河北省保定市2022-2023学年高三数学上学期1月期末调研试题（PDF版含答案）

2022-2023学年度第一学期高三期末调研考试数学试题答案一、1—8．DBACA，CDA二、9—12．ABC，CD，CD，BCD1三、13．4，14．－，215．3；0，(第一个空2分，第二个空3分）16．5四、17.解：（1）在2Sn＝3an－3中令n＝1，得a1＝3，……1分∵2Sn＝3an－3，∴当n＞1时，2Sn－1＝3an－1－3，两式相减得2an＝3an－3an－1，∴an＝3an－1，……3分∴数列{an}是以1为首项，以3为公比为的等比数列，∴ann＝3．……4分（2）∵bn＝3n，∴数列{an}中的项都在数列{bn}中．数列{an}前5项：3，9，27，81，243在数列{bn}前105项中．这五项和为363……6分{bn}前105项的为数列{bn}前105项为3，6，9，…，27，…81，…，243，…，315，它们的和为105×3＋105×52×3=16695……8分所以数列{cn}的前100项和为数列{bn}前105项的和减去3、9、27、81、243的和，得：105×3＋105×52×3－363＝16332．……10分18．解：（1）∵2CD·sinA＝b·sin∠ACB，由正弦定理……1分得2CD·a＝b·c，……2分∴CD＝c；……4分→→→1→1→（2）∵AD＝DB，∴CD＝CA＋CB，……6分22→→→→→两边平方得，4(CD)2＝(CA)2＋(CB)2＋2CA·CB，a2＋b2－c2即4c2＝b2＋a2＋2ab·，……8分2ab化简得：5c2＝2a2＋2b2．……10分∵b＝2a，∴c2＝2a2．……11分 a2＋4a2－2a23∴cos∠ACB＝＝……12分2a·2a419．解：（1）设AC与DM相交于点O，∵矩形ABCD中AB＝2，AD＝2，M为AB中点，∴AD∶DC＝MA∶AD，∴△ADC∽△MAD，∴∠DCA＝∠ADM，∵∠ACD＋∠DAC＝90°．∴∠ADM＋∠DAC＝90°，∴∠DOA＝90°，∴DM⊥AC．……2分由折叠可知PO⊥AC，OM⊥AC，∵PO∩OM＝O，∴AC⊥平面POM，……3分∵PM在平面POM内，∴AC⊥PM．∴PM与AC所成的角为90°……4分（2）由（1）知，PO⊥AC，OM⊥AC，∴P—AC—B所成角为∠POM＝60°……5分233PO＝3，OM＝3，可知PM＝1，……6分又∵AM＝1，PA＝2，∴PM⊥AB，……7分方法一：∵M为AB中点，∴PB＝PA＝2，∴PA⊥PB，……8分又∵PA⊥PC，∴PA⊥平面PBC，……10分∴∠ABP即为AB与平面PBC所成的角，……11分∵∠ABP＝45°，∴AB与平面PBC所成的角为45°．……12分方法二：PM⊥AB,由（1）知AC⊥PM．AC与AB交与A点∴PM⊥平面ABC，……8分取AC中点E，连接ME，则ME∥BC，∴ME⊥AB，以M为坐标原点，分别以ME，MA，MP所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系M—xyz，……9分∴A(1，0，0)，B(－1，0，0)，C(－1，2，0)，P(0，0，1)，→→→∴BA＝(0，2，0)，BC＝(2，0，0)，BP＝(0，1，1)∴平面PBC的法向量m＝(0，1，－1)，……10分设AB与平面PBC所成的角为α， →|BA·m|2则sinα＝＝，……11分→2|BA|∴AB与平面PBC所成的角为45°．……12分20．解：（1）∵3＋x＋21+35＋33＝100，∴x＝100－(3＋21＋35＋33)＝8，……1分3∵2＋6＋16＋y＋16＝100×＝60，∴y＝60－(2＋6＋16＋16)＝20，……25分（2）由题意可知，X的取值可能为0，1，2，∵这100位学生学时在[30，60）的大四学生为8人，在[40，50）的大四学生为2人，……3分2112C6×515CC6×2×2×13C6622P(X＝0)＝＝＝，P(X＝1)＝＝＝，P(X＝2)＝C28×728C28×77C28882×11＝＝，8×728随机变量X的概率分布列如表为：X0121531P28728……6分15311随机变量X的数学期望为0×＋1×＋2×＝……7分287282（Ⅲ）设两个年级共有m人，A＝{大三大四中任选一学生一学年体育课程完成学时位于区间[70，80]}，B＝{大三大四中任选一学生体育课程选的乒乓球}，……8分n(AB)则由条件概率公式得P(B|A)＝……9分n(A)m×25%×0.33＝……11分m×16%＝0.515625≈0.5156即该生选乒乓球的概率约为0.5156．