陕西省西安市铁一中学2022-2023学年高一数学上学期第一次月考试题（Word版有解析）

2022-2023-1高一年级月考（1）数学试题一､选择题（共8小题，每小题4分，共计32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知全集，集合，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先化简集合，再求其补集即可【详解】，所以.故选：B2.命题“”的否定是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】本题从存在量词否定为全称量词出发即可得出答案.【详解】存在量词命题的否定是全称量词命题，即先将量词“"改成量词“”,再将结论否定，该命题的否定是“”.故选：B.3.已知集合且，则的非空真子集的个数为（）A.14B.15C.30D.31【答案】A【解析】 【分析】根据集合的定义，结合正整数集与真子集的定义求解即可【详解】解：因为且，则该集合的非空真子集个数为个，故选：A4.下列是从集合A到集合B的函数的是（）A.，对应法则B.，，对应法则C.，对应法则D.，，对应法则【答案】B【解析】【分析】根据对应法则和函数的概念依次判断选项即可.【详解】A：当，，但，所以集合A中的一个元素在集合B中没有元素和它对应，不是函数，故A错误；B：集合A中的任意元素在集合B中都有元素和它一一对应，是函数，故B正确；C：集合A中的负数在集合B中没有元素和它对应，不是函数，故C错误；D：集合A中元素为0时，其倒数不存在，所以在集合B中五对应元素，不是函数，故D错误；5.已知函数若，则（）A.或1B.C.1D.3【答案】B【解析】【分析】根据分段函数的解析式，分段求解即可.【详解】根据题意得或，解得 故选：B6.若不等式的解集是（2，3），则的解集为（）A.B.（2，3）C.D.【答案】D【解析】【分析】由已知可得方程的两个根为2和3，从而可求出，则不等式可化为，进而可求出不等式的解集【详解】因为不等式的解集是（2，3），所以方程的两个根为2和3，所以，得，不等式可化为，即，解得或，所以不等式的解集为，故选：D7.若两个正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围为（）A.B.或C.D.或【答案】C【解析】 【分析】先由结合基本不等式求出的最小值，进而得，再解一元二次不等式即可.【详解】由题意知，，当且仅当，即时取等，又不等式恒成立，则不等式，即，解得.故选：C8.对于实数x，规定表示不大于x的最大整数，那么不等式成立的充分不必条件要是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先求出关于[x]的不等式的解集，然后根据新定义得到的范围,从而得到答案．【详解】由，得.又表示不大于x的最大整数，所以．那么不等式成立的充分不必条件，即选出不等式的解集的一个非空真子集即可.根据选项则B选项满足.故选：B. 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法和充分条件的选择，考查学生理解新定义的能力，是一道中档题．二､多选题（共4小题，每小题4分，共计16分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.下列命题为真命题的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】ABC【解析】【分析】对于A：利用同向不等式相加，即可证明；对于B、C：利用不等式的可乘性可以证明；对于D：取特殊值即可否定结论.【详解】对于A：因为，所以.因为，利用同向不等式相加，则有.故A正确；对于B：因为，所以，所以，对两边同乘以，则有.故B正确；对于C：因为，所以.因为，所以.对两边同乘以，有，所以.故C正确；对于D：取，满足，但是，所以不成立.故D错误.故选：ABC10.若函数与的值域相同，但定义域不同，则称和是“同象函数”，已知函数，，则下列函数中与是“同象函数”的有（） A.，B.，C.，D.，【答案】ACD【解析】【分析】分别求出各个选项中函数的值域，从而判断是否符合与的值域相同，但定义域不同，从而判断符合“同象函数”.【详解】因为函数，，所以其定义域为，值域为；对于选项A，，，其定义域为，值域为，是“同象函数”；对于选项B，，，其定义域为，值域为，不“同象函数”；对于选项C，，，其定义域为，值域为，是“同象函数”；对于选项D，，，其定义域为，值域为，是“同象函数”.故选：ACD11.已知函数，则（）A.B.C.的最小值为D.的图象与轴只有1个交点【答案】AD【解析】【分析】利用换元法求出的解析式，然后逐一判断即可. 【详解】令，得，则，得，故，，，A正确，B错误.，所以在上单调递增，，的图象与轴只有1个交点，C错误，D正确.故选：AD12.已知a，b为正实数，且，则（）A.ab的最大值为8B.的最小值为8C.的最小值为D.的最小值为【答案】ABC【解析】【分析】对条件进行变形，利用不等式的基本性质对选项一一分析即可.【详解】因为，当且仅当时取等号，解不等式得，即，故的最大值为8，A正确；由得，所以，当且仅当，即时取等号，此时取得最小值8，B正确；，当且仅当，即时取等号，C正确；，当且仅当时取等号，此时取得最小值，D错误． 故选：ABC．三､填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案写在答题卡中的横线上）13.已知集合，，若，则_______.