湖北省三校2023届高三数学上学期12月联考试卷（Word版含答案）

东风高中、天门中学、仙桃中学2023届高三12月考试高三数学试题考试时间：2020年12月16日下午15：00-17：00试卷满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集，集合，则如图中阴影部分表示的集合为（）A．B．C．D．2．己知复数的实部与虚部的和为12，则（）A．3B．4C．5D．63．己知所在平面内的一点P满足，则点P必在（）A．的外面B．的内部C．边上D．边上4．已知的展开式中的系数为40，则m的值为（）A．B．C．1D．25．如图，圆内接四边形中，现将该四边形沿旋转一周，则旋转形成的几何体的体积为（）A．B．C．D．6．设，则a，b，c的大小关系正确的是（） A．B．C．D．7．已知，则（）A．B．C．D．8．定义在上的偶函数满足，当时，，则（）A．B．C．D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．对于变量x和变量y，通过随机抽样获得10个样本数据，变量x和变量y具有较强的线性相关并利用最小二乘法获得回归方程为，且样本中心点为，则下列说法正确的是（）．A．变量x和变量y呈正相关B．变量x和变量y的相关系数C．D．样本数据比的残差绝对值大10．已知函数的部分图象如图（1）所示，函数的部分图象如图（2）所示，下列说法正确的是（） A．函数的周期为B．函数的图象关于直线对称C．函数在区间上有4个零点D．将函数的图像向左平移可使其图像与图像重合11．如图，在直三棱柱中，是直角三角形，且，E为的中点，点F是棱上的动点，点P是线段上的动点，则下列结论正确的是（）A．异面直线与所成角的余弦值是B．三棱柱的外接球的球面积是C．当点P是线段中点时，三棱锥的体积是D．的最小值是12．设函数，则下列命题中正确的是（） A．若方程有四个不同的实根，则的取值范围是B．若方程有四个不同的实根，则的取值范围是C．若方程有四个不同的实根，则a的取值范围是D．方程的不同实根的个数只能是1，2，3，6三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知为单位向量，，则的夹角为___________．14．某校安排5名同学去A，B，C，D四个爱国主义教育基地学习，每人去一个基地，每个基地至少安排一人，则甲同学被安排到A基地的排法总数为____________．15．已知事件A和B是互斥事件，，则_________．16．已知，则实数的取值范围为_________________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．（1）求的值（2）若，求的面积18．（12分）已知函数，其中，若的图象在点处的切线方程为．（1）求函数的解析式；（2）求函数在区间上的最值．19．（12分）设等差数列的前n项和为，已知，且是与的等比中项，数列的前n项和． （1）求数列的通项公式；（2）若，对任意总有恒成立，求实数的最小值．20．（12分）如图，在三棱柱中，平面，D为线段的中点，，，．（1）证明：；（2）若三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值．21．（12分）移动支付（支付宝及微信支付）己经渐渐成为人们购物消费的一种支付方式，为调查市民使用移动支付的年龄结构，随机对100位市民做问卷调查得到列联表如下：35岁以下（含35岁）35岁以上合计使用移动支付402060不使用移动支付103040合计5050100（1）按年龄35岁以下（含35岁）是否使用移动支付的人群中采用分层抽样的方式抽取10人做进一步的问卷调查，从这10人随机中选出3人颁发参与奖励，设使用移动支付的人数为X，求X的分布列及期望，（2）用这100位市民使用移动支付的频率代替全市市民使用移动支付的概率，从全市随机中选出10人，则使用移动支付的人数最有可能为多少？22．（12分）已知函数（a为常数）．（1）若函数在定义域上单调递增，求a的取值范围；（2）若存在两个极值点，且，求的取值范围． 东风高中、天门中学、仙桃中学2023届高三12月考试数学试题答案BCCBDBAC（9）BC（10）BCD（11）ACD（12）AD13．14．6015．16．17．（1）由正弦定理得，所以即即有，即所以（2）由（1）知，即，又因为，所以由余弦定理得：，即，解得，所以，又因为，所以，故的面积为18．（1）依题意，，切点在切线上，则，，而的图象在点处的切线斜率为，解得，所以函数的解析式为．（2）由（1）知，，由得或，当时，或，有，有，因此函数在上单调递增．在上单调递减，又 ，，所以在上的最大值为，最小值为．19．（1）设等差数列的公差为d，由得，因为是与的等比中项，所以．化简得且，解方程组得或．故的通项公式为或（其中）因为，所以，所以，因为，满足上式，所以；（2）因为，所以，所以，所以所以，易见随n的增大而增大，从而恒成立，所以，故的最小值为20．（1）证明：因为平面平面，所以，在三棱柱中，四边形为平行四边形，则，因为，所以，所以， 又因为平面平面，所以平面，又平面，所以．（2）解：由（1）得，，∵D为的中点，则，因为平面，，所以，因为平面，，以点B为坐标原点，所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则，取，可得，设平面的法向量为，则，取，可得，所以，，所以平面与平面夹角的余弦值为21．（1）根据分层抽样知使用移动支付的人数为8人，不使用移动支付的有2人，则X的可能值为1，2，3， ，分布列为X123P（2）从全市随机选出10人，设使用移动支付的人数为Y，则，且由,解得，因为，所以故使用移动支付的人数最有可能为6．22．（1）∵，∴，∵是定义域上的单调递增函数，∴在定义域上恒成立，即在上恒成立．即，令，则，当且仅当等号成立．∴实数a的取值范围为．（2）由（1）知，根据题意由有两个极值点，即方程有两个正根．所以， 不妨设，则在上是减函数，∴，∴，令，则，又，即，解得，∴．设，则，∴在上单调递增，∵，，∴，即，所以的取值范围为．