2023届高考数学二轮总复习（新高考新教材）考点突破练13圆锥曲线中的最值、范围、证明问题（Word版附解析）

考点突破练13　圆锥曲线中的最值、范围、证明问题1.(2021·全国乙·文20)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2.(1)求C的方程;(2)已知O为坐标原点,点P在C上,点Q满足PQ=9QF,求直线OQ斜率的最大值.2.(2022·山东济南三模)已知椭圆C:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的离心率为63,且经过点P(1,3).(1)求椭圆C的标准方程;(2)A,B为椭圆C上两点,直线PA与PB的倾斜角互补,求△PAB面积的最大值. 3.(2022·湖北武汉模拟)已知P是平面上的动点,且点P与F1(-2,0),F2(2,0)的距离之差的绝对值为22.设点P的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程;(2)设不与y轴垂直的直线l过点F1且与曲线E交于M,N两点,曲线E与x轴的交点为A,B,当|MN|≥42时,求AM·NB+AN·MB的取值范围. 4.(2022·山东济宁三模)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B,F是椭圆E的右焦点,点Q在椭圆E上,且|QF|的最大值为3,椭圆E的离心率为12.(1)求椭圆E的标准方程;(2)若过点A的直线与椭圆E交于另一点P(异于点B),与直线x=2交于一点M,∠PFB的角平分线与直线x=2交于点N,求证:N是线段BM的中点. 5.(2022·江苏苏锡常镇二模)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,过点F且斜率大于0的直线交抛物线C于A,B两点,过线段AB的中点M且与x轴平行的直线依次交直线OA,OB,l于点P,Q,N.(1)判断线段PM与NQ长度的大小关系,并证明你的结论;(2)若线段NP上的任意一点均在以点Q为圆心、线段QO为半径的圆内或圆上,求直线AB斜率的取值范围. 6.(2022·福建泉州模拟)已知椭圆C的中心在坐标原点,对称轴为坐标轴,A(-3,0),B(0,3),D(2,1)中恰有两点在椭圆C上.(1)求C的方程;(2)P,Q两点在C上,且直线DP,DQ的斜率互为相反数,直线DP,DQ分别与直线AB交于M,N两点,证明:|DP|·|DN|=|DQ|·|DM|. 考点突破练13　圆锥曲线中的最值、范围、证明问题1.解(1)在抛物线C中,焦点F到准线的距离为p,故p=2,C的方程为y2=4x.(2)(方法一　最优解)设点P(x1,y1),Q(x2,y2).又F(1,0),则PQ=(x2-x1,y2-y1),QF=(1-x2,-y2).因为PQ=9QF,所以x2-x1=9(1-x2),y2-y1=-9y2,得x1=10x2-9,y1=10y2.又因为点P在抛物线C上,所以y12=4x1,所以(10y2)2=4(10x2-9),则点Q的轨迹方程为y2=25x-925.易知直线OQ的斜率存在.设直线OQ的方程为y=kx,当直线OQ和曲线y2=25x-925相切时,斜率取得最值.由y=kx,y2=25x-925,得k2x2=25x-925,即k2x2-25x+925=0,(*)当直线OQ和曲线y2=25x-925相切时,方程(*)的判别式Δ=0,即-252-4k2·925=0,解得k=±13,所以直线OQ斜率的最大值为13.(方法二)同方法一得到点Q的轨迹方程为y2=25x-925,易知x2≠0,所以直线OQ的斜率kOQ=y2x2=y225y22+910=10y225y22+9,当y2=0时,kOQ=0.当y2≠0时,kOQ=1025y2+9y2;当y2>0时,因为25y2+9y2≥225y2·9y2=30,此时0<kOQ≤13,当且仅当25y2=9y2,即y2=35时,等号成立;当y2<0时,kOQ<0.综上,直线OQ的斜率的最大值为13.(方法三)同方法一得点Q的轨迹方程为y2=25x-925.易知直线OQ的斜率存在,x2≠0,设直线OQ的斜率为k,则k2=y2x22=25x2-925x22. 