＝2，求△ACD的面积．【解答】解：（1）因为tanA＝，所以cosA＝，由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA＝7，即b2﹣3b﹣4＝0，解得b＝4或b＝﹣1（舍），（2）因为＝，所以＝，因为∠CAD＝∠BAD，所以＝，因为a＝2， 由余弦定理得，故c2＝，所以S△ABC＝＝＝，△ACD的面积S△ACD＝＝＝．19．2020年将全面建成小康社会，是党向人民作出的庄严承诺．目前脱贫攻坚已经进入冲刺阶段，某贫困县平原地区家庭与山区家庭的户数之比为3：2．用分层抽样的方法，收集了100户家庭2019年家庭年收入数据（单位：万元），绘制的频率直方图如图所示，样本中家庭年收入超过1.5万元的有10户居住在山区．（1）完成2019年家庭年收入与地区的列联表，并判断是否有99.9%的把握认为该县2019年家庭年收入超过1.5万元与地区有关．超过1.5万元不超过1.5万元总计平原地区山区10总计附：K2＝，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k）0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828（2）根据这100个样本数据，将频率视为概率．为了更好地落实党中央精准扶贫的决策，从2020年9月到12月，每月从该县2019年家庭年收入不超过1.5万元的家庭中选取4户作为“县长联系家庭”，记“县长联系家庭”是山区家庭的户数为X，求X的分布列和数学期望E（X）． 【解答】解：（1）由频率分布直方图可知，超过1.5万元的频率为（0.5+0.4+0.1）×0.5＝0.5，所以超过1.5万元的户数有100×0.5＝50户，又因为平原地区家庭与山区家庭的户数之比为3：2，抽取了100户，故平原地区的共有60户，山区地区的共有40户，又样本中家庭年收入超过1.5万元的有10户居住在山区，所以超过1.5万元的有40户居住在平原地区，不超过1.5万元的有20户住在平原地区，有30户住在山区地区，故2019年家庭年收入与地区的列联表如下：超过1.5万元不超过1.5万元总计平原地区402060山区103040总计5050100则K2＝＝，所以有99.9%的把握认为该县2019年家庭年收入超过1.5万元与地区有关；（2）由（1）可知，选1户家庭在平原的概率为，山区的概率为，X的可能取值为0，1，2，3，4，所以P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝， P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，P（X＝4）＝＝，所以X的分布列为：X01234P因为X服从二项分布X～B（4，），所以X的数学期望E（X）＝．20．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BCC1B1为矩形，ABB1A1是边长为2的菱形，BC＝1，AC＝，（1）证明：平面A1BC⊥平面ABB1A1；（2）若AC＝A1C，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．【解答】（1）证明：因为侧面BCC1B1是矩形，所以BC⊥BB1，又因为BC＝1，AB＝2，AC＝，所以BC2+AB2＝AC2，所以BC⊥AB，又AB∩BB1＝B，所以BC⊥平面ABB1A1，又因为BC⊂平面A1BC，所以平面A1BC⊥平面ABB1A1；（2）解：取AA1的中点M，连接CM，BM，因为AC＝A1C，所以CM⊥AA1，又因为CB⊥平面ABB1A1，所以BM⊥AA1，且CM∩BM＝M，所以AA1⊥平面BCM；因为CM＝＝＝2，所以BM＝＝＝，所以三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为： V＝S△BCM•AA1＝•BM•BC•AA1＝××1×2＝．21．在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别F1、F2焦距为2，且与双曲线﹣y2＝1共顶点．P为椭圆C上一点，直线PF1交椭圆C于另一点Q．（1）求椭圆C的方程；（2）若点P的坐标为（0，b），求过P、Q、F2三点的圆的方程；（3）若＝λ，且λ∈[，2]，求的最大值．【解答】解：（1）由题意得c＝1，a2＝2…（2分）故椭圆的方程为．…（3分）（2）因为P（0，1），F1（﹣1，0），所以PF1的方程为x﹣y+1＝0由，解得点Q的坐标为．…（5分）设过P，Q，F2三点的圆为x2+y2+Dx+Ey+F＝0…（6分）则解得所以圆的方程为…（8分）（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，因为，所以，即 所以，解得…（10分）所以＝…（12分）因为，所以，当且仅当，即λ＝1时，取等号．最大值为．…（14分）22．已知函数f（x）＝aex﹣x2（a∈R）（其中e≈2.71828为自然对数的底数）．（1）当a＝1时，求证：函数f（x）图象上任意一点处的切线斜率均大于；（2）若对于任意的x∈[0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）证明：a＝1时，f（x）＝ex﹣x2，f′（x）＝ex﹣2x，设g（x）＝f′（x）＝ex﹣2x，则g′（x）＝ex﹣2，令g′（x）＝0，解得：x＝ln2，故g（x）在区间（﹣∞，ln2）递减，在（ln2，+∞）递增，故g（x）的最小值是g（ln2）＝2﹣2ln2＞，即f′（x）＞对任意x∈R恒成立，故函数f（x）图象上任意一点处的切线斜率均大于；（2）先证对任意x∈[0，+∞），ln（x+1）≤x，ex≥x2+x+1，令h（x）＝ln（x+1）﹣x，h′（x）＝﹣1＝﹣，令h′（x）＝0，解得：x＝0，故h（x）在区间（﹣1，0）递增，在（0，+∞）递减，故h（x）≤h（0）＝0，故ln（x+1）≤x，令p（x）＝ex﹣x2﹣x﹣1，p′（x）＝ex﹣2x﹣＝m（x），m′（x）＝ex﹣2，令m′（x）＝0，解得x＝ln2，故m（x）在区间（﹣∞，ln2）递减，在区间（ln2，+∞）递增，故m（x）≥m（ln2）＞0，故p′（x）＞0，p（x）递增，故p（x）≥p（0）＝0，故ex≥x2+x+1，x∈[0，+∞）， ∵f（x）＞ln（x+1）+cosx对于任意x∈[0，+∞）恒成立，∴f（0）＞ln（0+1）+cos0＝1，故a＞1，当a＞1时，f（x）﹣ln（x+1）﹣cosx＝aex﹣x2﹣ln（x+1）﹣cosx＞ex﹣x2﹣ln（x+1）﹣cosx≥x2+x+1﹣x2﹣ln（x+1）﹣cosx＝x﹣ln（x+1）+1﹣cosx≥x﹣x+1﹣cosx＝1﹣cosx≥0，即对于任意的x∈[0，+∞）恒成立，综上，a的取值范围是（1，+∞）．