湖南省株洲市天元区名校2023届高三数学上学期12月月考（A）试卷（Word版含解析）

株洲市天元区名校2022-2023学年高三上学期12月月考数学试题（A）一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，，则　　A．B．C．D．2．若x为复数，则方程x4=1的解是（    ）A．l或B．i或﹣iC．1+i或1﹣iD．1或﹣1或i或﹣i3．正项等比数列{}中，若a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，那么公比q等于A．3B．3或－3C．9D．9或－94．下列命题为真命题的是A．，使得B．命题“，”的否定是“，”C．，函数都不是偶函数D．在中，“”是“”的充要条件5．已知函数的部分图象如图所示,A．B．C．D．6．一圆台的两底面半径分别为，高为，则该圆台外接球的表面积为（    ）A．B．C．D．7．已知函数，，若与 在公共点处的切线相同，则（    ）A．B．C．D．8．在中，，是的平分线，交于点，且，则的取值范围是A．B．C．D．二、选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．下列说法正确的是（    ）A．命题“”的否定是“”B．是命题成立的一个充分不必要条件C．“”是“”的必要而不充分条件；D．“关于的不等式对任意恒成立”的充要条件是“”10．已知，，，下列说法中正确的是（    ）A．B．C．D．11．如图所示，在棱长为1的正方体中，M为的中点，点Р在侧面所在平面上运动，则下列命题正确的是（    ）A．当点P为的中点时， B．当点Р在棱上运动时，的最小值为C．若点Р到直线BC与直线的距离相等，则动点Р的轨迹为抛物线D．若点Р使得，的面积为定值，则动点P的轨迹是圆12．设，下列结论正确的是（　　）A．B．C．D．当时，除以的余数是1三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分13．将函数的图像和直线的所有交点从左到右依次记为，若点坐标为，则__________.14．_________.15．已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线在x轴上方的曲线上，则这种矩形中面积最大值为___________．16．已知随机变量的分布列如下表所示，当取最小值时，_________，_________．123四、解答题；本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．在中，．(1)求C；(2)若，的面积为6，求c的值． 18．在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是的中点.（1）证明：平面；（2）设是直线上的动点，当点到平面距离最大时，求面与面所成二面角的正弦值.19．已知函数（1）若是函数图像的一个对称中心，且，求函数在上的值域；（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围.20．已知数列的前n项和为，且Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ设，数列的前n项和为，求使不等式对一切都成立的最大正整数k的值；Ⅲ设是否存在，使得成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 21．（1）已知圆经过三点，，，求该圆的方程；（2）若一个圆过点，且与圆：相切于点，求此圆的方程.22．已知函数（，），.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若函数，，求的单调区间和最小值. 参考答案1．A解：由数轴可得，故选择A．本题考查集合的运算，基础题注意数形结合思想的应用.2．D方程x4=1可化为方程x4﹣1=0.对方程的左边直接运用平方差公式分解即可求得此方程的解.因为：x4﹣1=(x2+1)(x2﹣1)=(x+i)(x﹣i)(x﹣1)(x+1).所以x4﹣1=0即(x+i)(x﹣i)(x﹣1)(x+1)=0.解得x=1，﹣1，i，﹣i.即在复数集中，方程x4=1的解为1，﹣1，i，﹣i故选：D3．A因为为正项等比数列，所以其公比．由可得，所以，故选A4．D利用配方法可判断A选项的正误；利用全称命题的否定可判断B选项的正误；利用特殊值法可判断C选项的正误；根据正弦定理可判断出D选项的正误.综合可得出结论.，则，使得，选项A错误；命题“，”的否定是“，”，选项B错误；当时，函数是偶函数，选项C错误；在中，，则“”是“”的充要条件，选项D正确.故选：D. 5．B根据图像得到，然后根据图像得到周期，由，得到的值，然后代入点得到，根据的范围，确定其值，从而得到函数解析式，代入，得到答案.根据图像可得，，所以，而，所以代入点，得到即，所以，即因为所以所以代入得，故选B项.6．C设该圆台的外接球的球心为，半径为，根据圆台与球的结构特征，列出方程组求解，即可得出结果.