令1x2=t0<t≤109,则函数f(t)=-925t2+25t图象的对称轴为直线t=59,所以0≤k2≤19,-13≤k≤13.故直线OQ斜率的最大值为13.(方法四)由题可设P(4t2,4t)(t>0),Q(x,y).因为F(1,0),PQ=9QF,所以(x-4t2,y-4t)=9(1-x,-y).于是x-4t2=9(1-x),y-4t=-9y,所以10x=4t2+9,10y=4t,易知x≠0,则直线OQ的斜率为yx=4t4t2+9=44t+9t≤424t·9t=13.当且仅当4t=9t,即t=32时,等号成立,所以直线OQ斜率的最大值为13.2.解(1)由题意得e=ca=63,3a2+1b2=1,a2=b2+c2,解得a=6,b=2,故椭圆C的标准方程为y26+x22=1.(2)由题意可知直线AB的斜率一定存在且不为0,设直线AB的方程为y=kx+t,A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠1,x2≠1,将y=kx+t代入y26+x22=1,得(k2+3)x2+2ktx+t2-6=0,Δ=4k2t2-4(k2+3)(t2-6)=2k2-t2+6>0,∴x1+x2=-2ktk2+3,x1x2=t2-6k2+3,则y1+y2=kx1+t+kx2+t=k(x1+x2)+2t=6tk2+3,x1y2+x2y1=x1(kx2+t)+x2(kx1+t)=t(x1+x2)+2kx1x2=-12kk2+3.∵直线PA和直线PB的倾斜角互补,∴kPA=-kPB⇒y1-3x1-1=-y2-3x2-1,化简可得23+x1y2+x2y1=(y1+y2)+3(x1+x2),即23+-12kk2+3=6tk2+3+3·-2ktk2+3,即(k-3)(k+t-3)=0.∵直线AB不过点P,∴k=3,∴x1+x2=-3t3,x1x2=t2-66,t2<12,则|AB|=1+(3)2·(x1+x2)2-4x1x2=2312-t23.又点P到直线AB的距离为|t|2,∴S△PAB=12·23×12-t23·|t|2=36(12-t2)t2≤3,当且仅当t=±6时,等号成立,∴△PAB面积的最大值为3. 3.解(1)依题意,||PF1|-|PF2||=22<|F1F2|=4,根据双曲线的定义,可得点P的轨迹E是以F1(-2,0),F2(2,0)为焦点的双曲线,其中2a=22,2c=4,所以a=2,c=2,则b=c2-a2=2,所以曲线E的方程为x22-y22=1.(2)当直线l的斜率不存在时,|MN|=22,不满足题意,所以直线l的斜率存在且不为0.设直线l的方程为y=k(x+2),M(x1,y1),N(x2,y2),联立y=k(x+2),x22-y22=1,整理得(1-k2)x2-4k2x-(4k2+2)=0,Δ=8(k2+1)>0且k2≠1,可得x1+x2=4k21-k2,x1x2=-4k2+21-k2,|MN|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=22·k2+1|1-k2|.因为|MN|≥42,所以k2+1|1-k2|≥2,解得13≤k2<1或1<k2≤3.根据双曲线的对称性,不妨令A(-2,0),B(2,0),则AM·NB+AN·MB=(x1+2,y1)·(2-x2,-y2)+(x2+2,y2)·(2-x1,-y1)=4-2x1x2-2y1y2=4-2x1x2-2k2(x1+2)(x2+2)=4-(2+2k2)x1x2-4k2(x1+x2)-8k2=81-k2.因为13≤k2<1或1<k2≤3,所以81-k2∈(-∞,-4]∪[12,+∞).所以AM·NB+AN·MB的取值范围是(-∞,-4]∪[12,+∞).4.(1)解由已知可得|QF|max=a+c=3,ca=12,a2=b2+c2,解得a=2,b=3,c=1,所以椭圆E的标准方程为x24+y23=1.(2)证明由椭圆的对称性,不妨设点P在x轴上方.①当直线PF的斜率存在时,因为∠PFB的角平分线为FN,所以∠PFB=2∠NFB,所以tan∠PFB=2tan∠NFB1-tan2∠NFB,即kPF=2kNF1-kNF2.