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安徽省六安市省示范高中2022-2023学年高三数学上学期期末试题(Word版含解析)
安徽省六安市省示范高中2022-2023学年高三数学上学期期末试题(Word版含解析)
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2023年六安市省示范高中高三教学质量检测数学试题注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、座位号等填写在答题卡和答题卷指定位置上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.全集,集合,则()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】解一元二次不等式可求得集合,由补集定义可得结果.【详解】由得:,即,.故选:C.2.若复数满足,则复数在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】【分析】设,由复数相等条件可构造方程组求得,进而确定对应点的坐标,从而得到结果.【详解】设,则,,,解得:,第21页/共21页学科网(北京)股份有限公司 对应的点为,位于第一象限.故选:A.3.已知中,为的中点,且,,,则向量在向量上的投影向量为()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由向量线性运算可得,知,根据投影向量为,结合长度和角度关系可求得结果.【详解】,,,又,,,,为等边三角形,;在上的投影向量为.故选:C.4.已知圆,点在直线上,过点作圆的切线,切点分别为A、B,则切线段的最小值为()A.1B.2C.D.3【答案】B第21页/共21页学科网(北京)股份有限公司 【解析】【分析】根据切线长公式和点到直线的距离公式求解.【详解】,所以当时,的长最小,C到l的距离为,所以,故选:B.5.2022年诺贝尔物理学奖授予在量子领域做出贡献的法国、美国、奥地利科学家,我国于2021年成功研制出目前国际上超导量子比特数量最多的量子计算原型机“祖冲之号”,操控的超导量子比特为66个.已知1个超导量子比特共有“,”2种叠加态,2个超导量子比特共有“,,,”4种叠加态,3个超导量子比特共有“,,,,,,,”8种叠加态,…,只要增加1个超导量子比特,其叠加态的种数就呈指数级增长.设66个超导量子比特共有种叠加态,则是一个()位的数.(参考数据:)A19B.20C.66D.67【答案】B【解析】【分析】根据题意可得个超导量子比特共有种叠加态,结合指、对数运算求解.【详解】根据题意,设个超导量子比特共有种叠加态,所以当有66个超导量子比特共有种叠加态.两边取以10为底的对数得,,所以,由于,即,故N是一个20位的数.故选:B.6.已知函数的图象的一部分如图所示,则该函数解析式可能是()A.B.第21页/共21页学科网(北京)股份有限公司 C.D.【答案】D【解析】【分析】根据奇偶性可排除B;A中函数与与轴交点间距离相等,与图象不符,可排除A;根据时,可排除C,由此可得正确选项.【详解】由图象可知:图象关于原点对称,则为奇函数,,为偶函数,排除B;令,解得:,则与轴交点间距离相等,与图象不符,排除A;当时,,,,即在右侧函数值先为负数,与图象不符,排除C.故选:D.7.已知中,a、b、c为角A、B、C对边,,若与的内角平分线交于点I,的外接圆半径为,则面积的最大值为()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据正弦定理求出,,,,得到,利用基本不等式求出面积的最大值.【详解】,由正弦定理得:∵,∴,∵,∴,为直角三角形且外接圆半径为,第21页/共21页学科网(北京)股份有限公司 ∴,∴,设内切圆半径为,则.其中,因为,所以,故,当且仅当时,等号成立,∴,当且仅当时等号成立,故选:A8.已知,,.