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陕西省西安市铁一中学2022-2023学年高二数学上学期1月期末试题(Word版含答案)
陕西省西安市铁一中学2022-2023学年高二数学上学期1月期末试题(Word版含答案)
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西安市铁一中学2022-2023学年上学期期末高二数学注意事项:1.答题时,务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡规定的位置上。2.答选择题时,用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色黑色签字笔把答案写在答题卡规定的位置上。答案如需改正,请先划掉原来的答案,再写上新答案,不准使用涂改液、胶带纸、修正带。4.考试结束后,只将答题卡交回。一、选择题:(本题共8小题,每题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的).1.已知,,且,则向量与的夹角为( )A.B.C.D.2.与直线平行,且与直线交于轴上的同一点的直线方程是( )A.B.C.D.3.如图,在三棱柱中,点是底面的重心,若,,,则( )A.B.C.D.4.已知数列的前项和为,且,则的值为( )A.-4B.-2C.-6D.-85.若椭圆经过点,且焦点为,,则这个椭圆的离心率等于 A.B.C.D.6.已知数列是等差数列,若,,则公差( )A.1B.C.D.7.已知三棱台的六个顶点都在球O的球面上,,和分别是边长为和的正三角形,则球O的体积为( ).A.B.C.D.8.下列方程关于对称的是( )A.B.C.D.二、选择题:(本题共4小题,每题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分).9.在平面直角坐标系中,已知圆,其中,则( )A.圆过定点B.圆的圆心在定直线上C.圆与定直线相切D.圆与定圆相切10.疫情当下,通过直播带货来助农,不仅为更多年轻人带来了就业岗位,同时也为当地农民销售出了农产品,促进了当地的经济发展.某直播平台的主播现要对6种不同的脐橙进行选品,其方法为首先对这6种不同的脐橙(数量均为1),进行标号为1~6,然后将其放人一个箱子中,从中有放回的随机取两次,每次取一个脐橙,记第一次取出的脐橙的标号为,第二次为,设,其中[x]表示不超过x的最大整数,则( )A.B.事件与互斥C.D.事件与对立11.裴波那契数列又称黄金分割数列,因数学家列昂纳多·裴波那契以兔子繁殖为例子而引入,故又称为“兔子数列”.裴波那契数列用递推的方式可如下定义:用表示裴波那契数列的第项,则数列满足:,,记,则下列结论正确的是( ) A.B.C.D.12.棱长为1的正方体中,为底面的中心,是棱上一点,且,,为线段的中点,下列命题中正确的是( )A.三棱锥的体积与的取值无关B.当时,点Q到直线AC的距离是C.当时,D.当时,过三点的平面截正方体所得截面的周长为三、填空题:(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.若向量,,且,则______.14.双曲线的右焦点到直线的距离为________.15.已知向量与的夹角为,且,则实数的值为______.16.已知正项数列的前n项和为,且对于任意,有,若a2=4,则_____,_____.全科试题免费下载公众号《高中僧课堂》四、解答题:(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.设直线的方程为.(1)求证:不论为何值,直线必过一定点;(2)若直线分别与轴正半轴,轴正半轴交于点,,当面积最小时,求的周长及此时的直线方程;(3)当直线在两坐标轴上的截距均为正整数且a也为正整数时,求直线的方程.18.2020年5月28日,十三届全国人大三次会议表决通过了《中华人民共和国民法典》,此法典被称为“社会生活的百科全书” ,是新中国第一部以法典命名的法律,在法律体系中居于基础性地位,也是市场经济的基本法.民法典与百姓生活密切相关,某学校有800名学生,为了解学生对民法典的认识程度,抽查了100名学生进行测试,并按学生的成绩(单位:分)制成如图所示频率分布直方图.(1)求的值;(2)若成绩在80分及以上视为优秀,根据样本数据估计该校学生对民法典认识程度优秀的人数;(3)如果抽查的测试平均分超过75分,就表示该学校通过测试,试判断该校能否通过测试.19.如图,在四棱锥中,底面是矩形,,,底面.(1)当为何值时,平面?证明你的结论;(2)若在边上至少存在一点,使,求的取值范围.20.已知等差数列的前项和为,且,.