河南省信阳市普通高中2022-2023学年高三数学（文）第二次教学质量检测试题（1月）（PDF版含答案）

２０２２－２０２３学年普通高中高三第二次教学质量检测数学文科参考答案一、选择题１．Ｂ２．Ｃ３．Ａ４．Ｃ５．Ｄ６．Ａ７．Ｃ８．Ｂ９．Ｂ１０．Ｄ１１．Ｃ１２．Ｃ二、填空题７２２１３．－２１４．（ｘ－２）＋ｙ＝２１５．１６．１０６２三、解答题３３１７．（１）因为ｂｃｏｓＡ＋ａ＝ｃ，由正弦定理可得ｓｉｎＢｃｏｓＡ＋ｓｉｎＡ＝ｓｉｎＣ，……２分２２３又ｓｉｎＣ＝ｓｉｎ（Ａ＋Ｂ）＝ｓｉｎＡｃｏｓＢ＋ｃｏｓＡｓｉｎＢ，所以ｓｉｎＡ＝ｓｉｎＡｃｏｓＢ，……………４分２３π因为Ａ∈（０，π），则ｓｉｎＡ＞０，所以ｃｏｓＢ＝，因为Ｂ∈（０，π），所以Ｂ＝…６分２６π（２）因为Ｂ＝，ｃ＝３，６２２ａ＋３－ｂ３２２由余弦定理可得ｃｏｓＢ＝＝，整理得ａ－ｂ＋３＝３ａ，………………９分２ａ×３２又ａ＋ｂ＝２，解得ａ＝ｂ＝１，１１１３所以Ｓ＝ａｃｓｉｎＢ＝×１×３×＝……………………………………１２分△ＡＢＣ２２２４６＋７＋８＋９＋１０１０＋１２＋１１＋１２＋２０１８．解：（１）由已知得ｘ＝＝８，ｙ＝＝１３，５５５５５２２∑（ｘ－ｘ）＝１０，∑（ｙ－ｙ）＝６４，∑（ｘ－ｘ）（ｙ－ｙ）＝２０，………………………４分ｉｉｉｉｉ＝１ｉ＝１ｉ＝１２０５１０所以ｒ＝＝＝≈０．７９１，１０×６４２１０４因为｜ｒ｜≈０．７９１∈［０．７５，１］，说明ｙ与ｘ的线性相关关系很强，可用线性回归模型拟合ｙ与ｘ的关系，…………………………………………………………………………………………６分∧＝∧ｂ∧设线性回归方程为ｙｘ＋ａ，∧２０∧∧∴ｂ＝＝２，ａ＝ｙ－ｂｘ＝１３－１６＝－３，１０高三文科数学答案第１页（共５页） ∧＝２ｘ－３；………………………………………７分则ｙ关于ｘ线性回归方程为ｙ（２）由题可得２×２列联表，喜欢不喜欢总计男７０３０１００……………………………９分女４０６０１００总计１１０９０２００２２００×（７０×６０－４０×３０）２Ｋ＝≈１８．１８２＞１０．８２８，１００×１００×１１０×９０∴有９９．９％的把握认为“游客是否喜欢该网红景点与性别有关联”．………１２分１９．解：（１）∵Ｓ＝２＋ａ＝２＋（Ｓ－Ｓ），∴２Ｓ＝Ｓ＋２，………………………３分ｎｎ＋１ｎ＋１ｎｎｎ＋１Ｓ－２ｎ＋１∴Ｓ－２＝２（Ｓ－２），Ｓ－２＝１，＝２，故数列｛Ｓ－２｝为等比数列，首项是Ｓ－２ｎ＋１ｎ１ｎ１Ｓ－２ｎ＝１，公比为２．…………………………………………………………………………６分ｎ－１ｎ－１ｎ－１（２）由（１）可知Ｓ－２＝２，∴Ｓ＝２＋２，ａ＝Ｓ－２＝２，…………………８分ｎｎｎ＋１ｎａｎｎ＋２２１１于是ｂ＝＝＝２（－），………１０分ｎ（ａ＋１）（２Ｓ－３）ｎ－１ｎｎ－１ｎｎ＋１ｎ（２＋１）（２＋１）２＋１２＋１１１２∴Ｔ＝２（－）＝１－＜１．……………………………………………１２分ｎｎｎ２２＋１２＋１ｃ３２０．