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安徽省六安市金安区名校2023届高三数学上学期12月第四次月考试卷(Word版含答案)
安徽省六安市金安区名校2023届高三数学上学期12月第四次月考试卷(Word版含答案)
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六安市金安区名校2022-2023学年高三上学期12月第四次月考数学试卷时间:120分钟满分:150分一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足(为虚数单位),是的共轭复数,则复数在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知空间中的两个不同的平面,直线平面,则“”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.一个水平放置的平面图形,用斜二测画法画出了它的直观图,如图所示,此直观图恰好是一个边长为2的正方形,则原平面图形的面积为( )A.B.C.8D.4.如图,已知是正方体,以下结论错误的是( )A.向量与向量的夹角为60°B.C.D.若,则点是的中心5.若不等式的解集为区间,且,则( )A.B.C.D.26.过点作圆的切线,直线与切线平行,则切线与直线间的距离为( )A.B.2C.4D.7.如图,已知平面,,是直线上的两点,是平面内的两点,且.是平面上的一动点,且直线与平面所成角相等,则四棱锥体积的最大值为( )A.B.C. D.8.在正四棱台中,,当该正四棱台的体积最大时,则其外接球的表面积为()A.B.C.D.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.以下四个命题表述正确的是( )A.若直线l的斜率为,则直线l的倾斜角为B.三棱锥中,分别为的中点,,则平面将该三棱锥所分的两部分几何体的体积之比为1:5,即C.若直线l过点且在两坐标轴上的截距之和为0,则直线l的方程为D.在四面体中,若,则10.在三棱锥中,已知底面ABC,分别是线段上的动点.则下列说法正确的是( )A.当时,B.当时,一定为直角三角形C.当时,平面平面D.当平面AEF时,平面与平面不可能垂直11.已知正方体的棱长为2,为线段的中点,,其中,,则下列选项正确的是( )A.当时,三棱锥的体积为定值B.当时,的最小值为C.当时,直线与平面的交点轨迹长度为D.当时,点到平面的距离为12.若实数满足,则下列说法正确的是()A.的最小值是0B.的最大值是5C.若关于的方程有一解,则的取值范围为D.若关于的方程有两解,则的取值范围为三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. 13.若直线与圆分别交于M、N两点.则弦MN长的最小值为.14.在四面体中,,且异面直线与所成的角为60,分别是棱的中点,则线段MN的长为.15.已知的一条内角平分线所在的直线方程为,两个顶点坐标分别为,则边所在的直线方程为.(结果用一般式表示)16.已知数列满足:,若,则数列的前20项和.四、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17、(本小题满分10分)如图,四边形是圆柱的轴截面,点在圆柱的底面圆周上,是的中点,圆柱的底面圆的半径,侧面积为,.(1)求证:;(2)求直线与平面所成角的正弦值.18、(本小题满分12分)如图,为内的一点,记为,记为,且、在中的对边分别记为.(1)求;(2)若,求线段和的长.19、(本小题满分12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知圆及点 .(1)若直线过点,与圆相交于两点,且,求直线l的方程;(2)圆上是否存在点,使得成立?若存在,求点的个数;若不存在,请说明理由.20、(本小题满分12分)已知数列的前n项和为,且.(1)求证:数列是等差数列,并求出数列的通项公式;(2)设,求证:.21、(本小题满分12分)在①,②,③,这三个条件中选择一个,补充在下面问题中,并给出解答.如图,在五面体中,已知,,且.(1)设平面与平面的交线为,证明:平面;(2)求证:平面平面;(3)线段上是否存在一点,使得平面与平面夹角的余弦值等于,若存在,求的值;若不存在,请说明理由.22、(本小题满分12分)已知函数.(1)求函数在处的切线方程;(2)若与的图象有公共点.(i)当时,求的取值范围; (ii)求证:. 六安市金安区名校2022-2023学年高三上学期12月第四次月考数学参考答案一.选择题123456789101112CBDACABDBDACDABDAB二.