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)若,,成等比数列,求正整数的值.21.已知椭圆:()的离心率为,短轴端点到焦点的距离为.(1)求椭圆的方程; (2)设A,为椭圆上任意两点,为坐标原点,且.求证:原点到直线的距离为定值,并求出该定值.22.如图,点是圆内的一个定点,点是圆上的任意一点,线段的垂直平分线和半径相交于点,当点在圆上运动时,点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程;(2)点,,直线与轴交于点,直线与轴交于点,求的值. 参考答案:1.D根据向量数量积列出方程,求出x=1,利用向量夹角公式计算出答案.∵∴x=1,∴,∴,又∵,∴向量与的夹角为故选:D.2.C先求出直线交于轴交点,再设与直线平行的直线方程,代入点的坐标得解.设直线交于轴于点,令,则,所求直线与平行,设,把代入得所求直线方程为:故选:C本题考查与直线平行的直线方程,属于基础题.3.A如图,连接,并延长交于点D,根据重心的定义可得D为的中点,,利用空间向量的线性运算即可求解.由题意知,如图,连接,并延长交于点D, 则D为的中点,,有,.故选:A.4.A根据递推关系依次求得和的值.依题意,数列的前项和为,当时,,解得,当时,,解得,故选A.本小题主要考查根据数列递推关系式求某一项,属于基础题.5.C根据焦点坐标求出的值,根据椭圆过的定点,结合性质得到的值,再利用椭圆的离心率公式求出椭圆的离心率.椭圆焦点为,设椭圆方程为,又椭圆经过点, 解得或,,,故选C.本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质,以及椭圆的离心率,属于中档题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点,一般求离心率有以下几种情况:①直接求出,从而求出;②构造的齐次式,求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解.6.D利用等差数列的下标和性质即可求解.∵,∴.∵,∴,∴公差.故选:D7.B分别求出正三棱台的上下两个底面的外接圆的半径,然后由球的性质得:,,解出,即可求得球O的体积.设点,分别是正,的中心,球的半径为,且,,三点共线,正三棱台的高为,在等边中,由,由正弦定理可得:,得,在等边中,由,由正弦定理可得:,得,如下图,过点作,则在三角形中, ,所以,所以正三棱台的高为3,在中,,即,在中,,即,两式解得:,所以球O的体积为:.故选:B.8.B利用互换位置后方程不变可得答案.对于A,互换位置后方程为与不一样,故错误;对于B,互换位置后方程为与原方程一样,故正确;对于C,互换位置后方程为与原方程 不一样,故错误;对于D,互换位置后方程为与原方程不一样,故错误.故选:B.9.BC 利用反证法可判断AD选项;求出圆心所在直线的方程,可判断B选项;判断圆与直线的位置关系,可判断C选项.对于A选项,圆的方程可化为,若圆过定点,则,可得,矛盾,A错;对于B选项,圆的圆心坐标为,则圆心在直线上,B对;对于C选项,圆心到直线的距离为,故直线与圆相切,同理可知,直线与圆也相切,C对;对于D选项,设定圆的圆心为,半径为,设,若定圆与圆外切,则,化简得,由二次函数的性质可知,关于的二次函数在时的值不可能恒为零,舍去;若定圆与圆内切,则,化简可得,由二次函数的性质可知,关于的二次函数在时的值不可能恒为零,舍去.同理可知,当时,不存在定圆与圆相切,D错.故选:BC.10.BCD根据有放回的随机取两次结果36种逐个分析判断即可解决.由题知,从中有放回的随机取两次,结果有(记为): 共36种,若,此时取或所以,故A错误;若,则恒成立,所以与互斥,故B正确;,故C正确;因为恒成立.所以为对立命题,当时,恒成立,故D正确,故选:BCD11.ABD利用递推公式逐项计算可得的值,可判断A选项;推导出,,两式相加可判断B选项;推导出,利用裂项相消法可判断C选项;推导出,利用裂项相消法可判断D选项.对于A选项,,,,,A对;对于B选项,当时,,①,可得,②①②得,B对;对于C选项,对任意的,,则,因此,,C错;对于D选项,,因此,,D对.故选:ABD.12.ABD 根据锥体体积计算、点线距离、线线垂直、正方体的截面等知识对选项进行分析,从而确定正确答案.对选项A:由,因为到平面的距离为定值,且的面积为定值,所以三棱锥的体积跟的取值无关,所以A正确;对选项B:当时,是的中点,,,所以为锐角,所以,所以点Q到直线AC的距离是,所以B正确.对选项C:当时,,可得,,取的中点分别为,连接,则,在直角三角形中,,则,所以不成立,所以C不正确. 对选项D:当时,取,连接,则,又,所以,所以共面,即过三点的正方体的截面为,由,则是等腰梯形,且,所以平面截正方体所得截面的周长为,所以D正确;故选:ABD13.7根据空间向量的数量积运算,代值计算即可.