解：（１）由题意得ａ＝２，ｅ＝＝，ａ２２２２所以ｃ＝３，ｂ＝ａ－ｃ＝１，２ｘ２所以椭圆Ｃ的方程为＋ｙ＝１．………………………………………………３分４（２）（ⅰ）证明：设Ｐ（ｘ，ｙ），００２ｘ０２因为Ｐ在椭圆Ｃ上，所以＋ｙ＝１．０４ｙｙ００因为ｋ＝，ｋ＝，ＡＰＢＰｘ＋２ｘ－２００ｙ０所以直线ＢＰ的方程为ｙ＝（ｘ－２）．………………………………………５分ｘ－２０－８ｙ０所以Ｎ点的坐标为Ｎ（－６，）．ｘ－２０－８ｙ０ｘ－２２ｙ００∴ｋ＝＝．ＡＮ－６＋２ｘ－２０高三文科数学答案第２页（共５页） ２ｘ０２２（１－）ｙ０２ｙ０２ｙ０４１∴ｋ·ｋ＝·＝＝＝－．……………………………７分ＡＰＡＮ＋２－２２２ｘ０ｘ０ｘ０－４ｘ０－４２（ⅱ）Ｍ，Ｂ，Ｑ三点共线．设ｋ＝ｋ，易得Ｍ（－６，－４ｋ）．ＡＰ１１由（ⅰ）ｋ＝－，所以直线ＡＮ的方程为ｙ＝－（ｘ＋２）．……………………８分ＡＮ２ｋ２ｋ２２ｘ＋４ｙ－４＝０，２２联立{可得（４＋４ｋ）ｙ＋８ｋｙ＝０．ｘ＝－２ｋｙ－２，－２ｋ解得Ｑ点的纵坐标为，２１＋ｋ２２ｋ－２－２ｋ所以Ｑ点的坐标为Ｑ（，）．………………………………………１０分２２１＋ｋ１＋ｋ－２ｋ－０２１＋ｋｋ－４ｋ－０ｋ所以，ｋ＝＝，ｋ＝＝．ＢＱ２ＢＭ－６－２２ｋ－２２２－２２１＋ｋ由于ｋ＝ｋＢＱＢＭ所以Ｍ，Ｂ，Ｑ三点共线．………………………………………………………１２分２１．解：（１）ｆ（ｘ）的定义域为（０，＋∞），由已知可得ａａ－１（ｘ＋１）（ｘ－ａ）ｆ′（ｘ）＝１－－＝（ｘ＞０）．２２ｘｘｘ①若ａ≤０，则当ｘ∈（０，＋∞）时，ｆ′（ｘ）＞０恒成立，∴ｆ（ｘ）在（０，＋∞）上单调递增，与ｆ（ｘ）存在极值点矛盾，……………………２分②若ａ＞０，则由ｆ′（ｘ）＝０得ｘ＝ａ，∴当ｘ∈（０，ａ）时，ｆ′（ｘ）＜０，当ｘ∈（ａ，＋∞）时，ｆ′（ｘ）＞０，∴ｆ（ｘ）在（０，ａ）内单调递减，在（ａ，＋∞）上单调递增，∴ｆ（ａ）＝ｆ（ｘ）＝ａ＋１－（ａ－ｍｉｎ１）ｌｎａ－２＝（ａ－１）（１－ｌｎａ）＝０，∴ａ＝１或ａ＝ｅ．…………………………………………………………………４分２２（２）①当ａ≤１时，ｆ′（ｘ）≥０在［１，ｅ］上恒成立，∴ｆ（ｘ）在［１，ｅ］上单调递增．ａａ１２２２２２∵ｆ（１）＝ａ－１≤０，ｆ（ｅ）＝ｅ＋－２ａ，当ａ≤０时，ｆ（ｅ）＝ｅ＋－２ａ＝ｅ＋ａ（－２）＞２２２ｅｅｅ０；ａ２２２当０＜ａ≤１时，ｆ（ｅ）＝ｅ＋－２ａ＞２ａ－２ａ＝２ａ（１－ａ）≥０．∴ｆ（ｅ）＞０．２ｅ２∴ｆ（ｘ）在［１，ｅ］上有１个零点；………………………………………………６分高三文科数学答案第３页（共５页） ２②当１＜ａ＜ｅ时，２∵当ｘ∈［１，ａ）时，ｆ′（ｘ）＜０；当ｘ∈（ａ，ｅ］时，ｆ′（ｘ）＞０，２∴ｆ（ｘ）在［１，ａ）上单调递减，在（ａ，ｅ］上单调递增，∴ｆ（ｘ）＝ｆ（ａ）＝（ａ－１）（１－ｌｎａ）．