【答案】1【解析】【分析】由于，则，解方程组可得，进而可得答案．【详解】因为，，所以，解得，即.故答案为：14.已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________．【答案】【解析】【分析】直接解不等式可得.【详解】由解得，所以函数的定义域为.故答案为：15.“，”是假命题，则实数的取值范围为___________.【答案】【解析】【分析】根据题意可得：“，”是真命题，结合一元二次不等式在实数集上的恒成立问题理解运算，注意分类讨论和.【详解】由题意可得：“，”是真命题当时，则符合题意 ∴成立当时，则，解得综上所述：实数的取值范围为故答案为：.16.已知函数，若存在互不相等的实数满足，且，则___________；的取值范围为___________.【答案】①.②.【解析】【分析】数形结合，根据，关于对称，必有，，且需满足，解不等式即可求出范围，进而求出范围即可.【详解】画出函数图象，因为，根据，关于对称，且，则.又，因为存在互不相等的实数满足则，当时，故可解得，所以. 故答案为：6；四､解答题：本大题共6小题，共56分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.17.已知，.（1）求，，的值；（2）求，值域.【答案】（1）；；（2）的值域为；的值域为.【解析】【分析】（1）将数值代入对应方程即可；（2）利用不等式的性质，从有的某部分范围求出对应函数的范围，得出值域即可.【小问1详解】，，【小问2详解】由，即，所以的值域为；对于，，即，所以的值域为. 18.已知集合，.（1）若时，求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先解分式不等式得集合A，再根据交集定义运算即得；（2）由题可得，然后分，讨论结合条件即得.【小问1详解】由，可得，解得，所以集合，又时，可得，所以；【小问2详解】由，可得，当时，，即时，此时，满足；当时，则，解得，综上可得，实数的取值范围是.19.已知函数.（1）若，解不等式；（2）解关于x的不等式.【答案】（1）；（2）答案见解析.【解析】 【分析】（1）由抛物线开口向上，且其两个零点为，，可得不等式的解集.（2）由对应的二次方程的判别式，其两根为，.讨论时，时，时，其两根的大小，由此可得不等式的解集.【详解】解：（1）当时，不等式可化为，又由，得，.因为抛物线开口向上，且其两个零点为，，所以不等式的解集为.（2）对于二次函数，其对应的二次方程的判别式，其两根为，.当，即时，不等式的解集为；当，即时，不等式的解集为；当，即时，不等式的解集为；综上，时，不等式的解集为；时，不等式无解；时，不等式的解集为.20.请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面问题（2）中，若问题（2）中的实数存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.已知集合.（1）求集合；（2）若是成立的______条件，判断实数是否存在？【答案】（1）（2）答案见解析【解析】 【分析】（1）求解不等式即可求出集合；（2）若选择条件①，则集合A是集合的真子集，列出不等式即可求出；若选择条件②，则集合是集合A的真子集，列出不等式即可求出；若选择条件③，则集合A等于集合，列出方程组即可求解.【小问1详解】由得，故集合，由得，因为，故集合；【小问2详解】若选择条件①，即是成立的充分不必要条件，集合A是集合的真子集，则有，解得，所以，实数的取值范围是．若选择条件②，即是成立的必要不充分条件，集合是集合A的真子集，则有，解得，所以，实数的取值范围是．若选择条件③，即是成立的充要条件，则集合A等于集合，则有，方程组无解，所以，不存在满足条件的实数21.若市财政下拨专款百万元，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金（单位：百万元）的函数（单位：百万元）：，处理污染项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金（单位：百万元）的函数（单位：百万元）：．（1）设分配给植绿护绿项目的资金为（单位：百万元），两个生态项目五年内带来的生态收益总和为（单位：百万元），试将表示成关于的函数； （2）试求出最大值，并求出此时对两个生态项目的投资分别为多少．【答案】（1）（2）当分配给植绿护绿项目百万元，处理污染项目百万元时，取得最大值【解析】【分析】（1）分别确定，加和即可得到关于的函数关系式；（2）将函数配凑为，利用基本不等式即可求得最大值，并根据取等条件得到两个项目分配的资金.【小问1详解】若分配给植绿护绿项目的资金为百万元，则分配给处理污染项目的资金为百万元，.【小问2详解】由（1）得：（当且仅当，即时取等号），当分配给植绿护绿项目百万元，处理污染项目百万元时，取得最大值.22.已知二次函数，（1）已知是正实数，且，求证：；（2）若对任意，不等式恒成立，求的最大值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由，利用柯西不等式可直接证得结论； （2）由一元二次不等式恒成立可构造不等式组求得，，并求得；将所求式子化为，设，分别在和的情况下，结合基本不等式可求得最大值.【小问1详解】由得：，，由柯西不等式得：（当且仅当时取等号），则.【小问2详解】由得：，，则，；，又，，则，令，则，设，当时，；当时，（当且仅当 时取等号），的最大值为.