则()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】令,,利用导数可求得在上的单调性,从而确定,,结合,令即可得到大小关系.【详解】令,,则,在上单调递增,,即;令,,则,在上单调递增,,即;第21页/共21页学科网(北京)股份有限公司 又当时,,当时,;则当时,,即.故选:B.【点睛】关键点点睛:本题考查采用构造函数的方式比较大小的问题,解题关键是能够根据的形式的共同点,准确构造函数和,利用导数求得函数单调性后,通过赋值来确定大小关系.二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.下列说法不正确的是()A.已知命题,都有,则,使B.数列前项和为,则,,成等比数列是数列成等比数列的充要条件C.是直线与直线平行的充要条件D.直线的斜率为,则为直线的方向向量【答案】BC【解析】【分析】根据全称命题的否定、等比数列片段和性质的基本要求、两直线平行的条件以及方向向量定义依次判断各个选项即可.【详解】对于A,根据全称命题的否定可知:,使,A正确;对于B,当等比数列的公比时,且为偶数时,,,,不构成等比数列,必要性不成立,B错误;对于C,当时,与方程均可写为:,即两直线重合,充分性不成立,C错误;对于D,由直线方向向量定义可知:为直线的方向向量,D正确.故选:BC.10.椭圆的上下顶点分别,焦点为,为椭圆上异于第21页/共21页学科网(北京)股份有限公司 的一动点,离心率为,则()A.的周长为B.离心率越接近,则椭圆越扁平C.直线的斜率之积为定值D.存点使得,则【答案】ABD【解析】【分析】根据椭圆定义可知焦点三角形周长为,结合离心率转化即可知A正确;根据椭圆离心率与椭圆形状的关系可知B正确;设,结合两点连线斜率公式化简可得斜率之积,知C错误;将问题转化为当为短轴端点时,,利用余弦定理可构造齐次不等式求得的范围,知D正确.【详解】对于A,由椭圆定义知:,又,,的周长为,A正确;对于B,,当越接近时,的值越小,则椭圆越扁平,B正确;对于C,设,则,又,,,C错误;对于D,由椭圆性质知:当为短轴端点时,最大,若存在点使得,则当为短轴端点时,,此时,即,,又,,D正确.故选;ABD.第21页/共21页学科网(北京)股份有限公司 11.设函数,则下列结论正确的是()A.若函数的最小正周期为,则B.存在,使得的图象向右平移个单位长度得到的函数图象关于原点对称C.若,当时,函数的值域为D.若在上有且仅有4个零点,则【答案】BD【解析】【分析】根据周期公式可判断A,根据函数图象的对称性可判断B,讨论函数在给定区间的最值可判断C,根据函数图象分析零点的分布可判断D.【详解】由倍角公式可得:,,可知:,所以A选项错误,将图像向右平移得到,该函数图像关于原点对称,则,所以,当时,满足题意,B选项正确.当时,,所以,则的值域为,所以C选项错误,,则,因为函数有且仅有4个零点,所以,解得,D选项正确.故正确选项为:BD.12.已知长方体中,,,点是四边形第21页/共21页学科网(北京)股份有限公司 内(包含边界)的一动点,设二面角的大小为,直线与平面所成的角为,若,则()A.点的轨迹为一条抛物线B.线段长的最小值为C.直线与直线所成角的最大值为D.三棱锥体积的最大值为【答案】BCD【解析】【分析】作平面,,根据二面角平面角定义和线面角定义可得,由此可得,根据抛物线定义可知点轨迹为抛物线的一部分,对应的点轨迹也为抛物线的一部分,知A错误;若取得最小值,则最小,根据抛物线性质可知当为中点时,最小,由此可求得最小值,知B正确;将问题转化为求解与所成角的最大值,建立平面直角坐标系,可知当与抛物线相切时,最大,利用抛物线切线的求法可求得该最大值,知C正确;由体积桥可确定当点到的距离最大时,所求体积最大,结合抛物线图形可知当为中点时距离最大,由此可求得D正确.