设该圆台的外接球的球心为，半径为，则或，解得，所以该圆台的外接球的表面积为.故选：C.7．B 设曲线与的公共点为，根据题意可得出关于、的方程组，进而可求得实数的值.设函数，的公共点设为，则，即，解得，故选：B.8．A在中，，是的平分线，由角平分线性质可得，利用结合余弦定理化简可得，再代入的式子中消去，通过，化简整理得出，即可得到的取值范围.在中，，是的平分线，由角平分线的性质可得，，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，，化简得，即，而，故，.故选：A.9．BD全称量词命题的否定是存在量词命题，把任意改为存在，把结论否定，本题中还要注意 的取值范围；由根的判别式大于0求出或，得到B正确；C选项，举出反例得到“”是“”的既不充分也不必要条件，C错误；D选项，求出不等式对任意恒成立时的取值范围，得到D正确.命题“”的否定是“或”，故A错误；B选项，，即，解得：或，所以是成立的一个充分不必要条件，B正确；C选项，若，满足，但不满足，充分性不成立，若，满足，但不满足，必要性不成立，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，C错误；D选项，当时，满足要求，当时，需要满足，解得：，综上：不等式对任意恒成立的充要条件是，D正确.故选：BD10．BCA由基本不等式及指数的运算性质判断；B应用基本不等式“1”的代换判断；C由对数的运算性质及基本不等式判断；D由基本不等式判断即可.A：，当且仅当时等号成立，错误；B：，当且仅当时等号成立，正确；C：，当且仅当时等号成立，正确；D：，当且仅当时等号成立，错误；故选：BC11．AC 对于A项，过P作的垂线，垂足为N，证明，即可判断正误；对于B项，将平面与平面沿如图展开，即可求出的最小值，即可判断正误；对于C项，点P到直线的距离即P到点的距离，则点P到直线BC的距离等于它到点的距离，所以点P的轨迹是抛物线，即可判断正误；因为三角形面积为定值，以为底，则底边长一定，从而可得P到直线的距离为定值，分析可得，点P在以为轴线的圆柱面与平面的交线上，且与圆柱的轴线斜交，由平面与圆柱面的截面的性质判断，即可判断D选项.解：对于A项，过P作的垂线，垂足为N，，，所以，所以，故A正确；对于B项，将平面与平面沿如图展开，，故B错误；对于C项，点P到直线的距离即P到点的距离，则点P到直线BC的距离等于它到点的距离，所以点P的轨迹是抛物线，故C正确；因为三角形面积为定值，以为底，则底边长一定，从而可得P到直线的距离为定值，分析可得，点P在以为轴线的圆柱面与平面的交线上，且与圆柱的轴线斜交，由平面与圆柱面的截面的性质判断，可得P的轨迹为椭圆，D错误， 故选：AC.12．ACD在展开式中，令求得结论判断A，根据二项式定理求得，判断B，令，换元后，对求导后，再令所得结论判断C，，代入后，展开后，应用整数知识可得余数从而判断D．在展开式中令，即得，A正确；，所以，，，B错；令，则，两边对求导得，令得，C正确；时，，展开式右边共7项，前6项都是2000的整数倍，因此它除以2000的余数是1，D正确．故选：ACD．13．如图，因为函数的图像关于点对称，直线也关于点对称，所以与与都关于对称，因为，，所以因为点，，所以 即，故答案为：.14．.由诱导公式一可得，故答案为．15．4设矩形在轴上一个顶点的坐标为，则在抛物线上顶点的坐标为，根据矩形面积公式有，，故在上递增，在上递减，故面积的最大值为.16．        解：由题意得，，所以， 当且仅当，即时取等号，此时随机变量的分布列为123所以，故答案为：，．17．（1）∵，结合正弦定理可得，即，又，，故，∴．(2)由，的面积为6，∴，故，由，可得．18．（1）证明：取中点，连接，因为四边形为菱形且.所以，因为，所以，又，所以平面，因为平面，所以.同理可证，因为，所以平面.（2）解：由（1）得平面， 所以平面平面，平面平面.所以点到直线的距离即为点到平面的距离.过作的垂线段，在所有的垂线段中长度最大的为，此时必过的中点，因为为中点，所以此时，点到平面的距离最大，最大值为1.以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系.则所以平面的一个法向量为，设平面的法向量为，则即取，则，，所以，所以面与面所成二面角的正弦值为.19．（1）由题意得：，，，．，，，，，，故函数在上的值域为，．（2）令，解得，函数在上单调递增， ，，，即，又，，，，，即的取值范围为．20．（I）当时，．当时，．此式对于时也成立．因此．（II），．，数列单调递增，令，解得，．（III），当m为奇数时，为偶数，，解得．当m为偶数时，为奇数，，解得(舍去)综上可知：存在唯一的正整数，使得成立．21．（1）设圆方程为，因为A，B，C三点在圆上， 所以，解得，，，所以圆方程为.（2）圆方程为，所求圆与圆外切∵，，∴方程为①∵，，∴中点为，∴中垂线方程：即②由①②解得圆心.②所以所求圆方程为.22．（1）因为，由即，得，则的解析式为，即有，所以所求切线方程为.（2）∵，∴，由，得或，由，得，∵，∴的单调增区间为，减区间为，∵，∴的最小值为.