四川省巴中市南江中学2022-2023学年高三数学（文）上学期12月月考试题（Word版含解析）

2022-2023学年高三上学期12月阶段考试数学（文）试题一、选择题；本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，其中为自然对数的底数，则子集的个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【解析】【分析】首先判断直线为曲线的切线，再结合集合含义，得出只有一个元素，从而求解.【详解】由题知，，在点处的切线斜率为，则在处的切线方程为.因直线与曲线相切于点，有且只有这一个公共点，故中有且只有一个元素，所以的子集个数为2个．故选:B．2.已知复数z满足，则等于（）A.－1B.0C.1D.2【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法运算可求得，再结合的周期性运算求解.【详解】由题意可得：，可得：，则故．故选：B．3.通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表： 男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110由附表：0．0500．0100．0013．8416．63510．828参照附表，得到的正确结论是（）A.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C.在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D.在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”【答案】A【解析】【详解】由，而，故由独立性检验的意义可知选A4.已知双曲线C：的一条渐近线与直线l：垂直，则双曲线C的离心率为（）A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】【分析】先由两直线垂直得到渐近线斜率，则根据，即得离心率的值.【详解】与直线l：垂直的双曲线C：的渐近线方程为 ，故，则双曲线的离心率．故选:．5.已知，则的最小值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】根据对数运算可求得，再用基本不等式即可求得最小值.【详解】由已知得，.因为，所以.故.当且仅当，即时等号成立.所以，的最小值为3.故选：C．6.等于（）A.B.C.－1D.1【答案】B【解析】【分析】先由对数加法运算律得到真数位置相乘,应用二倍角公式,由特殊角三角函数值结合对数运算得到结果.【详解】． 故选:．7.如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的体积之比为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】设球的半径为R，根据球与圆柱的体积公式计算即可【详解】设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高．则球的体积，圆柱的体积，∴.故选：B．8.把棱长为4cm正方体表面涂上红色，再将它分割成棱长为1cm的小正方体，在这些小正方体中随机任取一个，则六个面都没有红颜色的小正方体的概率为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据总的小立方体的个数64,及没有涂色的小正方体的个数,再根据古典概型得出概率.【详解】由已知，共得到64个小立方体，其中六个面均没有涂红色的小立方体共8个，所求的概率为．故选:9.已知向量，满足，与的夹角为，且实数x、y满足，则的最大值为（）A.1B.2C.3D.4 【答案】B【解析】【分析】根据题意结合数量积定义和数量积的运算律整理可得，再利用不等式运算求解.【详解】由题意可得：，∵，则，即，∴，又∵，当且仅当时等号成立，即，整理得：，则，∴当时，的最大值为2．故选：B．10.已知，用表示，中的最大者，记为：．当，，时，函数的最小值为（）A.0B.1C.2D.4【答案】B【解析】【分析】由二次不等式的解法结合指数函数单调性求，再根据复合函数单调性判断的单调性，进而确定最值.【详解】若，则；若，则或.∵在R上单调递增，则有：当时，则，即；当或时，则，即； 综上所述：对于，则有：当时，则在R上单调递增，在上单调递减，∴在上单调递减，且，则；当时，则在R上单调递增，在上单调递增，∴在上单调递增，则；当时，则在R上单调递增，在上单调递增，∴在上单调递增，且，则；综上所述：当时，有最小值.故选：B.11.已知实数和满足，．则下列关系式中正确的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由已知条件指对数转化得到的值,再根据基本不等式得到BCD错误,A正确.【详解】由已知，，故且，，对于A,，故A成立．对于B,,故B错误.对于C,,故C错误.对于D,,故D错误故选:A.12.已知点A为曲线上的动点，点B在圆上，则点A和B的距离最小值为（）A.1B.2C.3D.4 【答案】B【解析】【分析】根据题意可求恒成立，圆上点的纵坐标最大为2，则可知图象上的点与圆上点的距离.又图象上存在到圆上点的距离.所以，点A和B的距离最小值为2.【详解】由知，，而，当且仅当，且时，即时取等号．故时，函数的最小值为4．所以图象上的最低点为.圆的方程可化为，圆心为，半径为1，圆的最高点为.所以，上点的纵坐标最小为4，圆上点的纵坐标最大为2，所以，图象上的点与圆上点的距离.又如图取，，此时.所以，点A和B的距离最小值为2.故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若将正整数集中的偶数从小到大排列，它的前n项和为，则的前2023项的和为_____________． 【答案】【解析】【分析】根据等差数列求和公式求得，再利用裂项相消法求和.【详解】由题意可得：，则，故．故答案为：.14.若变量满足则的最大值是____________.【答案】10【解析】【详解】由约束条件作出可行域如图，∵，，∴，联立x+y=22x-3y=9，解得，∵，∴的最大值是10，故答案为10.点睛：本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题；由约束条件作出可行域，然后结合的几何意义，即可行域内的动点与原点距离的平方求得的最大值.15.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：T）和年利润z（单位：千元）的影响．对近10年的年宣传费 和年销售量的数据作了初步处理，得到y关于x的回归方程．