【详解】过点作平面,垂足为,作,垂足为,对于A,平面,平面,,又,,平面,平面,平面,,即为二面角的平面角,即,又,,,点轨迹为以为焦点,为准线的抛物线在四边形内(含边界)的部分,第21页/共21页学科网(北京)股份有限公司 则点轨迹为以为焦点,为准线的抛物线在四边形内(含边界)的部分,A错误;对于B,由抛物线性质知:当为中点时,,,B正确;对于C,与所成角即为与所成角,在平面中,以中点为坐标原点,可建立如图所示平面直角坐标系,则当与抛物线相切时,取得最大值;由题意知:抛物线方程为:,,设切线方程为:,则由得:,,解得:,在四边形内(含边界),结合图形可知:,此时,直线与所成角的最大值为,C正确;对于D,,,若三棱锥的体积最大,则点到的距离最大,即点到的距离最大;由C中图象可知:当为中点时,点到的距离最大,最大值为,即点到距离的最大值为,第21页/共21页学科网(北京)股份有限公司 ,D正确故选:BCD【点睛】关键点点睛:本题考查立体几何中的轨迹相关问题的求解,解题关键是能够作出二面角的平面角,结合线面角定义确定动点满足到定点的距离等于到定直线的距离,从而确定动点轨迹为抛物线的一部分,进而结合直线与抛物线的知识来进行求解.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.抛物线的准线方程为_______.【答案】【解析】【详解】由抛物线的标准方程为x2=y,得抛物线是焦点在y轴正半轴的抛物线,2p=1,∴其准线方程是y=,.故答案为.14.已知等差数列的前n项和为,,,则数列的前20项和是______.【答案】202【解析】【分析】根据题意求出数列的首项和公差,将的前9项和到分开求和即可求解.【详解】由得,又,∴,即∴,公差.因为,解得,∴,∴∴的前n项和为.故答案为:202.第21页/共21页学科网(北京)股份有限公司 15.正三棱锥的侧棱长为,为的中点,且,则三梭锥外接球的表面积为______.【答案】【解析】【分析】根据等腰三角形三线合一性质和线面垂直判定可知平面,从而得到;由线面垂直判定可得平面,进而确定三棱锥为正方体的一角,通过求解正方体的外接球表面积即可得到结果.【详解】为中点,,,,,又,平面,平面,平面,,又,,平面,平面,又三棱锥为正三棱锥,侧面为全等的等腰直角三角形,三棱锥为如图所示的棱长为的正方体的一角,该正方体的外接球即为三棱锥的外接球,正方体外接球半径,所求外接球表面积.故答案为:.16.已知函数,,若,,则的最大值为______.【答案】【解析】【分析】对已知等式进行同构可得,令,利用导数可求得单调递增,由此可得,从而将所求式子化为;令第21页/共21页学科网(北京)股份有限公司 ,利用导数可求得,即为所求最大值.【详解】由得:;由得:,;,令,,,在上单调递增,;令,则,则当时,;当时,;在上单调递增,在上单调递减,,即的最大值为.故答案为:.【点睛】关键点点睛:本题考查利用导数求解多变量的式子最值的问题;解题关键是能够对于已知等式进行同构变形,将问题转化为某一单调函数的两个函数值相等的问题,从而确定两个变量之间的关系,将所求式子化为单变量的式子来进行求解.四、解答题:本题共6小题,共70分,解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤.17.在①,②这两个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解答问题.在中,内角的对边分别为,且满足______.(1)求角的大小:(2)若的面积为,点在边上,且,求的最小值.(注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答记分.)第21页/共21页学科网(北京)股份有限公司 【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)若选①,利用正弦定理边化角,结合两角和差正弦公式可化简得到,由此可得;若选②,利用正弦定理角化边,配凑出的形式,从而得到;(2)利用三角形面积公式可构造方程求得;利用向量线性运算可用表示出,根据平面向量数量积的定义和运算律可表示出,利用基本不等式可求得的最小值,进而得到的最小值.【小问1详解】若选条件①,由正弦定理得:,,,,,即,又,;若选条件②,由正弦定理得:,,即,,又,.【小问2详解】,,;,(当且仅当,即时取等号),,即的最小值为.18.如图,在四棱锥中,,,,平面,第21页/共21页学科网(北京)股份有限公司 ,为线段上一点且.