江苏省徐州市2022-2023学年高三数学上学期期末模拟测试试卷（PDF版带解析）

2022~2023学年度高三年级第一学期期末模拟测试数学试题参考答案与解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设集合A{xN|3x7}，B{|log(xx2)2}，则AB=2A．{|3x≤x6}B．{|3xx6}C．{456}，，D．{45}，【答案】D【解析】因为B{|log(xx2)2}={|2xx6}，A{xN|3x7}，2所以AB={45}，．2．设复数z的共轭复数为z，若(1i)zizC，则z对应的点位于复平面内的A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】Ci1111【解析】因为(1i)zizC，所以zi，zi，1i2222所以z对应的点位于复平面内的第三象限．3．已知||||2ab，ab23，则ab6262A．62B．62C．D．44【答案】A【解析】因为||||2ab，ab23，2222所以|ab|a2abb2223284326．202214．等差数列an的前n项和为Sn，a55，S728，则k1Sk202140442023A．B．C．D．2101120231012【答案】B a14d5a11【解析】设等差数列的首项为a1，公差为d，由题意有76，解得，7a1d28d12nn1nn1nn1数列的前n项和Snadn11，n12221211裂项可得2()，Skk(1)kk1k202211111114044所以2[(1)()()]2(1)．k1Sk22320222023202320235．如图，有一壁画，最高点A处离地面12m，最低点B处离地面7m．若从离地高4m的C处观赏它，若要视角最大，则离墙的距离为A．6mB．3mC．4mD．26m【答案】D83xx55【解析】设离墙的距离为xm，则tan≤，83242241xxxx24当且仅当x，即x26时去等号．xAy3B1212COx7643（第5题）（第6题）56．已知函数fx()AsinxA0，0，的部分图象如图所示，若把fx()图2象上所有点向左平移个单位，得到函数gx()的图象，则gx()6A．3sin2xB．3sin2xC．3sin2xD．3cos2x36【答案】D【解析】由函数fx()AsinxA0，0，的部分图象，得2 2A34，，所以2，126又因为当x时，函数fx()取得最大值，6所以22k，即2kkZ，626又因为，所以，fx()3sin2x．266所以gx()fx63sin2x663sin2x23cos2x．22xy7．椭圆C：1(ab0)经过点(0，3)，点F是椭圆的右焦点，点F到左顶点的22ab距离和到右准线的距离相等．过点F的直线l交椭圆于A，B两点（A点位于x轴下方），且AF2BN，则直线l的斜率为5A．1B．2C．D．52【答案】C【解析】设椭圆的焦距为2c，由椭圆经过点(0，3)得b3，①由点F到左顶点的距离和到右准线的距离相等2a222得acc，②又abc，③c由①②③可得a2，c1，22xy所以椭圆C的标准方程为1．43设Axy(,),Bxy(,),y0由AF2BN得，x112(1x2)11221即x132x2①由第二定义可得M到右准线的距离是N到右准线的距离的2倍即4x1（24x2）②135由①②解得x1，代入椭圆方程，y1，245所以直线的斜率为．2aa，≤b，x128．设minab，若函数fx()minex，x2mx1有且只有三个零点，ba，b.则实数m的取值范围为 A．1，B．3，C．1，D．5，244【答案】Cx1x1【解析】设gxex，则gxe1，x1x1由gxe10，得x1；由gxe10，得x1，x1所以函数gxex在(，1]上单调递减，在1，上单调递增，0x1所以gt()g(1)e10，即得函数gxex有且只有一个零点1，minx1且当x1时，gxex0．2又因为hx()x2mx1在(，m]上单调递增，在m，上单调递减，2且函数hx()x2mx1至多有两个零点，x12又函数fx()minex，x2mx1有且只有三个零点，2所以函数hx()x2mx1一定有一个零点大于1，另一个零点小于1，所以h12m20，所以m1．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．