沪科版八下第17章一元二次方程17.1一元二次方程课件

17.1一元二次方程第17章一元二次方程 复习引入没有未知数1.下列式子哪些是方程？2+6=82x+35x+6=22x+3y=8x-5＜18代数式一元一次方程二元一次方程不等式分式方程 2.什么叫方程？我们学过哪些方程？含有未知数的等式叫做方程.我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程（组）及分式方程，其中前两种方程属于整式方程.3.什么叫一元一次方程？含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程叫做一元一次方程.想一想：什么是一元二次方程呢？ 问题1如图，已知一长方形的长为200cm，宽150cm.现在其中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原长方形面积的四分之三.求挖去的圆的半径x(cm)应满足的方程（其中π取3）.解：依题意知圆的面积约为3x2cm2.整理，得该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？200cm150cm则有一元二次方程的概念 问题2如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为75万辆，两年后增加到108万辆.求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率x应满足的方程.解：根据题意，得整理，得该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？ 问题3如图，在一块宽20m、长32m的长方形空地上，修筑宽相等的三条小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把长方形空地分成大小一样的六块，建成小花坛.要使花坛的总面积为570m2，问小路的宽应为多少？3220x1.若设小路的宽是xm，则横向小路面积是_____m2，纵向小路的面积是m2，两者重叠的面积是m2.思考：32x2×20x2x2 2.由于花坛的总面积是570m2，你能根据题意列出方程吗？整理以上方程，可得32×20－(32x＋2×20x)＋2x2=570.x2－36x＋35=0③.322032-2x20-x想一想：还有其它的列法吗？试说明理由.(20－x)(32－2x)=570. 观察与思考方程①②③都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？共同特点：（1）都是整式方程；（2）只含一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.x2-36x＋35=0③ 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程.ax2+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0).其中，ax2称为二次项，a称为二次项系数；bx称为一次项，b称为一次项系数；c称为常数项.知识要点一元二次方程的概念一元二次方程的一般形式(标准形式) 想一想为什么一般形式ax2+bx+c=0中要限制a≠0？b，c可以为0吗？当a=0时bx＋c=0，当a≠0，b=0时ax2＋c=0，当a≠0，c=0时ax2＋bx=0，当a≠0，b=c=0时ax2=0，总结：只要满足a≠0即可，b，c可以为任意实数.不符合定义；符合定义；符合定义；符合定义． 典例精析例1下列选项中，是关于x的一元二次方程的是（）C不是整式方程含两个未知数化简整理为x2-3x+2=0少了先决条件a≠0提示判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程，若是则进一步化简整理后再作判断. 例2a为何值时，下列方程为一元二次方程？(1)ax2－x=2x2；(2)(a－1)x|a|+1－2x－7=0.解：(1)将方程整理，得(a-2)x2-x=0，所以当a-2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程.(2)由|a|+1=2，且a-1≠0知，当a=-1时，原方程是一元二次方程.方法点拨：根据一元二次方程的定义求参数的值时，根据未知数的最高次数等于2，列出关于参数的方程，再排除使二次项系数等于0的参数值即可得解． 例3将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一般形式，并分别指出它的二次项、一次项和常数项及它们的系数.解：去括号，得3x2-3x=5x+10.移项、合并同类项，得该方程的一般形式为3x2-8x-10=0.其中二次项是3x2，系数是3；一次项是-8x，系数是-8；常数项是-10.系数和项均包含前面的符号.注意 使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（又叫做根）.练一练：下面哪些数是方程x2–x–6=0的解？-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4.解：3和-2.你注意到了吗？一元二次方程不止一个解(根)一元二次方程的根 例4已知a是方程x2+2x－2=0的一个实数根，求2a2+4a+2022的值.解：由题意得方法点拨：求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察，有时需用到整体思想——求解时，将所求代数式中的某一部分看作一个整体，再将这个整体代入求值. 1.下列哪些是一元二次方程？是不是是不是不是是3x+2=5x-2；x2=0；(x+3)(2x-4)=x2；3y2=(3y+1)(y-2)；x2=x3+x2-1；3x2=5x-1. 2.填空：方程一般形式二次项系数一次项系数常数项-21313-540-53-2 1)有一块长方形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个边长为xcm正方形，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果制作的方盒的底面积为3600cm2，求切去的正方形的边长x．解：依题意知盒底的长为(100-2x)cm，宽为(50-2x)cm，则有化简、整理，得3.请根据题意列出方程，并化为一般形式.100cm50cmx3600cm2 2)要组织要组织一次排球邀请赛，参赛的每两队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参加比赛?解：根据题意，列方程得化简，得 4.已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值.解：由题意把x=3代入方程x2+ax+a=0，得32+3a+a=0，9+4a=0，4a=-9， 5.若关于x的一元二次方程(m+2)x2+5x+m2-4=0有一个根为0，求m的值.二次项系数不为零不容忽视解：将x=0代入原方程，得m2-4=0，解得m=±2.∵m+2≠0，∴m≠-2.综上所述，m=2. 拓广探索：已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根为1，求a+b+c的值.解：由题意得思考：(1)若a+b+c=0，你能通过观察，求出方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根吗?解：由题意得∴方程ax2+bx+c=0(a≠0)必有一个根是1.(2)若a-b+c=0，且4a+2b+c=0，你能通过观察，求出方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根吗?x1=-1，x2=2. 一元二次方程概念是整式方程；含一个未知数；最高次数是2一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，其中a≠0是一元二次方程的必要条件根使方程左右两边相等的未知数的值