河南省四市2023届高三数学（文）下学期开学考试试卷（Word版附答案）

绝密★启用前高三数学考试（文科）考生注意：1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容：高考全部内容.第I卷一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，集合，则（）A.B.C.D.2.设复数，则（）A.B.C.D.3.已知向量，且，则（）A.1B.2C.3D.44.下图是我国跨境电商在年的交易规模与增速表，由图可以知道下列结论正确的是（）A.这7年我国跨境电商交易规模的平均数为万亿元B.这7年我国跨境电商交易规模的增速越来越大C.这7年我国跨境电商交易规模的极差为万亿元D.图中我国跨境电商交易规模的6个增速的中位数为 5.设函数的图象在处的切线为，则在轴上的截距为（）A.B.C.D.6.函数的图象大致为（）A.B.C.D.7.将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，下列说法正确的是（）A.为奇函数B.在上单调递减C.在上的值域为D.点是图象的一个对称中心8.设椭圆的半焦距为，若，则的离心率为（）A.B.C.D. 9.在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A.B.C.D.10.设等差数列的前项和为，若，且，则的最小值为（）A.11B.12C.13D.1411.如图，青铜器的上半部分可以近似看作圆柱体，下半部分可以近似看作两个圆台的组合体，已知，则该青铜器的表面积为（）（假设上､下底面圆是封闭的）A.B.C.D.12.定义函数，若至少有3个不同的解，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.第II卷二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13.设满足约束条件则的最小值为__________. 14.已知函数，在上任取一个实数，使得的概率为__________.15.1904年，瑞典科学家海里格･冯･科赫引人一条曲线一一科赫曲线，曲线是这样构造的：①作一直线段；②将直线段三等分，以中间三分之一线段为底作一个等边三角形，并擦去等边三角形的底，得到由四条线段构成的折线图；③对的每条线段同样用等边三角形的两边替代原线段的三分之一线段，得到折线图；④无限重复上述过程，依次得到，，最后得到一条复杂曲线即称为科赫曲线，若线段的长度为1米，则的长度为__________；若米，则正整数的最小值为__________.（参考数据：（本题第一空2分，第二空3分）16.已知抛物线，直线与抛物线交于两点，过分别作抛物线的切线若，且与交于点，则的面积的最小值为__________.三､解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（12分）的内角的对边分别为，已知.（1）求角； （2）若的面积为，求.18.（12分）某校近期举行了“2022年新闻时事知识竞赛”，现在随机抽查参赛的200名学生的得分（满分100分），按照制作成如图所示的频率分布直方图，已知成等差数列.（1）求出的值，并计算参赛得分在的学生人数；（2）学校为进一步了解学生对新闻时事获取的途径，准备从得分在与的学生中按分层抽样的方法抽出6名学生，然后从中再选出2名学生交流新闻时事获取的途径，求这2人中恰有1人的得分在内的概率.19.（12分）如图，四边形是菱形，平面，.（1）证明：.（2）求点到平面的距离.20.（12分） 已知双曲线的离心率为，且点在上.（1）求双曲线的方程；（2）若点在双曲线上，且，直线不与轴平行，证明：直线的斜率为定值.21.（12分）已知函数.（1）若的导函数为，讨论的单调性；（2）若恒成立，求实数的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生从第22，23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题目计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）写出曲线的极坐标方程；（2）已知是曲线上的两点，且，求的最大值.23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围. 高三数学考试参考答案（文科）1.C【解析】本题考查集合的运算，考查数学运算的核心素养.