陕西省重点中学2023届高三数学（理）上学期1月期末试卷（Word版含解析）

2022-2023学年上学期1月期末高三理科数学一、选择题；本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数，则共轭复数在复平面对应的点位于（    ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．设函数满足，且有，则（    ）A．B．C．D．3．设集合，则AB＝A．B．C．D．4．“”是“不等式”的A．充分不必要条件B．充分必要条件C．必要不充分条件D．非充分必要条件5．若递增等比数列{an}的前n项和为Sn，a2=2，S3=7，则公比q等于A．2B．C．2或D．无法确定6．设函数的最小正周期为，则在上的零点之和为（    ）A．B．C．D．7．一个首项为，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是A．B．C．D．8．作用在同一物体上的两个力，当它们的夹角为 时，则这两个力的合力大小为（    ）N.A．30B．60C．90D．1209．设，，则等于A．B．C．D．10．从乒乓球运动员男5名、女6名中组织一场混合双打比赛，不同的组合方法种数为（    ）A．B．C．D．11．已知，是椭圆：的左、右焦点，点在椭圆上，与轴垂直，，则椭圆的离心率为A．B．C．D．12．已知数列满足，（且），数列的前n项和为Sn，则（    ）A．B．C．D．二、填空题：本题5小题，共20分。13．欧拉是科学史上最多才的一位杰出的数学家，他发明的公式为，i虚数单位，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式也被誉为“数学中的天桥”根据此公式，的最大值为________．14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则角______．15．若点关于轴对称点为，则的一个取值为_____.16．曲线上某点处的切线与直线垂直，则该切线方程为________．三、解答题：本题6小题，共70分。 17．某班级体育课举行了一次“投篮比赛”活动，为了了解本次投篮比赛学生总体情况，从中抽取了甲乙两个小组样本分数的茎叶图如图所示：（1）分别求甲乙两个小组成绩的平均数；（2）估计甲乙两个小组的成绩的方差大小关系；（3）甲组高于70分的同学中，任意抽取2名同学，求恰好有一名同学的得分在的概率．18．已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且.(1)求抛物线的标准方程；(2)直线与抛物线交于，两点，若线段的中点为，求直线的方程．19．已知等差数列中，.（1）求的通项公式；（2）求的前项和的最大值.20．如图，在四棱锥，底面正方形，为侧棱的中点，为的中点，.（Ⅰ）求四棱锥体积；（Ⅱ）证明：平面；（Ⅲ）证明：平面平面. 21．已知数列的首项为1，为数列的前项和，，其中，（1）求的通项公式；（2）证明：函数在内有且仅有一个零点（记为）且；22．已知抛物线的焦点到准线的距离为2，圆与轴相切，且圆心与抛物线的焦点重合.(1)求抛物线和圆的方程；(2)设为圆外一点，过点作圆的两条切线，分别交抛物线于两个不同的点和点.且，证明：点在一条定曲线上.23．已知函数，M为不等式的解集.（1）求M；（2）证明：当，. 参考答案1．C化简，求出，找到对应的坐标即可.对应的点的坐标为，在第三象限故选：C2．C根据题意，得到函数在上单调递增，且为定义在上的偶函数，结合函数的单调性与奇偶性，即可求解.由题意知，都有，可得函数在上单调递增，又由函数满足，可得是定义在上的偶函数，所以，所以，即，故选：C.3．D利用一元二次不等式的解法化简集合，由交集的定义可得结果.因为集合或，所以，，故选D.研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.4．A试题分析：解不等式得,则,而时,不成立.故“”是“不等式”的充分不必要条件.所以A选项是正确的.考点：解不等式；充要条件.5．A .由.得.解得2或.因为等比数列{an}为递增数列．所以.故选A.6．A由题意可知，可得，再令，可得在上的零点，由此即可求出结果.因为，所以.令，得，所以在上的零点为，，则所求零点之和为.故选：A.本题主要考查了函数的性质的应用，属于基础题.7．C设等差数列的公差为，，又数列前六项均为正数，第七项起为负数，，，又数列是公差为整数的等差数列，，故选C.8．B用同一起点的向量表示，由向量加法的平行四边形法则计算．如图，，，，作平行四边形，则，因为，所以四边形是菱形，又，是等边三角形，．故选：B． 9．