沪科版八下第17章一元二次方程17.2.1配方法课件

17.2一元二次方程的解法第17章一元二次方程17.2.1配方法 1.如果x2=a，那么x叫做a的.复习引入平方根2.如果x2=a(a≥0)，那么x=.3.如果x2=64，那么x=.±84.任何数都可以作为被开方数吗？负数不可以作为被开方数. 问题：一桶油漆可刷的面积为1500dm2，小李用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？解：设盒子的棱长为xdm，则一个正方体盒子的表面积为6x2dm2．由此可列方程10×6x2=1500，即x2=25．开平方得x=±5，即x1=5，x2=－5．∵棱长不能为负值，∴盒子的棱长为5dm．直接开平方法 试一试：解下列方程，并与同伴交流，说明你所用的方法.(1)x2=4；(2)x2=0；(3)x2+1=0.解：根据平方根的意义，得x1=2，x2=-2.解：移项，得x2=-1．∵负数没有平方根，∴原方程无解.解：根据平方根的意义，得x1=x2=0. (2)当p=0时，方程(I)有两个相等的实数根x1=x2=0；(3)当p<0时，因为任何实数x，都有x2≥0，所以方程(I)无实数根.探究归纳一般的，对于可化为x2=p(I)的方程，(1)当p>0时，根据平方根的意义，方程(I)有两个不相等的实数根x1=，x2=；利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法.归纳 例1利用直接开平方法解下列方程：(1)x2=6；(2)x2-900=0.解：直接开平方，得解：移项，得x2=900.直接开平方，得x=±30，∴x1=30，x2=-30.典例精析 在解方程x2=25时，由直接开平方法得x=±5.由此想到，由(x+3)2=5，①得对照上面方法，你认为怎样解方程(x+3)2=5？探究交流于是，方程(x+3)2=5的两个根为 上面的解法中，由方程①得到②，实质上是把一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程①转化为我们会解的方程了.解题归纳 例2解下列方程：(1)解得x1=3，x2=-1.解：移项，得∵x-1是4的平方根，∴x-1=±2.解得x1=，x2=.(2)解：移项，得两边都除以12，得∵3-2x是0.25的平方根，∴3-2x=±0.5，即3-2x=0.5或3-2x=-0.5. 1.能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？如果一个一元二次方程具有x2=p或(x＋n)2=p（p≥0）的形式，那么就可以用直接开平方法求解.2.任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说明.探讨交流 问题1你还记得完全平方公式吗？填一填：(1)a2+2ab+b2=()2；(2)a2-2ab+b2=()2.a+ba-b探究交流配方法 问题2填上适当的数或式，使下列各等式成立.（1）x2+4x+=(x+)2（2）x2-6x+=(x-)2（3）x2+8x+=(x+)2（4）x2-x+=(x-)2你发现了什么规律？222323424 二次项系数为1的完全平方式，常数项等于一次项系数一半的平方.归纳总结配方的方法想一想：x2+px+()2=(x+)2. 探究交流解方程：x2+6x+4=0.(1)问题1方程(1)怎样变成(x+n)2=p的形式呢？x2+6x+4=0x2+6x=-4移项x2+6x+9=-4+9两边都加上9二次项系数为1的完全平方式，常数项等于一次项系数一半的平方用配方法解方程 方法归纳在方程两边都加上一次项系数一半的平方——注意是在二次项系数为1的一般式前提下进行的.问题2为什么在方程x2+6x=-4的两边加上9？加其他数行吗？不行，只有在方程两边加上一次项系数一半的平方，方程左边才能变成完全平方式x2+2mx+m2的形式.一元二次方程配方的方法： 要点归纳像这样通过配成完全平方式来解一元二次方程的方法，叫做配方法.