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河南省皖豫2022-2023学年高二数学上学期阶段测试(一)试卷(Word版含解析)
河南省皖豫2022-2023学年高二数学上学期阶段测试(一)试卷(Word版含解析)
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2022-2023学年(上)高二年级阶段性测试(一)数学考生注意:1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上,并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知两点所在直线的倾斜角为,则实数的值为()A.-7B.-5C.-2D.2【答案】A【解析】【详解】因为两点所在直线的倾斜角为,则,即故选:A.2.已知菱形的对角线与轴平行,,,则点的坐标为()A.B.C.D.【答案】A【解析】【详解】四边形为菱形,轴,轴,可设,,, 解得:(舍)或,.故选:A.3.已知向量,分别为平面的法向量,则平面与的夹角为()A.B.C.D.【答案】C【解析】【详解】,又平面与平面的夹角的取值范围为,平面与的夹角为.故选:C.4.若直线,,能围成一个三角形,则须满足()A.且B.且C.且D.且【答案】D【解析】【详解】由已知可得三条直线两两均不平行,所以且,即且,又直线与直线的交点为,且直线不过恒成立,故选:D.5.若直线过点,则当取最小值时.直线的方程为()A.B. C.D.【答案】C【解析】【详解】由直线过点,则,所以,当且仅当,即,时,等号成立,所以直线方程为,即,故选:C.6.如图所示,在平行六面体中,分别为的中点.若,则向量可用表示为()A.B.C.D.【答案】B【解析】【详解】 .故选:B7.在三棱锥中,,,,,,则()A.B.C.D.【答案】C【解析】【详解】由已知的,所以,所以,故选:C.8.已知四棱锥的底面为矩形,平面,直线与平面所成角的正弦值为,则四棱锥的体积为()A.4B.C.D.8【答案】B【解析】【详解】因为平面,平面,所以,又为矩形,则,所以建立如图所示的空间直角坐标系,设,由,得,则, 设平面的法向量为,则,令,得,,所以,又,与平面的线面角的正弦值为,所以,解得,则,又,所以.故选:B.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求,全部选对得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.在空间直角坐标系中,已知点则与垂直的向量的坐标可以为()A.B.C.D.【答案】BD【解析】 【详解】,设与垂直,则有,即有,由选项可知:只有BD满足上式.故选:BD10.关于直线,下列说法正确的是()A.当值变化时,总过定点B.存在,使得与轴平行C.存在,使得经过原点D.存在,使得原点到的距离为3【答案】AC【解析】【详解】,A.其方程可变形为,令,得,即直线恒过定点.故选项A正确.B.时,直线方程变为,此时直线与轴垂直.时,直线方程变为,其斜率,则直线与轴不可能平行.故选项B不正确.C.当,即时,直线过原点.故选项C正确.D.若原点到的距离,则.因为,则方程无解,即原点到的距离.故选项D不正确.故选:AC11.已知正四棱柱的底面边长为2,侧棱长为为的中点,点与点 在同一平面内,则点到点的距离可能为()A.1B.2C.3D.4【答案】CD【解析】【详解】连接,因为为的中点,则也为的中点.由题意,,且,故四边形为平行四边形,故,故.又,,故.设点到平面的距离为,则,解得.又点与点在同一平面内,则点到点的距离大于等于.选项中CD满足.故选:CD12.材料:在空间直角坐标系中,经过点且法向量的平面的方程为,经过点且方向向量的直线 方程为.阅读上面材料,并解决下列问题:平面的方程为,平面的方程为,直线的方程为,直线的方程为,则()A.平面与垂直B.平面与所成角余弦值为C.直线与平面平行D.直线与是异面直线【答案】AD【解析】【详解】由材料可知:平面的法向量,平面的法向量,直线的方向向量,直线的方向向量;对于A,,,则平面与垂直,A正确;对于B,,平面与所成角的余弦值为,B错误;对于C,,,直线平面或直线平面,直线过点,又满足,直线平面,C错误;对于D,与不平行,直线与直线相交或异面,由得:,此时无解,直线与直线无交点,直线与直线是异面直线,D正确. 故选:AD.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若直线与直线互相平行,则实数_____.【答案】【解析】【详解】当时,,两直线不平行;当时,由,得,解得.故答案为:-2.14.已知直线,直线经过点,若以及轴围成一个底边在轴上的等腰三角形,则直线的方程为_____.