江苏省南通市2022-2023学年高三数学上学期期末考试试卷（Word版附答案）

2022～2023学年高三年级模拟试卷数　　学(满分：150分　考试时间：120分钟)2023．1一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中只有一个选项符合要求．1.已知集合A＝{x∈N|－1<x<3}，B＝{x|x2≤3},则A∩B＝(　　)A.{x|－1<x≤}B.{x|0≤x≤}C.{0，1}D.{1}2.(＋i)(cos60°－isin60°)＝(　　)A.－iB.2C.1－iD.－i3.已知向量a＝(2，－3)，b＝(m，1)，若|a＋2b|＝|a－2b|，则m＝(　　)A.B.－C.D.－4.已知一个正四棱台形油槽可以装煤油200L，若它的上、下底面边长分别为60cm和40cm，则它的深度约为(　　)A.115cm　B.79cm　C.56cm　D.26cm5.某城市地铁1号线从A站到D站共有6个站点．甲、乙二人同时从A站上车，准备在B，C，D站中的某个站点下车．若他们在这3个站点中的某个站点下车是等可能的，则甲、乙二人在不同站点下车的概率为(　　)A.B.C.D.6.已知定义在R上的函数f(x)的图象连续不间断，有下列四个命题：甲：f(x)是奇函数；　乙：f(x)的图象关于点(2，0)对称；丙：f(22)＝0;丁；f(x＋6)＝f(x).如果有且仅有一个假命题，则该命题是(　　)A.甲B.乙C.丙D.丁7.已知双曲线：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，过点F作一条渐近线的垂线，垂足为M.若△MOF的重心G在双曲线上，则双曲线的离心率为(　　)A.2B.C.D.8.已知a＝e－1.1,b＝，c＝1－ln(e－1)，则a，b，c的大小关系为(　　)A.c<a<bB.a<b<cC.a<c<bD.c<b<a二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是(　　)A.数据1，3，3，5，5，5，7，9，11的众数和第60百分位数都为5B.样本相关系数r越大，成对样本数据的线性相关程度也越强10 C.若随机变量ξ服从二项分布B(8，)，则方差D(2ξ)＝6D.若随机变量X服从正态分布N(0，1)，则P(|X|＜)＝2P(X＞)10.已知函数f(x)＝sinωx－cosωx(ω>0)的最小正周期为π，则(　　)A.ω＝2B.点(－，0)是f(x)图象的一个对称中心C.f(x)在(，)上单调递减D.将f(x)的图象上所有的点向左平移个单位长度，可得到y＝cos(2x－)的图象11.过直线l：2x＋y＝5上一点P作圆O：x2＋y2＝1的切线，切点分别为A,B，则(　　)A.若直线AB∥l，则|AB|＝B.cos∠APB的最小值为C.直线AB过定点(，)D.线段AB的中点P的轨迹长度为π12.已知在三棱锥PABC中，PA⊥PB,AB⊥BC，PA＝PB＝1,AB＝BC,设二面角PABC的大小为θ，M是PC的中点．当θ变化时，下列说法正确的是(　　)A.存在θ，使得PA⊥BCB.存在θ，使得PC⊥平面PABC.点M在某个球面上运动D.当θ＝时，三棱锥PABC外接球的体积为π三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.(x2－x－2)5的展开式中含x项的系数是________．14.若抛物线x2＝12y上的一点P到坐标原点O的距离为2，则点P到该抛物线焦点的距离为________．15.已知直线y＝kx＋b是曲线y＝ln(1＋x)与y＝2＋lnx的公切线，则k＋b＝________．16.已知数列{an}满足an＋1>an>0，a＝an＋1＋an，则首项a1的取值范围是________；当a1＝时，记bn＝，且k<i<k＋1，则整数k＝________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.(本小题满分10分)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1－2an＝3n－4.(1)求证：{an＋3n－1}是等比数列；(2)设数列{an}的前n项和为Sn，求Sn.10 18.(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且3cosC＝2sinAsinB.(1)求的最小值；(2)若A＝，a＝，求c及△ABC的面积．19.