已知变量y与x具有线性相关关系，统计得到6组数据如下表：x247101522y8.19.41214.418.524若y关于x的线性回归方程为yˆ0.8xaˆ，则A．变量y与x之间正相关B．y14.4C．aˆ6.8D．当x12时，y的估计值为15.6【答案】AB【解析】选项A：因为y关于x的线性回归方程为yˆ0.8xaˆ，所以bˆ0.80，所以变量y与x之间正相关．故选项A正确； 1选项B：因为y8.19.41214.418.52414.4，所以选项B正确；61选项C：因为x24710152210，6所以14.40.810aˆ，所以aˆ6.4．故选项C不正确；选项D：因为y关于x的线性回归方程为yˆ0.8x6.8，所以当x12时，yˆ0.8126.416，所以选项D不正确．10．已知函数yfx的导函数为yfx，则A．若yfx在xa处取得极值，则fa0B．若函数yfx在ab，上是减函数，则当xab，时，fx0C．若yfx为偶函数，则yfx是奇函数D．若yfx是周期函数，则yfx也是周期函数【答案】ACD【解析】选项A：因为函数yfx在xa处取得极值，所以根据函数极值的定义，导函数yfx在a的左右两侧符号相反，在xa时，导函数值fa0．故选项A正确；3选项B：函数fx()x在11，上是减函数，2当x11，时，fx3x≤0，所以选项B不正确；选项C：因为yfx为偶函数，所以f(x)fx，所以f(x)fx，所以yfx是奇函数．故选项C正确；选项D：设yfx()是周期为TT(0)的周期函数，则fxT()fx()，所以fxT()fx()，所以yfx()也是周期为TT(0)的周期函数．故选项D正确．111．已知函数f(x)=cosx+，则cosxA．f(x)的最小值为2B．f(x)的图象关于y轴对称 C．f(x)的图象关于直线x对称D．f(x)的图象关于，0中心对称2【答案】BCD【分析】因为cosx可以为负，所以A错；11因为f(x)cos(x)cosxfx()，cos(x)cosx所以fx()为偶函数，f(x)的图象关于y轴对称，B正确；1f(2x)cos(2x)fx()，cos(2x)1f(x)cos(x)fx(),cos(x)所以f(x)的图象关于直线x对称，关于，0中心对称，故CD正确．212．如图，矩形ABCD中，AD2AB102，边ADBC，的中点分别为EF，，直线BE交AC于点G，直线DF交AC于点H．现分别AED将△ABE，△CDF沿BEDF，折起，点AC，在G平面BFDE同侧，则HBFCA．当平面AEB平面BEDF时，AG平面BEDFB．当平面AEB//平面CDF时，AE//CDC．当AC，重合于点P时，二面角PDFB的大小等于60D．当AC，重合于点P时，三棱锥PBEF与PDEF外接球面公共圆的周长为10【答案】ACD【解析】因为在矩形ABCD中，AD2AB102，边ADBC，的中点分别为EF，，1103156所以AGAC，EGBE，3333EGEA所以，△EGA∽△EAB，GAAB 所以EGA90，ACBE，同理ACDF．选项A：因为平面AEB平面BEDF，平面AEB平面BEDFBE，又AGBEAG，平面AEB，所以AG平面BEDF．故选项A正确；选项B：因为AGBE，AHCDFBE，//DF，C所以ACGH，，，四点在同一平面内，ED又因为平面ABE平面AGHCAG，GQH平面CDF平面AGHCCH，BF所以由平面ABE//平面CDF，得AGCH//，又AGCH，所以四边形AGHC是平行四边形，所以ACGH//．取HD的中点Q，连接CQEQ，，则EGQH，又EG//QH，所以四边形EGHQ是平行四边形，所以EQ//GH//AC，EQGHAC，所以四边形AEQC是平行四边形，AE//CQ．故选项B不正确；选项C：连接PG，因为PHDFGH，DF，所以PHG为二面角PDFB的平面角．又因为PHHGPG，所以PHG60．故选项C正确；选项D：因为BPEBFE90，PDPFDEF90，所以三棱锥PBEF的外接球的直径DE为BE，球心为BE的中点，半径等于GQH156BFBE，22三棱锥PDEF的外接球的直径为DF，球心为DF的中点，半径等于156DF，221所以两外接球心间的距离为AD52，2 所以三棱锥PBEF与PDEF外接球面公共圆的半径为2256525．22所以公共圆的周长为2510．