设直线AP的方程为y=k(x+2),其中k≠0,则M(2,4k),联立y=k(x+2),3x2+4y2=12,可得(4k2+3)x2+16k2x+16k2-12=0,设点P(x1,y1),则-2x1=16k2-124k2+3,所以x1=6-8k24k2+3,则y1=k(x1+2)=12k4k2+3,即点P6-8k24k2+3,12k4k2+3,所以kPF=y1x1-1=12k3+4k26-8k23+4k2-1=4k1-4k2. 设直线FN的方程为y=m(x-1),则N(2,m).因为kPF=2kNF1-kNF2,所以4k1-4k2=2m1-m2,整理可得(2k-m)(2km+1)=0.因为km>0,所以m=2k,所以yNyM=m4k=12,所以N为线段BM的中点.②当直线PF的斜率不存在时,点P1,32,则直线AP的方程为y=12(x+2),所以点M(2,2).又因为直线FN的方程为y=x-1,所以点N(2,1).所以N为线段BM的中点.综上可知,N为线段BM的中点.5.解(1)|PM|=|NQ|.证明如下:设Ay124,y1,By224,y2,y1>0>y2,则My12+y228,y1+y22,N-1,y1+y22,F(1,0).由于A,F,B三点共线,则y1y124-1=y2y224-1,整理得(y1y2+4)(y1-y2)=0,因为y1≠y2,所以y1y2=-4.lOA:y=4y1x,则Py12-48,y1+y22,同理可得Qy22-48,y1+y22.则|PM|=y12+y228-y12-48=y22+48,|QN|=y22-48+1=y22+48,则|PM|=|QN|.(2)若线段NP上的任意一点均在以点Q为圆心、线段QO为半径的圆内或圆上,则|OQ|≥|PQ|,|OQ|≥|QN|,即y22-482+y1+y222≥y12-y2282,y22-482+y1+y222≥y22+482,化简得y1=22.又因为y1y2=-4,所以y2=-4y1=-2, kAB=y1-y2y124-y224=4y1+y2=22,则直线AB斜率的取值范围为{22}.6.(1)解因为圆C的中心在坐标原点,对称轴为坐标轴,所以椭圆方程为标准方程,设为x2a2+y2b2=1(a>0,b>0),若A,B两点在椭圆C上,则有a=b=3,不合题意;若A,D两点在椭圆C上,则3a2=1,4a2+1b2=1,无解;若B,D两点在椭圆C上,则3b2=1,4a2+1b2=1,解得a2=6,b2=3,所以椭圆C的标准方程为x26+y23=1.(2)证明直线AB:y=x+3,设直线DP的斜率为k,则直线DQ的斜率为-k,所以直线DP的方程为y-1=k(x-2),即y=kx-2k+1.直线DQ的方程为y-1=-k(x-2),即y=-kx+2k+1.设P(x1,y1),Q(x2,y2),联立y=kx-2k+1,x26+y23=1,消去y并整理得(1+2k2)x2-4k(2k-1)x+2(2k-1)2-6=0,则2x1=2(2k-1)2-61+2k2,即x1=2-4(k+1)2k2+1,同理可得x2=2-4(-k+1)2k2+1=2+4(k-1)2k2+1,所以y1=kx1-2k+1=2k-4k(k+1)2k2+1-2k+1=1-4k(k+1)2k2+1=-1-4k-22k2+1,y2=-kx2+2k+1=-2k-4k(k-1)2k2+1+2k+1=1-4k(k-1)2k2+1=-1+4k+22k2+1,所以P2-4k+42k2+1,-1-4k-22k2+1,Q2+4k-42k2+1,-1+4k+22k2+1.联立y=kx-2k+1,y=x+3,得x=2+3+1k-1,y=2+3+3+1k-1,则M2+3+1k-1,2+3+3+1k-1,联立y=-kx+2k+1,y=x+3,得x=2-3+1k+1,y=2+3-3+1k+1,则N2-3+1k+1,2+3-3+1k+1. 所以|DP|=4k+42k2+12+2+4k-22k2+12=(4k+4)2+(4k2+4k)22k2+1=4|k+1|k2+12k2+1,|DM|=3+1k-12+3+1+3+1k-12=3+1|k-1|k2+1,|DQ|=4k-42k2+12+2-4k+22k2+12=4|k-1|1+k22k2+1,|DN|=3+1k+12+3+1-3+1k+12=3+1|k+1|k2+1,