西南大学附属中学校2022届高三数学上学期第三次月考试卷（Word版附答案）

西南大学附属中学校高2022届第三次月考数学试题（满分：150分；考试时间：120分钟）2021年11月注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡．2．答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整．3．考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生留存，以备评讲）．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，则（）A．B．C．D．2．已知，则（）A．B．C．D．3．已知直线与圆交于A，B两点，若，则（）A．B．C．D．4．已知数列满足：．则（）A．B．C．D．5．已知向量满足，则在方向上的投影为（）A．1B．C．D．6．已知A、B、C是半径为2的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（） A．1B．C．D．7．若函数（其中a为参数）在R上单调递增，则a的取值范围是（）A．B．C．D．8．已知定义在R上的函数满足如下条件：①函数的图象关于y轴对称；②对于任意；③当时，；④．若过点的直线l与函数的图象在上恰有8个交点，则直线l斜率k的取值范围是（）A．B．C．D．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知函数的部分图象如图所示，则（）A．B．C．若，则D．若，则10．下列说法正确的是（）A．命题“”是“角是第一象限角”的必要不充分条件B．设随机变量，若，则C．正实数a，b满足，则的最小值为5 D．若函数有4个零点，则11．正方体的棱长为2，E，F，G分别为的中点，则（）A．直线与直线垂直B．直线与平面平行C．平面截正方体所得的截面面积为D．点C到平面的距离为12．已知函数，则下列说法正确的是（）A．函数是偶函数，且在上不单调B．函数是奇函数，且在上不单调递增C．函数在上单调递增D．对任意，都有，且三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若，则__________．14．给3个人写3封内容不同的信，写好后将它们随意装入写好地址与收信人的3个信封，每个信封装一封信，则全部装错的概率为__________．15．若双曲线的一个焦点F关于其一条渐近线的对称点P在双曲线上，且直线与圆相切，则双曲线离心率为___________．16．拿破仑定理是法国著名的军事家拿破仑·波拿马最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三个角形的顶点”．在中，，以、、为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为、、，若的面积为，则的周长的取值范围为__________． 四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知等差数列的前n项和为，且．（1）求的通项公式以及；（2）求使不等式成立的最小值n．18．（12分）中，内角A，B，C所对的边分别为．（1）求A；（2）已知点D为边上一点，，求的长．19．（12分）据了解，现在快节奏的工作、不健康的生活方式，使人们患上“三高（高血压、高血脂、高血糖）”的几率不断升高，患病人群也日渐趋向年轻化．某科研机构为了研究喝酒与糖尿病是否有关，现对该市30名男性成人进行了问卷调查，并得到了如下列联表，规定“平均每天喝以上的”为常喝．已知在所有的30人中随机抽取1人，是糖尿病的概率为．常喝不常喝合计有糖尿病2无糖尿病4合计30（1）请将上述列联表补充完整；根据列联表判断是否有99.5%的把握认为糖尿病与喝酒有关？请说明理由．（2）研究发现，有5种药物对糖尿病有一定的抑制作用，其中有2种特别有效，现在要通过逐一试验直到把这2种特别有效的药物找出来为止，每一次试验花费的费用是200元，设所需要的试验费用为X，求X的分布列与数学期望．参考数据：0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：（其中）．20．（12分）如图，四棱锥的底面是边长为的菱形， ，E为的中点．（1）证明：平面平面；（2）已知点F为上的点，，求二面角的余弦值．21．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为、，P为椭圆上的一点，的周长为6，过焦点的弦中最短的弦长为3；椭圆的右焦点为抛物线的焦点．（1）求椭圆与抛物线的方程；（2）过椭圆的右顶点Q的直线l交抛物线于A、B两点，点O为原点，射线、分别交椭圆于C、D两点，的面积为，以A、C、D、B为顶点的四边形的面积为，问是否存在直线l使得？若存在，求出直线/的方程；若不存在，请说明理由．22．已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若对于任意，、，恒有成立，试求的取值范围． 第三次月考数学试题答案一、选择题1-4：BCAC5-6：DDBA9：AC10：AB11：BCD12：AD二、填空题13．14．15．16．三、解答题17．（1）解：在等差数列中，∵∴，又∵，∴公差，∴，∴，∴（2）即，解得或者，∴n为正整数，∴，∴n的最小值为5．18．（1）解由正弦定理得：∵A，B，C的三角形的内角，∴∴，即．（2）由余弦定理得，∴ ，∴∵，∴，∴∴19．（1）解：常喝不常喝合计有糖尿病8210无糖尿病41620合计121830所以，有99.5%的把握认为糖尿病与喝酒有关．（2）解X的取值可能为400，600，800（或者）分布列如下X400600800P（元）20．（1）证明：∵四边形为菱形，且∴、为等边三角形，∴∵E为的中点，∴，∵，∴，∵，∴平面，∵，∴平面E，∵平面，∴平面平面． （2）解：∵由（1）可得，可得O为外心，因为等边三角形，O也为重心，∴，，以O为原点建立空间直角坐标系，如图所示，则∵，∴∴，，设平面的法向量为令，，则，即， 设平面的法向量为令，，则，即，所以二面角的余弦值为21．（1）由题意得，解得，所以椭圆的方程，抛物线的方程为．（2）解，由题意得直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为，设、、、由，得，∵，∴∵，∴直线的斜率为，即直线的方程为， 由，得，同理可得，∴得，所以存在直线l，方程为或者．22．（1）解：函数的定义域为，∴当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．（2）解：由，得，即，且，由（1）可知，当时，在上单调递减．不妨设，∵，、，即，∴ ∴，即，令，则只需要证明在上单调递增，即，对，都有，，即对即，∵，∴，只需，对，∴在上单调递减，∴∴．