B∵f(x)＝2x＋3，∴f(x－2)＝2(x－2)＋3＝2x－1，即g(x)＝2x－1，故选B.点睛:本题考查函数的表示方法,属于基础题目.求函数解析式的一般方法主要有:待定系数法,配凑法,换元法,构造方程组法,赋值法等.解决本题的关键是g(x)＝f(x－2),即在f(x)＝2x＋3的解析式中,将自变量x都用x-2来替换,代入求出f(x－2)的解析式,即所求的g(x)的解析式.10．B分两步进行：先选出两名男选手，再从6名女生中选出2名且与已选好的男生配对.分两步进行：第一步，选出两名男选手，有种方法；第二步，从6名女生中选出2名且与已选好的男生配对，有种.故有种.故选：B.11．A在直角中，由得到a,b,c的等量关系，结合计算即可得到离心率.由已知，得，则,又在椭圆中,,故,即,解得e=,故选A 12．A由递推关系可得，由此可化简求出.因为（且），同除以，得，所以，，所以，即.故选：A.13．3由已知得，再利用余弦函数的值域即可求解.，又，即当时，取得最大值为3，故答案为：314．##由正弦定理与两角和的正弦公式化简由题意得，而，由正弦定理化简得，故，，得故答案为：15．（答案不唯一）先求出点关于轴对称的点坐标，与题干中所给的坐标对应相等，对其进行化简即可得到所满足的条件，从而得到的取值点关于轴对称的点坐标为，则由题可知，，即，，，所以， ；同理，即，所以，则，则的一个取值可以为.故答案为：（答案不唯一）16．由可求得切点的横坐标，结合函数的解析式可得出切点的坐标，再利用点斜式可得出所求切线的方程.，该函数的定义域为，，直线的斜率为，故所求切线的斜率为，由，可得，，故切点为，所以，所求切线的方程为，即.故答案为：.17．（1）68；68；（2）估计甲成绩的方差大于乙成绩的方差；（3）.（1）利用茎叶图中的数据直接求两个小组的平均数；（2）利用方差公式直接求解；（3）由茎叶图可知，甲组高于70分的同学共4名，有2名在，记为，有2名在，记为，任取两名同学，利用列举法能求出恰好有一名同学的得分在的概率解：（1）记甲乙两个小组成绩的平均数分别为，则，，所以甲乙两个小组成绩的平均数均为68，（2）记甲乙两个小组的成绩的方差分别为，则， ，所以甲成绩的方差大于乙成绩的方差；（3）由茎叶图可知，甲组高于70分的同学共4名，有2名在，记为，有2名在，记为，任取两名同学的基本事件有6个：，恰好有一名同学的得分在的基本事件数共4个：，所以恰好有一名同学的得分在的概率为，此题考查茎叶图的应用，考查概率的求法，考查列举法等知识，考查运算能力，属于基础题18．(1)(2)（1）因为点在抛物线上，所以又因为，解得，故抛物线的标准方程为；（2）设，则，所以，化为又因为的中点为，所以，则，故直线的斜率为，所以直线的方程为整理得．19．（1）；（2）90.（1）由已知条件利用等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出等差数列的通项公式；（2）利用公式求出前项和，利用二次函数图象求得最大值．解：（1）等差数列中，， ，解得，，的通项公式．（2），，的前项和．当或时，前项和的最大值90.20．（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）证明见解析.（Ⅰ）利用锥体的体积公式即得；（Ⅱ）取中点，由题可得四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定定理即得；（Ⅲ）由，得平面，由及面面垂直的判定定理即得.（Ⅰ）设四棱锥体积为，正方形的面积为，则．（Ⅱ）取中点，连结，因为、分别为、的中点，所以，所以，所以四边形为平行四边形，所以．又平面，平面， 所以平面；（Ⅲ）∵底面正方形，平面，∴，又，，平面，平面，所以平面，平面，所以．又，平面，平面，所以平面．由（Ⅱ）知，所以平面，而平面，所以平面平面．21．（1）（2）证明见解析（1）①，②，①-②得，又当时，，故数列为等比数列，首项为1，公比为，；（2），可得，，在，内至少存在一个零点，又，在，内单调递增，在，内有且仅有一个零点，是的一个零点，，即，故；22．(1)抛物线的方程为，圆的方程为(2)证明见解析（1）解：由题设得，所以抛物线的方程为.因此，抛物线的焦点为，即圆的圆心为由圆与轴相切，所以圆半径为， 所以圆的方程为.（2）证明：由于，每条切线都与抛物线有两个不同的交点，则.故设过点且与圆相切的切线方程为，即.依题意得，整理得①；设直线的斜率分别为，则是方程①的两个实根，故，②，由得③，因为点，则④，⑤由②，④，⑤三式得：，即，则，即，所以点在圆.23．（1）  （2）证明见解析（1），时，，无解，同样时，，无解，只有时， 满足不等式，∴；   （2）要证，只需证，即证，即证，因为，所以，则，原不等式成立.