故选项D正确．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。22xy13．若双曲线C:1a0，b0的离心率为2，则C的两条渐近线所成的角等于22ab__________．【答案】9022xy【解析】因为双曲线C:1a0，b0的离心率为2，22ab22abb所以2，即得1，aab又因为C的两条渐近线方程为yx，a所以C的两条渐近线的斜率为1，倾斜角分别为45，135，方程为yx，所以C的两条渐近线所成的角为90．14．写出一个同时具有下列性质①②③的函数解析式为fx()__________．①不是常数函数；②f(x)fx()0；③f(1x)f(1x)．【答案】cosx（答案不唯一）【解析】由②f(x)fx()0，得f(x)fx()，所以函数fx()是偶函数，所以由f(1x)f(1x)，得fx()的是图象关于x=1对称，fx()cosx符合题意．5a2415．若x1x的展开式中所有项的系数和为243，则展开式中x的系数是_____．xx【答案】955【解析】令x1，则(2a)32433，解得a1．5r2r5r2rr52rx展开式的通项公式为TCx2Cx，xr15x55124100所以x1x的展开式中x的系数是2C2C9．xx5516．早在南北朝时期，祖冲之和他的儿子祖暅在研究几何体的体积时，得到了如下的祖暅 原理：幂势既同，则积不容异．这就是说，夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面所截，两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积一定相等．将BCOA22y双曲线C:x1与y0，y3所围成的平13面图形（含边界）绕其虚轴旋转一周得到如图所示的几何体，其中线段OA为双曲线的实半轴，点B和C为直线y3分别与与双曲线一条渐近线及右支的交点，则线段BC旋转一周所得的图形的面积是_____，几何体的体积为_____．43【答案】π，π3【解析】因为B(13)，，C(23)，，22所以线段BC旋转一周所得的图形的面积S．因为被平行于这两个平面的任意平面所截，两个截面的面积总相等，2123所以根据祖暅原理，得：几何体的体积为V33．3四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）22已知△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，caab．（1）证明：C2A；1（2）若a3，sinA，求△ABC的面积．3222【解析】(1)在ABC中，由余弦定理得，cab2abcosC，22222因为caab，所以aabab2abcosC，所以ba2cosaC．……2分由正弦定理得，sinBsinA2sinAcosC，所以sinBsinACsincosACcossinAC， 所以cossinACsinAcosCsinA，sinCAsinA．……4分因为A，B，C是三角形内角，所以CAA，即C2A.……5分1222（2）因为sinA，A(0,π)，所以cosA1sinA，3342所以sinCsin2A2sincosAA，9227cosCcos2AcosAsinA，……7分917224223sinB=．……8分393927acasinC由正弦定理得，，所以c42，sinAsinCsinA1123462所以ABC的面积SacsinB342．……10分2227918．（12分）222已知正项数列an的前n项和为Sn，且Snnn2Sn2nn0．（1）求数列an的通项公式；（2）若bnlgan（其中x表示不超过x的最大整数），求数列cn的前100项的和T100．2222【解析】(1)由Snnn2Sn2nn0得：Sn2Snnn0．2因为an为正项数列，所以Sn0，所以Snnn．……2分当n1时，a1S12；22当n2时，anSnSn1nnn1n12n．……4分经检验：a12满足an2n．所以an2nnN．……6分（2）bnlg2n……7分Tccc10012100 lg2lg4lg8lg10lg98lg100lg20040451512147．……12分19．（12分）如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，AD//BC，N为PB的中点．