(本小题满分12分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面PBC.(1)求证：AB⊥BC；(2)若PA＝AB，M为PC上的点，当PC与平面ABM所成角的正弦值最大时，求的值．10 20.(本小题满分12分)2022年卡塔尔世界杯决赛于当地时间12月18日进行，最终阿根廷通过点球大战总比分7∶5战胜法国，夺得冠军，根据比赛规则：淘汰赛阶段常规比赛时间为90分钟，若在90分钟结束时进球数持平，需进行30分钟的加时赛，若加时赛仍是平局，则采用“点球大战”的方式决定胜负．“点球大战”的规则如下：①两队各派5名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜；②如果在踢满5轮前，一队的进球数已多于另一队踢满5轮最多可能射中的球数，则不需要再踢(例如：第4轮结束时，双方“点球大战”的进球数比为2∶0，则不需要再踢第5轮)；③若前5轮“点球大战”中双方进球数持平，则从第6轮起，双方每轮各派1人踢点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮，直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方胜出．(1)假设踢点球的球员等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也只有的可能性将球扑出．若球员射门均在门内，在一次“点球大战”中，求门将在前4次扑出点球的个数X的分布列和数学期望．(2)现有甲、乙两队在决赛中相遇，常规赛和加时赛后双方0∶0战平，需要通过“点球大战”来决定冠军．设甲队每名队员射进点球的概率均为，乙队每名队员射进点球的概率均为，假设每轮点球中进球与否互不影响，各轮结果也互不影响．①若甲队先踢点球，求在第3轮结束时，甲队踢进了3个球并获得冠军的概率；②求“点球大战”在第7轮结束，且乙队以6∶5获得冠军的概率．21.(本小题满分12分)已知椭圆C：＋＝1(a＞1≥b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作直线l(与x轴不重合)交C于M，N两点，且当M为C的上顶点时，△MNF1的周长为8,面积为.(1)求C的方程；(2)若A是C的右项点，设直线l，AM，AN的斜率分别为k，k1，k2，求证：k(＋)为定值．10 22.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝lnx－.(1)当a＝－1时，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有两个零点x1，x2(x1<x2)，求a的取值范围，并证明＋＜0.10 2022～2023学年高三年级模拟试卷(南通)数学参考答案及评分标准1.C　2.D　3.A　4.B　5.C　6.D　7.B　8.C　9.AC　10.ABD　11.BC　12.ACD13.－80　14.5　15.3－ln2　16.0＜a1＜2　－517.解：(1)由an＋1－2an＝3n－4，得an＋1＋3n＋2＝2(an＋3n－1).(2分)因为a1＝1，所以an＋3n－1≠0，所以＝2，(4分)所以{an＋3n－1}是等比数列，且公比为2.(5分)(2)由a1＝1，得a1＋3×1－1＝3，所以an＋3n－1＝3×2n－1，即an＝3×2n－1－(3n－1).(7分)所以Sn＝3(1＋21＋22＋…＋2n－1)－[2＋5＋8＋…＋(3n－1)]＝3×－＝3(2n－1)－.(10分)18.解：(1)因为3cosC＝2sinAsinB，所以－3(cosAcosB－sinAsinB)＝2sinAsinB，即sinAsinB＝3cosAcosB.因为cosAcosB>0，所以tanAtanB＝3.(2分)所以＝＝＝＋≥2＝，(4分)当且仅当tanA＝tanB＝时，等号成立，所以的最小值为.(6分)(2)因为A＝，由(1)得，tanB＝＝3.因为B∈(0，π)，所以sinB＝，cosB＝，(8分)所以sinC＝sin(B＋)＝sinB＋cosB＝.由正弦定理＝，得c＝＝5，(10分)所以△ABC的面积为acsinB＝××5×＝.(12分)19.解：(1)如图，过点A作AE⊥PB，垂足为E.因为平面PAB⊥平面PBC，平面PAB⊂平面PBC＝PB，10 AE⊂平面PAB，AE⊥PB，所以AE⊥平面PBC.(2分)因为BC⊂平面PBC，所以AE⊥BC.又PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC.因为AE∩PA＝A，AE，PA⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB.(4分)又AB⊂平面PAB，所以AB⊥BC.(6分)(2)以A为坐标原点，AB，AD，AP分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．由底面ABCD是菱形，且AB⊥BC，得底面ABCD为正方形，设PA＝AB＝1，则B(1，0，0)，C(1，1，0)，P(0，0，1)，所以＝(1，0，0)，＝(1，1，－1)，设＝λ＝(λ，λ，－λ)(0≤λ≤1)，则＝＋＝(λ，λ，1－λ).设平面ABM的法向量为n＝(x，y，z)，则，即当0≤λ<1时，取n＝(0，1，－).(8分)设PC与平面ABM所成角为θ，则sinθ＝|cos〈n，〉|＝＝，(10分)当λ＝时，sinθ的最大值为.当λ＝1时，sinθ＝＜，所以PC与平面ABM所成角的正弦值为，此时＝.(12分)20.解：(1)根据题意，门将每次扑中点球的概率p＝×＝.(2分)(解法1)X的所有可能取值为0，1，2，3，4.P(X＝0)＝Cp0(1－p)4＝；P(X＝1)＝Cp1(1－p)3＝；10 P(X＝2)＝Cp2(1－p)2＝；P(X＝3)＝Cp3(1－p)＝；P(X＝4)＝Cp4(1－p)0＝.(4分)所以X的概率分布列为X01234P(X)数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.(5分)(解法2)X～B(4，)，所以X的概率分布列为X01234P(X)(4分)数学期望E(X)＝4×＝.(5分)(2)①甲队先踢点球，第三轮结束时甲队踢进了3个球，并获得冠军，则乙队没有进球，所以甲队获得冠军的概率为()3×(1－)3＝.(7分)②点球在第7轮结束，且乙队以6∶5获胜，所以前5轮战平，且第6轮战平，第7轮乙队1∶0胜甲队.当前5轮两队为4∶4时，乙队胜出的概率为[C()4××C()4×]×(×)×(×)＝.(9分)当前5轮两队为5∶5时，乙队胜出的概率为[C()5×C)5]×(×)×(×)＝.(11分)因为上述两个事件互斥，所以乙队胜出的概率为＋＝.(12分)21.解：(1)由题意得4a＝8，即a＝2，所以椭圆C：＋＝1.(1分)当M为C的上顶点时，直线l为：＋＝1，联立方程组＋＝1，解得x＝，y＝.(3分)又△MNF1的面积为，所以b·2c＋·2c＝，即7bc＝(c2＋4)，所以7c·＝(c2＋4)，解得c2＝3或c2＝，于是b2＝1或b2＝.(5分)10 因为0<b≤1，所以b2＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(6分)(2)椭圆C的右焦点为F2(，0)，直线l的方程为y＝k(x－)，联立方程组消y得(1＋4k2)x2－8k2x＋12k2－4＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，(8分)所以＋＝＋＝＋＝·(＋)＝·＝·＝(8－4)，所以k(＋)＝8－4为定值．(12分)22.解：(1)f(x)的定义域为(0，1)∪(1，＋∞).当a＝－1时，f(x)＝lnx＋，导函数f′(x)＝.(2分)令f′(x)>0，得0<x<2－或x>2＋；令f′(x)<0，得2－<x<2＋且x≠1；所以f(x)的单调递增区间为(0，2－)和(2＋，＋∞)，单调递减区间为(2－，1)和(1，2＋).(4分)(2)当a＝0时，f(x)只有1个零点，不符合题意；当a<0时，若0<x<1，则f(x)<0；若x>1，则f(x)>0，不符合题意，所以a>0.当a>0时，f′(x)＝＋＞0，所以f(x)在(0，1)和(1，＋∞)上均单调递增．当x>1时，由f(ea)＝－<0，f(e3a＋1)＝lne3a＋1－＝＞＝＞0，所以f(x)在(1，＋∞)内有一个零点；当0<x<1，同理f(e－a)＝＞0，f(e－3a－1)＜0，所以f(x)在(0，1)上有一个零点，所以a的取值范围是(0，＋∞).(8分)因为f(x)的两个零点为x1，x2，所以lnx1＝，即lnx1＋a＝，所以＝.同理，＝，所以＋＝＋＝[2－(＋)].(10分)10 若f(x)＝0，即lnx－＝0，则ln－＝－lnx＋＝－f(x)＝0，所以f(x)的两个零点x1，x2互为倒数，即x2＝，所以＋＝x1＋>2(等号不成立)，所以2－(＋)<0，所以＋＝＋＝[2－(＋)]＜0.所以得证．(12分)10