【答案】【解析】【详解】因为以及轴围成一个底边在轴上的等腰三角形,则直线与的倾斜角互补,则直线与的的斜率互为相反数,即.所以直线的方程为,即.故答案为:.15.已知四点在平面内,且任意三点都不共线,点为平面外的一点,满足,则_____.【答案】2【解析】【详解】因为四点在平面内,且点为平面外的一点,则有,其中,而, 所以,解得.故答案为:216.如图,在四棱锥中,底面是边长为的棱形,,.,,则_____.【答案】##0.5【解析】【详解】如图所示,取中点,连接,,,,又,,,,,又,且,平面,平面,又平面,,,,,设,, 在中,由余弦定理得,在中,由余弦定理得,即,解得,所以,故答案为:.四、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.分别求出满足下列条件的直线的方程:(1)经过直线和的交点,且与直线垂直;(2)过点,且在轴上的截距是在轴上的截距的4倍.【答案】(1)(2)或.【解析】【小问1详解】由,解得∴和的交点为.∵的斜率为,而直线l与直线垂直,∴直线l的斜率为,∴直线l的方程为,即.【小问2详解】当l在x轴和y轴上的截距均为0时,可设l的方程为,把点代入可得,此时直线l的方程为;当l在x轴和y轴上的截距均不为0时,可设l的方程为,把点 代入可得,得,此时直线l方程的一般式为.综上可得l的方程为或.18.如图所示,在四棱锥中,底面是边长为的正方形,,且平面,分别为棱的中点.(1)用向量表示;(2)求异面直线与所成角的余弦值.【答案】(1)(2)【解析】【小问1详解】.【小问2详解】以为坐标原点,正方向为轴,可建立如图所示空间直角坐标系, 则,,,,,,,即异面直线与所成角的余弦值为.19.已知过原点的两条直线相互垂直,且的倾斜角小于的倾斜角.(1)若与关于直线对称,求和的倾斜角(2)若都不过点,过分别作为垂足,当的面积最大时.求的方程.【答案】(1),的倾斜角分别为和(2).【解析】【小问1详解】直线的倾斜角为60°.∵,关于直线对称,且,∴,与直线的夹角均为,∴,倾斜角分别为和. 【小问2详解】∵,,,∴四边形为矩形.设,,则,,当且仅当时取等号.若的斜率不存在,则的倾斜角为,由直线相互垂直可得的倾斜角为0,与已知矛盾,所以的斜率存在,设,则点到的距离为,令,得(负值舍去).∴当的面积最大时,的方程为.20.在中,已知的平分线所在的直线方程为.(1)求点的坐标;(2)求的面积.【答案】(1) (2)【解析】【小问1详解】设关于的平分线的对称点为,则直线为线段的中垂线,∴解得即,再由,B直线BC上,可得,所以直线BC的方程为,即.由解得可得点C的坐标为,【小问2详解】∵,,∴, ∴直线AB方程为,即,则点C到直线AB的距离为,而,∴的面积为.21.如图所示,在三棱锥中,平面,点分别在棱上,满足,且.(1)求实数的值;(2)若,求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)(2).【解析】【小问1详解】∵平面ABC,平面,∴,又∵,,平面,∴平面PCD,平面,∴.由条件可知CA,CB,CP两两互相垂直,故以C为坐标原点,以CA,CB,CP所在直线分别为,,轴建立如图所示的空间直角坐标系,则,,. 所以,因为,所以,,,所以,∴.∵,,∴.∴.由,解得.【小问2详解】由(1)及条件可得,,,,.设平面PDE的法向量为,则令,得,,所以.又,∴, ∴直线PB与平面PDE所成角的正弦值为.22.如图所示,三棱台的体积为7,其上、下底面均为正三角形,平面平面且,棱与的中点分别为.(1)证明:平面;(2)求直线到平面的距离;(3)求平面与平面的夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)(3)【解析】【小问1详解】由题意得上底面面积为,下底面面积为,设三棱台的高为h,则,得.设DF的中点为I,如图,连接GB,GI,由条件可知GB,GC,GI两两互相垂直,以G为坐标原点,以GB,GC,GI所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系. 由已知可得,,,∴,,设平面FGH的法向量为,则,令,可得.由,可得,∴,又平面FGH,∴平面FGH.【小问2详解】由(1)知平面FGH,直线AE到平面FGH的距离即点A到平面FGH的距离d.∵,∴.【小问3详解】设平面BCF的法向量为,由,,可得,,∴,令,得.∴,∴平面BCF与平面FGH的夹角的余弦值为.
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高中 - 数学
发布时间:2023-02-22 10:01:03
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