ｍｉｎ２当ａ＝ｅ时，ｆ（ｘ）＝０，此时ｆ（ｘ）在［１，ｅ］上有１个零点；ｍｉｎ２当１＜ａ＜ｅ时，ｆ（ｘ）＞０，此时ｆ（ｘ）在［１，ｅ］上无零点；ｍｉｎ４ａｅ２２２２当ｅ＜ａ＜ｅ时，ｆ（ｘ）＜０，ｆ（１）＝ａ－１＞０．则当ｆ（ｅ）＝ｅ＋－２ａ＜０，即＜ａ＜ｅｍｉｎ２２ｅ２ｅ－１２时，ｆ（ｘ）在［１，ｅ］上有１个零点；…………………………………………………８分４ａｅ２２２当ｆ（ｅ）＝ｅ＋－２ａ≥０，即ｅ＜ａ≤时，ｆ（ｘ）在［１，ｅ］上有２个零点；………２２ｅ２ｅ－１……………………………………………………………………………………９分２２２③当ａ≥ｅ时，ｆ′（ｘ）≤０在［１，ｅ］上恒成立，ｆ（ｘ）在［１，ｅ］上单调递减．１１２２２２２２∵ｆ（１）＝ａ－１＞０，ｆ（ｅ）＝ｅ＋（－２）ａ≤ｅ＋（－２）ｅ＝－ｅ＋１＜０，∴ｆ（ｘ）在［１，ｅ］２２ｅｅ上有１个零点，……………………………………………………………………１１分２综上，当１＜ａ＜ｅ时，ｆ（ｘ）在［１，ｅ］上无零点；４ｅ２当ａ≤１或ａ＝ｅ或ａ＞时，ｆ（ｘ）在［１，ｅ］上有１个零点；２２ｅ－１４ｅ２当ｅ＜ａ≤时，ｆ（ｘ）在［１，ｅ］上有２个零点．……………………………１２分２２ｅ－１ｘ＝３＋２２ｃｏｓα２２．解：（１）∵曲线Ｃ的参数方程为：{（α为参数），ｙ＝２２ｓｉｎα２２∴消去参数α可得，（ｘ－３）＋ｙ＝８，…………………………………………２分π∵点Ｐ的极坐标为（２，），且ｘ＝ρｃｏｓθ，ｙ＝ρｓｉｍθ，３∴点Ｐ的直角坐标为Ｐ（１，３），………………………………………………４分２２将Ｐ（１，３）代入曲线Ｃ的普通方程的左边得（１－３）＋（３）＝７＜８，故Ｐ在曲线Ｃ内部．……………………………………………………………５分π（２）∵直线ｌ∶θ＝的极坐标方程对应的普通方程为：ｙ＝３ｘ，∴Ｐ（１，３）在直３线上，ìï１ｘ＝１＋ｔïï２故可设直线ｌ的参数方程为í（ｔ为参数），与曲线Ｃ的普通方程ï３ïïｙ＝３＋ｔî２高三文科数学答案第４页（共５页） ２２２（ｘ－３）＋ｙ＝８联立，化简整理可得，ｔ＋ｔ－１＝０，Δ＝５＞０，设两根为ｔ，ｔ，１２ｔ＋ｔ＝－１１２由韦达定理可得，{，ｔｔ＝－１１２２１１１１（ｔ１＋ｔ２）－４ｔ１ｔ２故＋＝＋＝＝５．…………………………１０分｜ＰＭ｜｜ＰＮ｜｜ｔ｜｜ｔ｜｜ｔｔ｜１２１２注意：本题用圆的极坐标方程来解同样给分！３４ａａ４ａａ４２３．（１）解：因为ａ＋＝＋＋≥３××＝３，当且仅当“ａ＝２”时等号成２２２ａ２２ａ２２ａ立，４所以当ａ＝２时，ａ＋的最小值为３．…………………………………………５分２ａｂｃａｃｂｃａｃａｃａｂｂｃａｂ（２）证明：因为＋≥２·＝２ｃ，同理＋≥２ａ，＋≥２ｂ，………８分ａｂａｂｂｃａｃｂｃａｃａｂ所以三式相加得２（＋＋）≥２（ａ＋ｂ＋ｃ），ａｂｃｂｃａｃａｂ所以＋＋≥ａ＋ｂ＋ｃ，当且仅当“ａ＝ｂ＝ｃ”时等号成立．…………………１０分ａｂｃ高三文科数学答案第５页（共５页）