……12分x2y2x2(kx＋4)221．解：（1）将y＝kx＋4代入＋＝1，得＋＝1，168168 整理得(2k2＋1)x2＋16kx＋16＝0……①．……1分因为M是椭圆与直线l的唯一公共点，所以(16k)2－4×16×(2k2＋1)＝0，得2k2＝1，……2分222∴k＝或k＝－．将k＝代入方程①解得x＝－22，代入y＝kx＋4222得y＝2；2将k＝－代入方程①得x＝22，代入y＝kx＋4得y＝2．2∴点M为(－22，2)或(22，2)．……4分x2y2x2(kx＋m)2（2）（ⅰ）将y＝kx＋m代入＋＝1，得＋＝1，168168整理得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2(m2－8)＝0……②．因为M是椭圆与直线l的唯一公共点，所以(4km)2－4×2(2k2＋1)(m2－8)＝0，即m2＝16k2＋8……③．……5分2km2km16k方程②的解为x＝－2，将③式代入x＝－2，得x＝－m，2k＋12k＋1m2－16k216k8将x＝－代入y＝kx＋m，得y＝＝，mmm16k8所以点M的坐标为(－，)，……7分mm8116k因为k≠0，所以过点M且与l垂直的直线为y－＝－(x＋)．mkm8k88k88k8可得A(－，0)，B(0，－)，P(－，－)，即x＝－，y＝－．mmmmmm8k8x8由x＝－，y＝－，得k＝，m＝－，……8分mmyyx88x将k＝，m＝－，代入m2＝16k2＋8得(－)2＝16()2＋8，所以16x2＋8y2yyyy＝64，y2x2整理得＋＝1（xy≠0）．轨迹是焦点在y轴，长轴长为42，短轴长为844的椭圆（去掉四个顶点）．……10分x2y2（ⅱ）∴如果将此题推广到一般椭圆2＋2＝1（a＞b＞0），直线y＝kx＋mab x2y2（k≠0），其他条件不变，可得点P(x，y)的轨迹方程是4＋4＝1（xy≠0），轨cca2b22c22c2迹是焦点在y轴上，长轴长为，短轴长为的椭圆（去掉四个顶点）．……ba12分22.解：（1）f′(x)＝xex－a（x＞－1），……1分∵x0是y＝f(x)的一个极值点且f(x0)＝－1∴f′(x0)＝0且f(x0)＝－1，即x0ex0－a＝0……①……2分且(x0－1)ex0－ax0＝－1……②……3分联立①②消去a得：(x2x1，令F(x)＝(x2x0－x0＋1)e0＝－x＋1)e，则F′(x)＝(2x－1)ex+(x2－x＋1)ex＝x(x＋1)ex，令F′(x)＝0得x＝0或x＝－1（舍）当x∈(－1，0)时，F′(x)＜0，y＝F(x)单调递减；当x∈(0，＋∞)时，F′(x)＞0，y＝F(x)单调递增．∵F(0)＝1，∴(x2x1有唯一解，∴x0＝0，……0－x0＋1)e0＝5分把x0＝0代入①得a＝0，∴当xx0＝0，a＝0时，f(x)＝(x－1)e满足题意．……6分（2）h(x)＝ex(xex－a＋a)＝xe2x∵g(x1)＝h(x2)，∴x2lnx1＝x2e2x2，……7分12x设t1＝lnx1，则t1e2t1＝x2e2x2，∵x1＞1，∴t1＞0，令F(x)＝xe，则F′(x)＝(2x＋1)e2x，当x＞0时，F′(x)＞0，y＝F(x)单调递增∴F(t1)＝F(x2)，∴x2＝t1＝lnx1，……9分2设H(x1)＝x1－2x2＝x1－2lnx1（x1＞1）∴H′(x1)＝1－x1，令H′(x1)＝0得x1＝2当x1∈(1，2)时，H′(x1)＜0，∴H(x1)在(1，2)上单调递减；当x1∈(2，＋∞)时，H′(x1)＞0，∴H(x1)在(2，＋∞)上单调递增，……11分∵x1＝2时，H(x1)＝2－2ln2，∴x1－2x2的最小值为2－2ln2．……12分