山东省潍坊市2023届高三数学上学期1月期末考试试题（Word版附答案）

试卷类型：A高三数学2023.1本试卷共4页.满分150分.考试时间120分钟。注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，集合，，则集合（）A.B.C.D.2.若复数满足，则（）A.B.C.D.3.已知函数则（）A.B.C.D.4.若一组样本数据，，…，的平均数为10，另一组样本数据，，…，的方差为8，则两组样本数据合并为一组样本数据后的平均数和方差分别为（）A.17，54B.17，48C.15，54D.15，485.宋代制酒业很发达，为了存储方便，酒缸是要一层一层堆起来的，形成堆垛，用简便的方法算出堆垛中酒缸的总数，古代称之为堆垛术.有这么一道关于“堆垛”求和的问题：将半径相等的圆球堆成一个三角垛，底层是每边为个圆球的三角形，向上逐层每边减少一个圆球，顶层为一个圆球，我们发现，当，2，3，4时，圆球总个数分别为1，4，10，20，则时，圆球总个数为（） A.30B.35C.40D.456.已知正三棱锥的侧棱长为，点，分别在线段，（不包括端点）上，且，，若点为三棱锥的外接球的球面上任意一点，则点到平面距离的最大值为（）A.B.C.2D.7.已知为坐标原点，，是抛物线上的动点，且，过点作，垂足为，下列各点中到点的距离为定值的是（）A.B.C.D.8.已知定义在上的函数满足，对，，有，则（）A.B.C.D.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.关于下列命题中，说法正确的是（）A.已知，若，，则B.数据91，72，75，85，64，92，76，78，86，79的45%分位数为78C.已知，若，则D.某校三个年级，高一有400人，高二有360人.现用分层抽样的方法从全校抽取57人，已知从高一抽取了20人，则应从高三抽取19人.10.在棱长为1的正方体中，点为线段（包括端点）上一动点，则（） A.异面直线与所成的角为60°B.三棱锥的体积为定值C.不存在点，使得平面D.的最小值为11.已知函数，其中为实数，则（）A.的图象关于对称B.若在区间上单调递增，则C.若，则的极大值为1D.若，则的最小值为12.若数列满足，则称数列为“差半递增”数列，则（）A.正项递增数列均为“差半递增”数列B.若数列的通项公式为，则数列为“差半递增”数列C.若数列为公差大于0的等差数列，则数列为“差半递增”数列D.若数列为“差半递增”数列，其前项和为，且满足，则实数的取值范围为三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.如图所示，，，，是正弦函数图象上四个点，且在，两点函数值最大，在，两点函数值最小，则______.14.已知函数，且对任意恒成立，若角的终边经过点，则______. 15.写出一个同时满足下列三个性质的函数______.①是奇函数；②在单调递增；③有且仅有3个零点.16.设双曲线的右顶点为，过点且斜率为2的直线与的两条渐近线分别交于点，.若线段的中点为，，则的离心率______.四、解答题：本大题共6道小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知正项数列满足，.（1）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求.18.（12分）在锐角三角形中，内角，，的对边分别为，，，已知.（1）求的最小值；（2）若，，求.19.（12分）一个不透明箱子中有除颜色外其它都相同的四个小球，其中两个红球两个白球的概率为，三个红球一个白球的概率为.（1）从箱子中随机抽取一个小球，求抽到红球的概率；（2）现从箱子中随机一次性抽取两个或三个小球，已知抽到两个小球的概率为，抽到三个小球的概率为，所抽到的小球中，每个红球记2分，每个白球记分，用表示抽到的小球分数之和，求的分布列及数学期望.20.（12分）已知三棱台中，底面，，， ，，分别是，的中点，是棱上的点.（1）求证：；（2）若是线段的中点，平面与的交点记为，求二面角的余弦值.21.（12分）已知椭圆的左，右焦点分别为，，焦距为，点在上.（1）是上一动点，求的取值范围；（2）过的右焦点，且斜率不为零的直线交于，两点，求的内切圆面积的最大值.22.（12分）已知函数.（1）若，求证；函数的图象与轴相切于原点；（2）若函数在区间，各恰有一个极值点，求实数的取值范围.高三数学参考答案及评分标准2023.1一、单项选择题（每小题5分，共40分）1.C2.D3.B4.A5.B6.C7.B8.A二、多项选择题（每小题5分，共20分）9.BCD10.AB11.ACD12.BCD三、填空题（每小题5分，共20分） 13.14.315.（答案不唯一）16.四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）解：（1）因为，……1分因为已知，所以，……2分所以，所以数列是首项为，公比为2的等比数列，……4分所以，即.……5分（2）结合（1）知，……7分所以当为偶数时，.当为奇数时，.所以数列的前项和……10分18.（12分）解：（1）由已知得，整理得，因为，所以，……2分又因为，所以，即，……4分，当且仅当时等号成立，故的最小值为.……6分（2）因为，从而，又因为，所以或，8分 当时，，由正弦定理得，……10分当时，，由正弦定理得.综上，或.……12分19.（12分）解：（1）记事件表示“抽取一个小球且为红球”，表示“箱子中小球为两红两白”，表示“箱子中小球为三红一白”，则.……4分（2）由题意得的取值可以为，0，1，3，4，6，，……5分，……6分，……7分，……8分，……9分.……10分随机变量的分布列为：01346……11分.……12分 20.（12分）（1）证明：取线段的中点，连接，，易得，所以，，，四点共面.因为，，所以，又因为底面，平面，所以，因为，所以平面，……2分因为，分别是，的中点，所以，所以平面，因为平面，所以……3分因为，，又因为，所以四边形是正方形，所以，……5分又因为，所以平面，因为平面，所以.……6分（2）解：延长与相交于点，连接，则与的交点即为.由，分别为和的中点知为线段的三等分点，且，……8分由（1）知，所以、、两两垂直，以点为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴建立空间直角坐标系.，，，，设平面的法向量，则取，则……10分易得平面的一个法向量，……11分设二面角为，， 所以二面角的余弦值为.……12分21.（12分）（1）解：由题意知，所以.……1分将点代入，解得，所以椭圆的方程为：.……2分设点，则.……3分又因为，所以的取值范围是.……4分（2）解：依题意可设直线的方程为，，.联立得.……5分所以，，……6分所以，……8分又因为，……9分当且仅当时等号成立.所以.……10分 又因为三角形内切圆半径满足.……11分所以的内切圆面积的最大值为.……12分22.（12分）（1）证明：因为，，；……1分又，……2分所以，所以在点处的切线方程为，所以函数的图象与轴相切于坐标原点.……4分（2）解：，令，，令，，当时，，……5分故在上为减函数，因为，所以当，即时，，……6分所以为增函数，故，所以为减函数，故函数在无极值点；……7分当时，当，因为为减函数，，，故必存在，使得，当时，，为增函数，当时，，为减函数，而，故， 又因为所以必存在，，且当，，为减函数，当，，为增函数，故在区间上有一个极小值点，……9分因为，所以在上单调递增，又因为，，所以总存在使，且当时，，单调递减，时，，单调递增，当，，且，故必存在，使得，，，为减函数，，，为增函数，因为，所以当，，即，又因为故存在，使得，且当，，为减函数，当，，为增函数，故在区间有一个极小值点，……11分 所以若函数在区间，各恰有一个极值点，.……12分