(1)证明:∥平面;(2)若,二面角的正弦值为,求PD的长.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】(1)构造面面平行的性质定理解决.(2)建立空间直角坐标系解决.【小问1详解】过点作交DC于点G,连接BG,又∵,又,又,故四边形是平行四边形.∴,面,面,面,同理面,∴平面平面又平面,∴平面.【小问2详解】以DA为x轴,DC为y轴,DP为z轴建立空间直角坐标系,令,则,,第21页/共21页学科网(北京)股份有限公司 ,,设平面的法向量为∴,,令,则,易知平面的法向量为∴,可得∴19.已知是数列的前n项和,且.(1)求数列的通项公式;(2)若,是的前项和,证明:.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】【分析】(1)根据与的关系求解;(2)利用裂项相消法求和即可证明.【小问1详解】时,,第21页/共21页学科网(北京)股份有限公司 时,经验证时∴【小问2详解】时时,,,∴.20.随䍰六安市经济发展的需要,工业园区越来越受到重视,成为推动地方经济发展的重要工具,工业园区可以有效创造和聚集力量,共享资源,克服外部负面影响,带动相关产业发展,从而有效促进产业集群的形成.已知工业园区内某工厂要设计一个部件(如图阴影部分所示),要求从圆形铁片上进行裁剪,部件由三个全等的矩形和一个等边三角形构成.设矩形的两边长分别为,(单位:),要求,部件的面积是.(1)求y关于x的函数解析式,并求出定义域;(2)为了节省材料,请问x取何值时,所用到的圆形铁片面积最小,并求出最小值.【答案】(1),定义域;(2)当时,面积最小值.【解析】【分析】(1)用表示阴影部分面积,由此可得y关于x第21页/共21页学科网(北京)股份有限公司 的函数解析式,结合已知求定义域;(2)用表示圆的半径的平方,再利用基本不等式求其最小值,由此可得圆的面积最小值.【小问1详解】,故.,即,又,所以.故,【小问2详解】如图所示:作交于,交于,连接.故,又故,当,即时等号成立.故当时,面积最小值.第21页/共21页学科网(北京)股份有限公司 21.已知函数.(1)讨论函数的单调性;(2)函数,若在上恒成立,求实数m的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2)【解析】【分析】(1)分类讨论,根据函数的导数分和求解;(2)分离参变量得到,讨论函数的单调性和最值求解.【小问1详解】函数的定义域为,,①当时,,所以在上为单调递减函数,②当时,令解得,令解得,所以在上为单调递减函数,在为单调递增函数.【小问2详解】由得,∴,令,当时,时,,所以在单调递增,在单调递减,∴故.22.已知两点、,动点M满足直线MA与直线MB的斜率之积为3.,动点M第21页/共21页学科网(北京)股份有限公司 的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)过点作直线交曲线C于P、Q两点,且两点均在y轴的右侧,直线AP、BQ的斜率分别为、.①证明:为定值;②若点Q关于x轴的对称点成点H,探究:是否存在直线l,使得的面积为,若存在,求出直线l的方程,若不存在,请说明理由.【答案】(1)(2)①证明见解析;②存在;或【解析】【分析】(1)根据条件列出方程化简即可求出曲线方程;(2)设直线,,,联立方程组,利用韦达定理得出的和、积.①利用两点的坐标直接表述出,将的和、积代入化简即可求证为定值;②根据题意求出的直线方程,通过整理化简得出直线过定点,根据三角形的面积求出的值,进而求解即可.【小问1详解】令,根据题意可知:,化简,可得:,所以曲线C的方程为:.【小问2详解】设,,可设直线,联立方程可得:,第21页/共21页学科网(北京)股份有限公司 则,故且①.②∵轴,∴,由两点式方程可得的直线方程为:,∴,将,代入可得:,将代入上式,得到:,所以直线过定点,∴∴或(舍)所以存在直线l,使得的面积为,直线l的方程为:或.第21页/共21页学科网(北京)股份有限公司
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