河北省保定市2022-2023学年高三数学上学期期末调研考试试题（Word版附解析）

2022-2023学年度第一学期高三期末调研考试数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，则A．B．C．D．2．若，则等于A．2B．6C．－2D．－63．数列满足，，则A．2B．C．－2D．4．如图，点P为射线与以原点O为圆心的单位圆的交点，一动点在圆O上以点P为起始点，沿逆时针方向运动，每2秒转一圈．则该动点横坐标关于运动时间t的函数的解析式是 A．B．C．D．5．函数的图象大致是A．B．C．D．6．已知函数，若在上恰在两个零点，则ω的值可以是A．B．1C．2D．37．已知椭圆C：，，分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一点，，过做外角平分线的垂线交的延长线于N点．若，则椭圆的离心率A．B．C．D．8．已知三棱锥D-ABC的所有棱长均为2，以BD为直径的球面与△ABC的交线为L，则交线 L的长度为A．B．C．D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．某中学为了能充分调动学生对学术科技的积极性，鼓励更多的学生参与到学术科技之中，提升学生的创新意识，该学校决定邀请知名教授于9月2日和9月9日到学校做两场专题讲座．学校有东、西两个礼堂，第一次讲座地点的安排不影响下一次讲座的安排，假设选择东、西两个礼堂作为讲座地点是等可能的，则下列叙述正确的是A．两次讲座都在东礼堂的概率是B．两次讲座安排在东、西礼堂各一场的概率是C．两次讲座中至少有一次安排在东礼堂的概率是D．若第一次讲座安排在东礼堂，下一次讲座安排在西礼堂的概率是10．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中A．AB与CD平行B．CD与GH是异面直线C．EF与GH成60°角D．CD与EF平行11．已知函数，则A．在上单调递增B．无极小值 C．无最小值D．有极小值，极小值为12．平面内有一定点A和一个定圆O，P是圆O上任意一点．线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹可以是A．直线B．圆C．椭圆D．双曲线三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．的展开式中x项的系数是．14．已知向量，，，，则．15．定义在R上的两个函数和，已知，．若图象关于点对称，则___，．16．已知双曲线：，圆：，在的第四象限部分取点P，过P做斜率为1的直线l，若l与交于不同的两点M，N，则的最小值为．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）数列的前n项和为满足．（1）求数列的通项公式；（2）已知数列满足，在数列中别除掉属于数列的项，并且把剩余的项从小到大排列，构成新数列，求数列的前100项和．18．（12分）已知△ABC的内角A、B、C的对应边分别为a、b、c，，点D在边AB上，且．（1）求CD与c的关系；（2）若，求．19．（12分）已知矩形ABCD中，，，M为AB中点，沿AC将△ACD折起，得到三棱 锥P-ABC．（1）求异面直线PM与AC所成的角；（2）当二面角P-AB-B的大小为60°时，求AB与平面PBC所成角．20．（12分）根据《全国普通高等学校体育课程教学指导纲要》第六条：普通高等学校要对三年级及以上学生开设体育选修课．某学院大三、大四年级的学生可以选择羽毛球、健美操、乒乓球、排球等体育选修课程，规定每位学生每学年只能从中选修一项课程，大三选过的大四不能重复选，每项课程一学年完成共计80学时．现在在该学院进行乒乓球课程完成学时的调查，已知该学院本学年选修乒乓球课程大三与大四学生的人数之比为3：2，现用分层随机抽样的方法从这两个年级选修乒乓球课的数据中随机抽取100位同学的乒乓球课程完成学时，得到如下频率分布表：成绩（单位：学时）频数（不分年级）3x213533频数（大三年级）2616y16（1）求x，y的值；（2）在这100份样本数据中，从完成学时位于区间的大四学生中随机抽取2份，记抽取的这2份学时位于区间的份数为X，求X的分布列与数学期望；（3）已知该学院大三、大四学生选修乒乓球的概率为25%，本学年这两个年级体育选修课程学时位于的学生占两个年级总体的16%．现从该学院这两个年级中任选一位学生，若此学生本学年选修的体育课程学时位于，求他选修的是乒乓球的概率（以样本数据中完成学时位于各区间的频率作为学生完成学时位于该区间的概率，精确到0.0001）．21．（12分） 已知椭圆与直线l：有唯一的公共点M．（1）当时，求点M的坐标；（2）过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于，两点．当点M运动时，（Ⅰ）求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（Ⅱ）如果推广到一般椭圆，能得到什么相应的结论？（直接写出结论即可）22．（12分）已知函数．（1）当时，是的一个极值点且，求及a的值；（2）已知，设，若，，且，求的最小值．2022—2023学年度第一学期高三期末调研考试数学试题答案一、1—8．DBACA，CDA二、9—12．ABC，CD，CD，BCD三、13．4，14．，15．3；0，（第一个空2分，第二个空3分），16．5四、17．