3（1）若点M在AD上，2AMMD，ADBC，证明：MN//平面PCD；4（2）若PAABACAD3，BC4，求二面角DACN的余弦值．【解】（1）在四棱锥PABCD中，取PC的中点T，连接DTTN，，由N为PB中点，1知TN//BC，TNBC．……1分2P因为2AMMD，3ADBC，4TN21所以MDADBC，32AMD又因为AD//BC，所以TN//DM，BCTNDM，……3分四边形DMNT为平行四边形，所以MN//DT．……4分又因为DT平面PCD，MN平面PCD，所以MN//平面PCD．……5分（2）因为ABAC，所以△ABC为等腰三角形，取BC的中点E，连接AE，则AEBC，zP又因为AD//BC，所以AEAD．因为PA平面ABCD，N所以APADAP，AE，AD分别以ABADAP，，所在yBECx 的直线为xyz，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，又因为PAABACAD3，BC4，所以A000，，，D030，，，C520，，，B5，，，20P003，，，53因为N为PB中点，所以N，1，，2253所以AC520，，，AN，1，．……7分22设平面ACN的法向量为nxyz，，，ACn52，，0xyz，，5x2y0，所以5353ANn，，1xyz，，xyz0，222245令y5，得平面ACN的一个法向量为n2，5，．……9分3又因为平面ACD的一个法向量为m001，，，……10分452，5，3001，，45所以cosmn，．21612245253设二面角DACN的大小为，22459161所以sin1cosmn，1．……12分16116120．（12分）某棉纺厂为了解一批棉花的质量，在该批棉花中随机抽取了容量为120的样本，测量每个样本棉花的纤维长度（单位：mm，纤维长度是棉花质量的重要指标），所得数据均在区间2032，内，将其按组距为2分组， 制作成如图所示的频率分布直方图，其中纤维长度不小于28mm的棉花为优质棉．（1）求频率分布直方图中a的值；（2）已知抽取的容量为120的样本棉花产自于AB，两个试验区，部分数据如下22列联表：A试验区B试验区合计优质棉10非优质棉30合计120将22列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为优质棉与AB，两个试验区有关系；（3）若从这批120个样本棉花中随机抽取3个，其中有X个优质棉，求X的分布列和数学期望EX．注：①独立性检验的临界值表：2P≥x00.150.100.050.0250.0100.0050.001x2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828022nad(bc)②，其中nabcd．(abc)(da)(cb)(d)【解】（1）根据频率分布直方图中的数据，有2(aa2a4a4a0.200)1，所以a0.025．……2分（2）根据频率分布直方图，知120个样本棉花中优质棉共有120(0.10020.0252)30个．完整22列联表如下：A试验区B试验区合计优质棉102030非优质棉603090 合计705012022120(10302060)所以10.310.828．……5分70503090所以没有99.9%的把握认为优质棉与AB，两个试验区有关系．……6分（3）由频率分布直方图，知120个样本棉花中，纤维长度不小于28mm的优质棉的11概率为，从中随机抽取3个，其中有X个优质棉，则XB3，，4403120112711127PX(0)C1；PX(1)C1；344643446423021193111PX(2)C1；PX(3)C1．3446434464所以X的分布列为：X0123272791P64646464……10分2727913所以X个优质棉的数学期望为EX0123．64646464413或EX3．……12分4421．（12分）高中试卷君22xy6已知椭圆C:1ab0的离心率为，直线l过C的焦点且垂直于x轴，直223ab线l被C所截得的线段长为2．（1）求C的方程；（2）若C与y轴的正半轴相交于点P，点A在x轴的负半轴上，点B在C上，PAPB，PAB60，求△PAB的面积．