填空题13、414、1或15、16、17、证明:(1)由题意可知,解得.................1分在中,所以,又因为是的中点,所以因为是圆的直径,所以,由已知得,平面所以,所以平面,..................3分从而平面,证得.........................5分(2)过作,则面.............................6分连接,则就是直线与平面所成的角.................7分,..........................9分.......................10分18、解:(1)由题知,.................4分,...................6分(2)在中,由余弦定理得知:.................8分又,且..........................9分又,......................10分在中,....................12分19、解:(1)若的斜率不存在时,,此时符合要求...............2分当的斜率存在时,设的斜率为,则令 ,.....................4分......................5分所以直线的方程为或........................6分(2)假设圆上存在点,设,则,,.....................8分即,即,.........................9分,......................10分与相交,则点有两个.......................12分20、(1)证明:令,得...............1分所以时,①②①-②得,即................3分所以,,因为,所以数列是以1为首项为公差的等差数列.....................5分所以,所以.........................6分(2)由................8分所以....................10分因为,所以,得证...........12分21、证明:(1),平面....................1分又平面且平面平面,............2分 又平面,平面,平面..............3分(2)若选①,取中点,中点中点,连接,,,四边形为平行四边形,,,又,,,,又,,又,,平面,平面,平面,平面平面,,,又平面,平面平面,平面,又,,;...............5分若选②,,,,平面,平面,平面,平面平面,取中点,中点,连接,,,又平面,平面平面,平面,又,,;...............5分若选③,取中点,中点,连接,,,又,;分别为中点,,又,,四边形为平行四边形,;,,,,,,,,,又,,又,,平面,平面,平面,平面平面,又,平面,平面平面,平面,又,,;............5分综上所述:两两互相垂直.则以为坐标原点,为轴,可建立如图所示空间直角坐标系,则,,,,,平面,平面的一个法向量;....................6分 设平面的法向量,则,令,解得:,,,...................7分,即,平面与平面......................8分(3)设在线段上存在点,使得平面与平面夹角的余弦值等于,由(2)得:,,设平面的法向量,则,令,则,...................9分∵面的法向量为,化简得,∴方程无解....................11分线段以上不存在点F,使得平面AEF与平面ABF夹角的余弦值等于.......12分22、解:(1),故,..........1分而,曲线在点处的切线方程为,.......2分即..............3分(2)(i)当时,因为曲线和有公共点,故有解,设,故,故在上有解,设,故在上有零点,.......................4分而,若,则恒成立,此时在上无零点,..............5分若,则在上恒成立,故在上为增函数,...........6分而,,故在上无零点,故,设,则,故在上为增函数,而,,故在上存在唯一零点, 且时,;时,;故时,;时,;所以在上为减函数,在上为增函数,故,.................7分因为在上有零点,故,故,而,故即,设,则,故在上为增函数,而,故...............8分另解:令,所以,.当时,,即在上是单调递减的;当时,,即在上是单调递增的;因为,所以有,解得.(ii)因为曲线和有公共点,所以有解,其中,若,则,该式不成立,故.故,考虑直线,表示原点与直线上的动点之间的距离,故,所以,...........9分下证:对任意,总有,证明:当时,有,故成立.当时,即证,设,则(不恒为零),故在上为减函数,故即成立.综上,成立.............10分下证:当时,恒成立,,则,故在上为增函数,故即恒成立..............11分 下证:在上恒成立,即证:,即证:,即证:,而,故成立.故,即成立.....................12分第二问另证:方法一:柯西不等式:令交点横坐标为,则由柯西不等式:.即证:,因为,原命题得证.方法二:基本不等式:令交点横坐标为,则,则由基本不等式,因此有:,原命题得证.答案仅供参考,请各位老师按步骤给分!其它解法请酌情给分!
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高中 - 数学
发布时间:2023-02-22 10:06:02
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文章作者:随遇而安
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