因为，所以.2.A【解析】本题考查复数的四则运算，考查数学运算的核心素养.因为，所以.3.B【解析】本题考查平面向量的平行，考查数学运算的核心素养.因为，所以，解得.4.D【解析】本题考查统计的知识，考查数据分析与数学运算的核心素养.这7年我国跨境电商交易规模的平均数为万亿元，A错误；这7年我国跨境电商交易规模的增速有升有降，错误；这7年我国跨境电商交易规模的极差为万亿元，C错误；我国跨境电商交易规模的6个增速的中位数为正确.5.B【解析】本题考查导数的几何意义，考查直观想象与数学运算的核心素养.因为，所以的方程为，令，解得.6.C【解析】本题考查函数的图象与性质，考查逻辑推理的核心素养.易知的定义域为，由，得，所以是奇函数，其图象关于原点对称，排除.在内，，所以，排除D.故选C.7.D【解析】本题考查三角函数的性质，考查数学运算的核心素养.错误；因为在上先增后 减，所以错误；因为，所以C错误；因为，所以点是图象的一个对称中心，D正确.8.C【解析】本题考查椭圆的性质，考查数学运算的核心素养.因为，所以，解得.故.9.B【解析】本题考查立体几何初步的知识，考查直观想象的核心素养.如图所示，取的中点，连接.因为分别为和的中点，所以，且，所以四边形为平行四边形，从而，所以为异面直线与所成的角.设，则，所以.10.C【解析】本题考查等差数列，考查数学运算的核心素养.设公差为，由，得.因为，所以，解得，从而，可得.由，得，所以的最小值为13.11.A【解析】本题考查几何体的表面积，考查直观想象与数学运算的核心素养.因为， 所以该青铜器的表面积.12.B【解析】本题考查函数的新定义，考查推理论证能力与直观想象的核心素养.令，依题意有解，则，得或.当时，必须满足解得；当时，必须满足无解.综上，，即实数的取值范围是.13.-4【解析】本题考查线性规划的知识，考查数学运算与直观想象的核心素养.画出可行域（图略）知，当直线过点时，取得最小值.14.【解析】本题考查几何概型，考查数学运算的核心素养.因为，所以，根据几何概型的定义，知所求概率为.15.；【解析】本题考查等比数列，考查数学运算的核心素养.因为的长度为的长度为，所以的长度为.由，得，即正整数的最小值为32.16.1【解析】本题考查抛物线的性质，考查直观想象与数学运算的核心素养.抛物线的方程可化为，所以.设，则， 因为，所以.设直线的方程为，与抛物线的方程联立得消去得，所以，解得，即.联立方程解得即，因为点到直线的距离，所以，显然当时，的面积取得最小值1.17.解：（1）因为，所以，整理得，因为，所以.又，所以.（2）因为的面积为，所以.解得，所以，则.解法二. （1）因为，所以，整理得，因为，所以.又，所以.（2）因为的面积为，所以.解得，所以，则.18.解：（1）因为三个数成等差数列，所以，又，所以.故参赛得分在的学生人数为.（2）由频率分布直方图可知得分在与的人数比为，所以按分层抽样的方法抽出6名学生，其中得分在的抽2人，记为，得分在的抽4人，记为，然后从中再选出2名学生交流的所有情况为，，共15种情况，恰有1人的得分在的所有情况为，共8种情况，所以所求概率. 19.（1）证明：连接.因为四边形是菱形，所以.又平面，所以.因为，所以平面.又，所以平面就是平面，因为平面，所以.（2）解：连接.因为，所以.所以.设点到平面的距离为，则.又，且，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，易证平面平面，取的中点，连接.因为为正三角形，所以，所以平面.因为，所以，由，解得.20.（1）解：因为，所以，解得. 所以双曲线的方程为，把点的坐标代入，得，解得，所以双曲线的方程为.（2）证明：设.设直线的方程为，代入，得，于是①.由，得，则，整理得.将①代入上式，可得，整理得.因为不在直线上，所以，所以，解得.即直线的斜率为定值.21.解：（1）因为，所以.当时，，所以在上为减函数，当时，，所以在上为减函数，在上为增函数.（2）恒成立，即恒成立.令 ，则.当时，在上单调递增，因为，所以不满足条件.当时，恒成立，满足条件.当时，令，存在，使得，因为在上单调递增，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，解得.综上，实数的取值范围为.22.解：（1）先将曲线的参数方程（为参数）化为普通方程，得，再转化成极坐标方程，进一步化简得.（2）不妨设点的极坐标为，点的极坐标为，所以，所以，所以， 所以的最大值为.23.解：（1）不等式等价于或或因为的解集为的解集为，的解集为，所以不等式的解集为.（2）若，不等式等价于，即，令，则所以即或.若，不等式等价于，即或者，所以或者，解得或者.综上，或者，即实数的取值范围是.