依题意可得,则.故答案为:.14.先求出右焦点坐标,再利用点到直线的距离公式求解.由已知,,所以双曲线的右焦点为,所以右焦点到直线的距离为.故答案为:15. 根据可得,再根据平面向量的数量积公式求解即可由可得,即,,代入可得,化简得故答案为:平面向量的垂直:若向量,则16. 2 126根据已知条件,对p,q的依次取特值,求出数列的前6项,即可得到结果.解:正项数列的前项和为,且对于任意,有,∵,当时,,所以,当时,,所以,当时,,所以,当时,,所以,当时,,所以,所以;故答案为:2;126.本题考查数列的递推关系,数列的求和,属基础题,难度较易.17.(1)证明见解析;(2)周长为;直线方程为;(3).(1)将直线方程重新整理,转化为求两直线交点,即得证;(2)先求A,B坐标且确定的取值范围,再根据三角形面积公式列函数关系式,根据基本不等式求最值,确定的值,最后求周长以及直线方程;(3)根据截距均为正整数,利用分离法,结合整除确定的值,再求直线方程.解:(1)由得,则,解得,所以不论为何值,直线必过一定点;(2)由得,当时,,当时,, 又由,得,,当且仅当,即时,取等号.,,的周长为;直线方程为.(3)直线在两坐标轴上的截距均为正整数,即,均为正整数,而a也为正整数,所以直线的方程为.本题考查直线恒过定点问题、利用基本不等式求最值、直线与坐标轴围成的三角形的面积的最值、分离法求正整数解,考查综合分析求解能力,属中档题.18.(1);(2)320人;(3)能通过测试.(1)本题可根据频率分布直方图中数据得出结果;(2)本题可根据图中数据得出成绩在80分及以上的频率为,然后与总人数相乘即可得出结果;(2)本题可设抽查的平均成绩为,然后根据图中数据计算出,即可得出结果.(1)由频率分布直方图性质可得:,解得.(2)由频率分布直方图得,成绩在80分及以上的频率为,故估计该校学生对民法典认识程度优秀的人数为:(人).(3)设抽查的平均成绩为,则(分),因为,所以该学校通过了测试.19.(1),证明见详解;(2)(1)要证平面,只需证垂直于平面内的两条相交直线,由题意可知,则只需证明,只有当四边形为正方形时满足.(2)由题意可知,若存在点,使,则平面,即,则点应是以为直径的圆和边的一个公共点,即半径 ,求解即可.(1)当时,四边形为正方形,则.因为平面,平面,所以,又,平面,平面所以平面.故当时,平面.(2)设是符合条件的边上的点.因为平面,平面所以,又,,平面,平面所以平面,因为平面,所以.因此,点应是以为直径的圆和边的一个公共点.则半径,即.所以.本题考查根据线面垂直与线线垂直求参数,属于难题.20.(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅰ)根据等差数列的通项公式以及求和公式得出数列的通项公式;(Ⅱ)求出,再由等比数列的性质求出.(Ⅰ),解得(Ⅱ),,,成等比数列,即解得(舍)21.(1)(2)见解析. (1)根据离心率与短轴端点到焦点的距离联立,可求得的值,从而可得椭圆的标准方程;(2)分为直线斜率不存在和存在两种情况,当直线斜率存在时,设直线方程为,与椭圆方程联立消元,然后再根据,利用韦达定理可得与的关系,进而可知原点到直线的距离为定值.(1)由题意知,,,又,所以,,所以椭圆的方程为.(2)当直线的斜率不存在时,易知直线的方程为.代入得,所以,原点到直线的距离为.当直线的斜率存在时,设直线的方程为,,.由得则,,则,由得, 即,即,所以原点到直线的距离为综上,原点到直线的距离为定值.22.(1)(2)(1)根据垂直平分线可判断点轨迹满足椭圆的定义,故根据定义法求解曲线方程.(2)设出直线的方程,然后根据根与系数的关系求得点的坐标.由点,,共线可得点的横坐标,可得直线与轴的交点纵坐标为,由此可得,,计算后可得结果.(1)由题意得点在的垂直平分线上,所以,∴.∴点的轨迹是以为焦点,长轴长为4的椭圆,设椭圆的方程为,则,,∴.所以曲线的方程为.(2)由题设知直线的斜率存在.设直线的方程为,由消去整理得,设,,则, 又,所以,所以,因为点,,共线,故,即,所以,又直线与轴的交点纵坐标为,所以,,所以.(1)定义法求轨迹方程的步骤:①分析题意,判断动点的运动轨迹满足某种曲线的定义;②设出曲线的标准方程,并根据题意求出方程中的参数;③求出轨迹方程,并判断是否有特殊点需要去掉(或补上).(2)由于解析几何中涉及到较多的运算,因此在解题时要注意运算的准确性和运算的技巧,学会运用“设而不求”、“整体代换”等方法.
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高中 - 数学
发布时间:2023-02-22 10:37:05
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