豫东2022-2023学年高二数学（理）上学期12月质量检测试卷（Word版含解析）

豫东名校2022--2023学年上期高二12月质量检测数学（理）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.“”是“直线与直线”平行的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.在空间直角坐标系中，已知，，，，则直线AB与CD的位置关系是()A.垂直B.平行C.异面D.相交但不垂直3.已知，，，若不能构成空间的一个基底，则实数的值为()A.0B.C.9D.4.如图，在正四棱柱中，，，动点P，Q分别在线段，AC上，则线段PQ长度的最小值是()A.B.C.D.5.如图，在棱长为a的正方体中，P为的中点，Q为上任意一点，E，F为CD上两个动点，且EF的长为定值，则点Q到平面PEF的距离() A.等于B.和EF的长度有关C.等于D.和点Q的位置有关6.已知点，若点C是圆上的动点，则面积的最小值为()A.3B.2C.D.7.点M，N是圆上的不同两点，且点M，N关于直线对称，则该圆的半径等于()A.B.C.3D.98.若直线与曲线有两个不同的交点，则实数k的取值范围是()A.B.C.D.9.已知椭圆的左焦点为F，过F作倾斜角为的直线与椭圆C交于A，B两点，M为线段AB的中点，若(O为坐标原点)，则椭圆C的离心率是()A.B.C.D. 10.已知双曲线的一个焦点为，则双曲线C的一条渐近线方程为()A.B.C.D.11.已知，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，O为坐标原点，若，则面积的最小值为()A.6B.8C.10D.1212.设是椭圆的左，右焦点，过的直线交椭圆于两点，则的最大值为（）A.14B.13C.12D.10二､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，，则AB与PC的夹角的余弦值为______.14.已知椭圆的右焦点为F，y轴上的点M在椭圆外，且线段MF与椭圆E交于点N，若，则椭圆E的离心率为________.15.已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是________.16.已知F是抛物线的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则___________.三､解答题（本题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17.（10分）如图，正方体的棱长为a. （1）求和的夹角；（2）求证：.18.（12分）已知的三个顶点、、.（1）求边所在直线的方程；（2）边上中线的方程为，且，求点的坐标.19.（12分）如图，圆内有一点为过点且倾斜角为的弦.（1）当时，求AB的长；（2）是否存在弦AB被点平分？若存在,写出直线AB的方程；若不存在，请说明理由.20.（12分）图中是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽4m.水下降1m后，水面宽多少？(精确到0.1m)21.（12分）设椭圆的焦点为,且该椭圆过点.(1)求椭圆的标准方程；(2)若椭圆上的点满足,求的值. 22.（12分）已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0.（1）求l的斜率；（2）若，求的面积. 参考答案1、答案：A解析：当时，，即，解得或4.当时，直线的方程为，直线的方程为，此时；当时，直线的方程为，直线的方程为，此时.因为，因此，“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件.故选：A.2、答案：B解析：因为，，，，所以，，可得，所以，即直线与的位置关系是平行，故选B.3、答案：D解析：不能构成空间的一个基底，，，共面，则，其中，则，解得故选：D.4、答案：C解析：建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，设点P的坐标为，，点Q的坐标为，，，当且仅当，时，线段PQ的长度取得最小值.5、答案：A解析：取的中点G，连接PG，CG，DP，则，所以点Q到平面PEF的距离即点Q到平面PGCD的距离，与EF的长度无关，B错.又平面PGCD，所以点到平面PGCD的距离即点Q到平面PGCD的距离，即点Q到平面PEF的距离，与点Q的位置无关，D错.如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，设是平面PGCD的法向量，则由得令，则，，所以是平面PGCD的一个法向量.设点Q到平面PEF的距离为d，则，A对，C错. 故选：A.6、答案：D解析：点，，圆化为，圆心，半径是.直线AB的方程为，圆心到直线AB的距离为.直线AB和圆相离，点C到直线AB距离的最小值是.面积的最小值为.故选：D.7、答案：C解析：的圆心坐标，因为点M，N在圆上，且点M，N关于直线对称，所以直线经过圆心，所以，解得，所以圆的方程为：，即，所以圆的半径为3. 故选C.8、答案：A解析：直线恒过定点，曲线表示以点为圆心，半径为1，且位于直线右侧的半圆(包括点，).如图，作出半圆C，当直线l经过点时，l与曲线C有两个不同的交点，此时，直线记为；当l与半圆相切时，由，得，切线记为.由图形可知当时，l与曲线C有两个不同的交点，故选：A.9、答案：B解析：设，，，由题意得，，两式相减，得因为M为线段AB的中点，且直线AB的倾斜角为，所以.设，则，过M作轴，垂足为，则，， 由题易知M位于第二象限，所以，M的坐标代入AB的方程可得：，得，所以，所以.故选：B.10、答案：B解析：双曲线的一个焦点为，所以，因为，所以，所以双曲线的渐近线方程为：.故选：B.11、答案：B解析：设直线AB的方程为，点，，直线AB与x轴的交点为，将代入，可得，根据根与系数的关系得，.，，又，，令，则，解得或，点A，B位于x轴的两侧，，故.故直线AB所过的定点坐标是， 故的面积，当时，直线AB垂直于x轴，的面积取得最小值，为8，故选B.12、答案：A解析：由椭圆的定义，知，，所以的周长为，所以当最小时，最大.又当时，最小，此时，所以的最大值为.故选：A.13、答案：解析：，又，，.故答案为：14、答案：解析：过N作x轴的垂线，记垂足为P，由已知，可知P为OF中点，因为轴所以N为MF中点，不妨设，则，，易得 ，为正三角形，记椭圆的左焦点为，则，所以可知，故，所以，由椭圆的定义，所以离心率，故.15、答案：解析：抛物线的焦点是，，，，.所以双曲线的渐近线方程为.故答案为：.16、答案：6解析：如图，过M、N分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为、，设抛物线的准线与x轴的交点为，则，.因为M为FN的中点，所以，由抛物线的定义知，从而.17、（1）解：设，，.由于正方体的棱长为a， ，且，，.，，.又，，.又，，与的夹角为60°.（2）证明：由(1)知，，，，.18、（1）由、得BC边所在直线方程为，即.（2），A到BC边所在直线的距离为，由于A在直线上，故，即，解得或.19、（1）解：当时，直线AB的斜率.直线AB的方程为，即.①把①代入，得，即，解此方程得.所以.（2）解：存在弦AB被点平分. 当弦AB被点平分时，.直线的斜率为，所以直线AB的斜率为.所以直线AB的方程为，即.20、解：在抛物线形拱桥上，以拱顶为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴，建立平面直角坐标系，如答图所示.设该拋物线的方程为.拱顶离水面2m，水面宽4m，点在拋物线上，，解得，拋物线的方程为.当水面下降1m时，，代入，得，即.故这时水面宽为4.9m.21、(1)由题意得,,且,解得,所以椭圆的标准方程为.(2)因为点满足,所以,即,①又点在椭圆上,所以,②联立①②,得,所以.22、解：（1）将点A的坐标代入双曲线方程得，化简得，得，故双曲线C的方程为. 由题易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为，，，联立直线l与双曲线C的方程并整理得，故，.，化简得，故，整理得，又直线l不过点A，即，故.（2）不妨设直线PA的倾斜角为，由题意知，所以，解得或（舍去），由，得，所以，同理得，所以.因为，所以，故.