22xy【解】（1）设椭圆C:1ab0的半焦距为c，则直线l的方程为xc，22abxc，xc，由x2y2得2422cb221，yb122，abaa 22b22所以直线l被C所截得的线段长为2，即ba，……2分a2a22，c3222又，acb，所以a2b2.22yxy所以C的方程为1．……4分82P（2）由（1）得P0，2，OAx因为A在x轴的负半轴上，所以直线PA的B斜率存在且大于0，又PAPB，所以直线PB的斜率存在且小于0，设直线PB的方程为ykx2k0，则1直线PA的方程为yx2k0，令y0，得x2k，即A2k，0，k2所以PA22k．……6分22xy1，22由82得14kx82kx0，ykx2，282k82k82k所以x0，x2，即B2，22，14k14k14k2282k82k1k所以PB1k．……8分2214k14k因为在△PAB中，PAPB，PAB60，282k1k2所以PB3PA，即322kk0，214k233即43k8k30k0，所以k，k．……10分26321442①当k时，PA22k，PB3PA，222173△PAB的面积为SPAPB．△PAB24327826②当k时，PA22k，PB3PA，6621133△PAB的面积为SPAPB．……12分△PAB212 22．（12分）2ax2x已知函数fx()．xe（1）讨论函数fx()的单调性；1（2）若a1，证明：fx()xx0．22ax2x【解】（1）由fx()，得xex2x22ax2eax2xeax2a1x2fx()，……1分2xexe22因为△4a18a4a40，21x当a0时，由fx()0，得x1；xe21x由fx()0，得x1．……2分xe22a1a1a1a1当a0时，由fx()0，得x；aa22a1a1a1a1由fx()0，得x，x．……3分aa22a1a1a1a1当a0时，由fx()0，得x，x；aa22a1a1a1a1由fx()0，得x．……4分aa所以当a0时，函数fx()在，1上单调递增，在1，上单调递减；22a1a1a1a1当a0时，函数fx()在，上单调递增，aa22a1a1a1a1在，，，上单调递减；aa22a1a1a1a1当a0时，函数fx()在，上单调递减，aa22a1a1a1a1在，，，上单调递增．aa……5分2x2x（2）方法1：当a1时，fx()，xe 1x12所以fx()xx0等价于exx2x0．22x12设gx()e1xxx0，2xx则gx()e1xx0，设hx()gx()e1xx0，x则hx()e10x0，x所以hx()gx()e1x在0，上是增函数，……7分0所以gx()g(0)e100，x12所以gx()e1xx在0，上是增函数，……8分2x12所以gx()e1xxg(0)0，2x12所以e1xxx0．……10分2x121212所以当x0时，ex2x2x1x2xx2x2x1x31x21x11x31x1210．2422241所以fx()xx0．……12分22x2x方法2：当a1时，fx()，xe21x2x1所以fx()xx0等价于x，2ex2x2x1即0x0，……6分xe2x2x2x1设gxx0，xe2x22x1x321xx23e则gx．x22xe2x22x2e2x32x设hx()21xx23e2x3x43ex0，2x则hx()23x6x3e0x0，32x所以函数hx()2x3x43e在0，上是减函数．……8分因为h(0)50， 23h3213323e555567631912767645413130，37552256125375250253所以存在唯一的x0，，使得hx0，0502x33x243ex00．即00所以当0xx时，hx0，gx0，函数gx在0，x上是增函数；00当xx时，hx0，gx0，函数gx在x，上是减函数，00所以当xx时，函数gx取得极大值也是最大值．0x2x100所以gxgx，max0xe02x2021xx223ex00，所以x022又因为e1xx2，00003323x2x12x3x20000所以gx．……10分max2221xx22x221xx2000003323因为x00，，且函数y2x3x2在0，上是增函数．5532所以21xx220，2x33x2223332610，000055125322x3x200所以gx0．max221x0x02x2x11所以gx0，即得fx()xx0．……12分x2e2x2