配方法解一元二次方程的定义配方法解一元二次方程的基本思路把一元二次方程化为(x+n)2=p的形式，通过开平方将方程降次，转化为一元一次方程求解． 要点归纳配方法解一元二次方程的基本步骤一移常数项；二配方[配上]；三写成(x+n)2=p(p≥0)；四直接开平方法解方程. 例3解下列方程：解：移项，得x2－8x=－1，配方，得x2－8x+42=－1+42，(x－4)2=15.由此可得即 配方，得由此可得二次项系数化为1，得解：移项，得2x2－3x=－1.即移项和二次项系数化为1这两个步骤能不能交换呢? 配方，得∵实数的平方不会是负数，∴x取任何实数时，上式都不成立．∴原方程无实数根．解：移项，得二次项系数化为1，得为什么方程两边都加12？即 例4试用配方法说明：不论k取何实数，多项式k2－4k＋5的值必定大于零.解：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1=(k-2)2＋1.∵(k-2)2≥0，∴(k-2)2＋1≥1.∴k2－4k＋5的值必定大于零. 1.方程2x2-3m-x+m2+2=0有一根为x=0，则m的值为（）A.1B.2C.1或2D.1或-22.利用配方法求最值.(1)2x2-4x+5的最小值；(2)-3x2+5x+1的最大值.练一练C解：(1)2x2-4x+5=2(x-1)2+3，当x=1时有最小值3.(2)-3x2+5x+1=-3(x-)2+，当x=时有最大值. 归纳总结配方法的应用类别解题策略1.求最值或证代数式的值恒正（或负）将关于x的二次多项式通过配方成a(x+m)2+n的形式后，由于(x+m)2≥0，故当a＞0时，可得其最小值为n；当a＜0时，可得其最大值为n.2.完全平方式中的配方如：已知x2－2mx＋16是一个完全平方式，所以一次项系数一半的平方等于16，即m2=16，m=±4.3.利用配方构成非负式的和的形式对于含有多个未知数的二次式等式，求未知数的值，可考虑配成多个完全平方式的和为0，再根据非负式的和为0，则各式均为0求解.如：a2＋b2－4b＋4=0，即a2＋(b－2)2=0，则a=0，b=2. C.解方程4(x-1)2=9，得4(x-1)=±3，x1=，x2=D.解方程(2x+3)2=25，得2x+3=±5，x1=1,x2=-41.下列解方程的过程中，正确的是（）A.解方程x2=-2，得x=±B.解方程(x-2)2=4，得x-2=2，x=4D (1)方程x2=0.25的根是.(2)方程2x2=18的根是.(3)方程(2x-1)2=9的根是.3.解下列方程：(1)x2-81＝0；(2)2x2＝50；(3)(x＋1)2=4.x1＝0.5，x2＝-0.5x1＝3，x2＝-3x1＝2，x2＝-12.填空：x1＝9，x2＝-9.x1＝5，x2＝-5.x1＝1，x2＝-3. 4.解下列方程：（1）x2+4x-9=2x-11；（2）x(x+4)=8x+12；（3）4x2-6x-3=0；（4）3x2+6x-9=0.解：x2+2x+2=0，(x+1)2=-1.此方程无解.解：x2-4x-12=0，(x-2)2=16.x1=6，x2=-2.解：x2+2x-3=0，(x+1)2=4.x1=-3，x2=1. 5.如图，在一块长35m、宽26m的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为850m2，道路的宽应为多少？解：设道路的宽为xm，根据题意得(35-x)(26-x)=850.整理，得x2-61x+60=0.解得x1=60(不合题意，舍去)，x2=1.答：道路的宽为1m. 6.若，求(xy)z的值.解：对原式配方，得由非负式的性质可知 7.已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足等式，试判断△ABC的形状.解：对原式配方，得由非负式的性质可知∴△ABC为等边三角形. 配方法定义通过配完全平方式解一元二次方程的方法步骤一移常数项，二配方[配上]，三写成(x+n)2=p(p≥0)，四开平方解方程特别提醒：在用配方法解一元二次方程之前先把二次项系数化为1.应用求代数式的最值或字母值直接开平方法利用平方根的定义求方程的根的方法