且这种产品的年利润z与x、y的关系为；则年宣传费x为_____________时年利润的预报值最大．【答案】46.24（千元）【解析】【分析】利用回归直线方程以及z与x、y的关系即可求解.【详解】由已知，且，故，当，即时，z有最大值66.36．故答案为：46.24（千元）16.已知抛物线C：的焦点为F，点N是抛物线C的对称轴与它的准线的交点，点M是抛物线上的任意一点，则的最大值为_____________．【答案】【解析】【分析】首先利用抛物线定义，将转化为，然后通过三角函数分析，去求抛物线的切线方程，从而求解最小值.【详解】如图所示，过作准线的垂线，垂足记为.由已知得，，根据抛物线的定义知，点M到焦点F的距离等于点M到准线的距离．故．在直角△MNH中，表示的倒数， 故求的最大值转化为求的最小值，此时，也最小值．而的最小值就是曲线在点M处切线过N点时的斜率．由得，故曲线在点处的方程为：．而点在此切线上，故有，则，取，此时切线斜率为：．故切线的倾斜角为45°，即．∴，故所求的最大值为．故答案为：三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.已知等比数列的前n项和为，且对，恒成立，，．（1）求数列的通项公式及前n项和；（2）设，求证：．【答案】（1），，（）；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）根据题意解出、，再利用等比数列通项公式以及求和公式即可.（2）首先求出，再利用裂项相消求和，结合的范围即可证明.【小问1详解】设等比数列的首项为，公比为q，由，，则，故． 由得，解得∴，．（）【小问2详解】由（1）可知，，故∵，，则∴．故命题得证.18.已知．（1）求的最小正周期和最大值；（2）在△ABC中，三个内角满足，角A满足，，ABC的面积为，求证：ABC是直角三角形．【答案】（1）最小正周期为，最大值为3；（2）证明见解析．【解析】【分析】(1)由二倍角公式和辅助角公式把函数化简为，应用周期公式和值域性质即可得解.（2）先有结合（1）得到角，再由面积公式计算得到，再应用余弦定理得到，由勾股定理得证.【小问1详解】由已知得 故的最小正周期为，最大值为3．【小问2详解】在ABC中由知：A为锐角，即，且，由知．由知．故，即．，由ABC的面积为，则，故．由余弦定理，得，故，则．∵，，∴，∴∵∴，故ABC是以B为直角的直角三角形．19.已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，为底面的边的中点，且平面．（1）设为上底面的重心，试在平面内作出过点与平面平行的直线，并说明理由；（2）证明：（1）中的直线平面．【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据线面平行的判定定理分析证明；（2）根据线面垂直的判定定理分析证明.【小问1详解】证明：在平面内，过作与平行的直线，交、于、两点，则平面，理由如下：在三棱柱中，，，则，因为平面，平面，平面．【小问2详解】证明：在底面正三角形中，为的中点，则．∵平面，平面，则．因为，平面，∴平面．又∵，∴平面．20.若的图象过点，且在点P处的切线方程为．（1）求a、b、c的值；（2）设，求证：．【答案】（1），，（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，根据题意结合导数的几何意义列式运算求解；（2）构建新函数，，利用导数判断原函数单调性及最值证明.【小问1详解】 ，则，由题意可得：，解得.【小问2详解】由（1）可知：，，设，则，∵，令，则，当时，，因此在内为减函数，当时，，因此在内为增函数，故当时，有极小值，也就是的最小值为．∵，可得，∴．设，则，当时，则，，因此在上为减函数，∵，则，即，∴．综上所述：当时，有．【点睛】利用导数证明不等式的基本步骤：(1)作差或变形；(2)构造新的函数h(x)；(3)利用导数研究h(x)单调性或最值；(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两 个函数的最值问题．21.已知点E、F的坐标分别为、，直线EP和FP相交于点P，且它们的斜率之积为．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过定点任作一条与两坐标轴都不垂直的直线与轨迹C相交于A、B两点，求证；在x轴上存在一个定点M，使得MG为的一条内角平分线，并求点M的坐标．（3）设过点M与x轴垂直的直线为l，轨迹C上任一点N到点G的距离与点N到直线l的距离之比是否是定值？若为定值，求出这个定值；若不是定值，说明理由．【答案】（1）；（2）证明见解析；；（3）是定值．【解析】【分析】（1）由斜率公式列式求解，（2）由题意得，设出直线方程，与椭圆方程联立后由韦达定理化简后求解，（3）设点坐标，由距离公式与椭圆方程化简求解，【小问1详解】设点，由已知得：，∴，即①故P的轨迹方程为【小问2详解】设过点的直线方程为②把②代入①，整理得：，设，，则、是方程的两实根， 由韦达定理得，，设，由已知直线AM的斜率与直线BM的斜率之和为0，故，即，∴，则．代入得：．故，即．【小问3详解】设在椭圆上，则，则点N到直线：的距离为．点N到的距离为故点N到的距离与点N到直线l：的距离之比为，是定值．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22.已知曲线C：和直线l：（t为参数）．（1）求曲线C的参数方程和直线l的普通方程；（2）过曲线C上任意一点P作与直线l夹角为30°的直线，交l于点A，求的最大值与最小值．【答案】（1）曲线C的参数方程为（为参数）；直线l的普通方程为； （2）最大值为，最小值为．【解析】【分析】（1）令，即可得到椭圆的参数方程；消去，即可得到直线的普通方程；（2）根据参数方程，表示出点到直线的距离，再表示出，根据辅助角公式，即可求出的最值.【小问1详解】令，可得曲线C的参数方程为（为参数）．根据消去可得，直线l的普通方程为．【小问2详解】曲线C上任意一点到直线l：的距离为，其中，且为锐角．过点作，垂足为，则，.在中，，其中，且 为锐角．当时，取得最大值为．当时，取得最小值为．23.（1）已知，若时不等式成立，求a的取值范围；（2）已知，，且，求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）当时，原不等式可化为，去绝对值为.分、、讨论即可求得a的取值范围；（2），根据基本不等式可得到，即可证得．【详解】（1）当时，，等价于，故，即，当时，．若，成立，即在恒成立，只需即可，所以有，故；当时，由可得，这与矛盾，此时无解；当时，可化为，显然该式不成立，即不等式不成立．综上，a的取值范围为．（2）由，，，知，当且仅当，且时，即时等号成立. 所以，，又，所以．∵，∴，即．∴．