解：（1）在2Sn＝3an－3中令n＝1，得a1＝3，∵2Sn＝3an－3，∴当n＞1时，2Sn－1＝3an－1－3，两式相减得2an＝3an－3an－1，∴an＝3an－1，∴数列{an}是以1为首项，以3为公比为的等比数列，∴an＝3n．（2）∵bn＝3n，∴数列{an}中的项都在数列{bn}中．数列{an}前5项：3，9，27，81，243在数列{bn}前105项中．这五项和为363{bn}前105项的为数列{bn}前105项为3，6，9，…，27，…81，…，243，…，315，它们的和为105×3＋105×52×3＝16695所以数列{cn}的前100项和为数列{bn}前105项的和减去3、9、27、81、243的和，得：105×3＋105×52×3－363＝16332．18．解： （1）∵2CD·sinA＝b·sin∠ACB，由正弦定理得2CD·a＝b·c，∴CD＝c；（2）∵，∴，两边平方得，，即，化简得：5c2＝2a2＋2b2．∵b＝2a，∴c2＝2a2．∴19．解：（1）设AC与DM相交于点O，∵矩形ABCD中AB＝2，，M为AB中点，∴AD∶DC＝MA∶AD，∴△ADC∽△MAD，∴∠DCA＝∠ADM，∵∠ACD＋∠DAC＝90°．∴∠ADM＋∠DAC＝90°，∴∠DOA＝90°，∴DM⊥AC．由折叠可知PO⊥AC，OM⊥AC，∵PO∩OM＝O，∴AC⊥平面POM，∵PM在平面POM内，∴AC⊥PM．∴PM与AC所成的角为90°（2）由（1）知，PO⊥AC，OM⊥AC， ∴P—AC—B所成角为∠POM＝60°，，可知PM＝1，又∵AM＝1，，∴PM⊥AB，方法一：∵M为AB中点，∴，∴PA⊥PB，又∵PA⊥PC，∴PA⊥平面PBC，∴∠ABP即为AB与平面PBC所成的角，∵∠ABP＝45°，∴AB与平面PBC所成的角为45°．方法二：PM⊥AB，由（1）知AC⊥PM．AC与AB交与A点∴PM⊥平面ABC，取AC中点E，连接ME，则ME∥BC，∴ME⊥AB，以M为坐标原点，分别以ME，MA，MP所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系M—xyz，∴A（1，0，0），B（－1，0，0），，P（0，0，1），∴，， ∴平面PBC的法向量，设AB与平面PBC所成的角为α，则，∴AB与平面PBC所成的角为45°．20．解：（1）∵3＋x＋21＋35＋33＝100，∴x＝100－（3＋21＋35＋33）＝8，∵，∴y＝60－（2＋6＋16＋16）＝20，（2）由题意可知，X的取值可能为0，1，2，∵这100位学生学时在[30，60）的大四学生为8人，在[40，50）的大四学生为2人，，，，∴随机变量X的概率分布列如表为：X012P∴随机变量X的数学期望为（Ⅲ）设两个年级共有m人，A＝{大三大四中任选一学生一学年体育课程完成学时位于区间[70，80]}，B＝{大三大四中任选一学生体育课程选的乒乓球}，则由条件概率公式得即该生选乒乓球的概率约为0.5156． 21．解：（1）将y＝kx＋4代入，得，整理得（2k2＋1）x2＋16kx＋16＝0……①．因为M是椭圆与直线l的唯一公共点，所以（16k）2－4×16×（2k2＋1）＝0，得2k2＝1，∴或．将代入方程①解得，代入y＝kx＋4得y＝2；将代入方程①得，代入y＝kx＋4得y＝2．∴点M为或．（2）（ⅰ）将y＝kx＋m代入，得，整理得（2k2＋1）x2＋4kmx＋2（m2－8）＝0……②．因为M是椭圆与直线l的唯一公共点，所以（4km）2－4×2（2k2＋1）（m2－8）＝0，即m2＝16k2＋8……③．方程②的解为，将③式代入，得，将代入y＝kx＋m，得，所以点M的坐标为，因为k≠0，所以过点M且与l垂直的直线为．可得，，，即，．由，，得，，将，，代入m2＝16k2＋8得，所以16x2＋8y2＝64， 整理得（xy≠0）．轨迹是焦点在y轴，长轴长为，短轴长为4的椭圆（去掉四个顶点）．（ⅱ）∴如果将此题推广到一般椭圆（a＞b＞0），直线y＝kx＋m（k≠0），其他条件不变，可得点P（x，y）的轨迹方程是（xy≠0），轨迹是焦点在y轴上，长轴长为，短轴长为的椭圆（去掉四个顶点）．22．解：（1）f′（x）＝xex－a（x＞－1），∵x0是y＝f（x）的一个极值点且f（x0）＝－1∴f′（x0）＝0且f（x0）＝－1，即……①且……②联立①②消去a得：，令F（x）＝（x2－x＋1）ex，则F′（x）＝（2x－1）ex＋（x2－x＋1）ex＝x（x＋1）ex，令F′（x）＝0得x＝0或x＝－1（舍）当x∈（－1，0）时，F′（x）＜0，y＝F（x）单调递减；当x∈（0，＋∞）时，F′（x）＞0，y＝F（x）单调递增．∵F（0）＝1，∴有唯一解，∴x0＝0，把x0＝0代入①得a＝0，∴当x0＝0，a＝0时，f（x）＝（x－1）ex满足题意．（2）h（x）＝ex（xex－a＋a）＝xe2x∵g（x1）＝h（x2），∴，设t1＝lnx1，则，∵x1＞1，∴t1＞0，令F（x）＝xe2x， 则F′（x）＝（2x＋1）e2x，当x＞0时，F′（x）＞0，y＝F（x）单调递增∴F（t1）＝F（x2），∴x2＝t1＝lnx1，……9分设H（x1）＝x1－2x2＝x1－2lnx1（x1＞1）∴，令H′（x1）＝0得x1＝2当x1∈（1，2）时，H′（x1）＜0，∴H（x1）在（1，2）上单调递减；当x1∈（2，＋∞）时，H′（x1）＞0，∴H（x1）在（2，＋∞）上单调递增，∵x1＝2时，H（x1）＝2－2ln2，∴x1－2x2的最小值为2－2ln2