浙江省嘉兴市第一中学2022-2023学年高三数学上学期期中考试试卷（Word版带解析）

嘉兴一中2022学年第一学期期中考试高三年级数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】解出集合、，利用补集和交集定义可求得集合.【详解】因为，则或，因此，.故选：B.2.已知，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由已知，先根据给的复数，写出其共轭复数，然后带入要求的式子直接计算即可.【详解】由已知，，，所以.故选：D.3.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列为假命题的是（）A.若，，则B.若，，，则C.若，，则D.若，，，则【答案】C【解析】【分析】根据线面平行、面面平行、线面垂直的相关命题依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，，存在直线，使得；又，，，A正确；对于B，，存在直线，使得，又，，，B正确；对于C，若，，则或，C错误；对于D，，，，又，，D正确.故选：C.4.已知，则“”是“恒成立”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】令函数y＝|x﹣2|+|x|，得，然后转化为一个恒成立的判断，再结合充分不必要条件的定义进行判断即可．【详解】函数y＝|x﹣2|+|x|的值域为[2，+∞），则当a时，|x﹣2|+|x|＞a不恒成立.若|x﹣2|+|x|＞a恒成立，则说明a小于函数y＝|x﹣2|+|x|的最小值2，即a＜2.故“a”是“|x﹣2|+|x|＞a恒成立”的必要不充分条件.故选B．【点睛】本题主要考查必要不充分条件的判断，根据绝对值不等式的性质是解决本题的关键，属于中档题．5.若P是圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝1上任意一点，则点P到直线y＝kx－1的距离不可能是（）A.4B.6C.3＋1D.8【答案】D【解析】【分析】根据题意作出示意图，判断出直线过定点，进而求出圆心到直线距离的最大值，然后判断各个答案.【详解】如图，圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝1的圆心坐标为(－3，3)，半径为1，直线y＝kx－1过定点．由图可知，圆心C到直线y＝kx－1距离的最大值为，则点P到直线y＝kx－1距离的最大值为5＋1＝6；当直线与圆有公共点时，点P到直线距离的最小值为0．即距离的范围是[0,6]. 故选：D.6.已知数列的前项和为，且满足，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用与关系求得通项关系，判断数列为等比数列即可求得.【详解】当时，，∴，当时，，两式相减可得，∴数列是首项为，公比为的等比数列，∴．故选:D．7.若函数在处取得极值2，则（）A.B.C.0D.2【答案】A【解析】【分析】求导，根据处的极值为2，列方程解方程得到，，即可得到.【详解】解：，，又函数在处取得极值2，则，且，所以，，经检验满足要求，所以．故选：A． 8.若，且，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】设，可将题目转化为已知，求的最小值，由，且，结合基本不等式可求出的最小值，进而可求出的最小值.【详解】设，则，且，题目转化为已知，求的最小值，，而，当且仅当，即时等式成立.则.故选：C.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查学生的计算求解能力，属于中档题.二、选择题：（多选）本题共4个小题，每小题5分，共20分.在每一小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选了得0分.9.已知平面直角坐标系中四点、、、，为坐标原点，则下列叙述正确的是（）A.B.若，则C.当时，、、三点共线D.若与的夹角为锐角，则 【答案】AB【解析】【分析】利用平面向量的坐标运算可判断A选项；利用平面向量共线的坐标表示可判断BC选项；利用平面向量数量积的坐标运算与共线的坐标表示可判断D选项.【详解】对于A选项，，A对；对于B选项，，，由题意可得，B对；对于C选项，当时，，而，显然与不是共线向量，此时，、、三点不共线，C错；对于D选项，，，由已知且、不共线，则，解得且，D错.故选：AB．10.直线l与抛物线相交于，，若，则（）A.直线l斜率为定值B.直线l经过定点C.面积最小值为4D.【答案】BCD【解析】【分析】由数量积的坐标表示结合抛物线方程得出，联立直线和抛物线方程，由韦达定理得出直线l经过定点，再由判别式判断A，由面积公式结合不等式的性质判断C.【详解】，因为，所以，即，，又，所以，故D正确；设直线，由得，即，，即直线l过定点，故B正确；又，则 ，故A错误；，当时，面积取最小值，故C正确.故选：BCD11.在棱长为1的正方体中，点M是的中点，点P，Q，R在底面四边形ABCD内（包括边界），平面，，点R到平面的距离等于它到点D的距离，则（）A.点P的轨迹的长度为B.点Q的轨迹的长度为C.PQ长度的最小值为D.PR长度的最小值为【答案】BCD【解析】【分析】对于A，取BC的中点N，连接AN，，根据面面平行的判定可证得平面平面，从而得点P的轨迹为线段AN，解三角形计算可判断；对于B，连接DQ，由勾股定理得，从而有点Q的轨迹是以点D为圆心，以为半径的圆，由圆的周长计算可判断；对于C，过点D作于，交点Q的轨迹于，此时的长度就是PQ长度的最小值，由三角形相似计算得，由此可判断；对于D，由已知得点R到直线的距离等于它到点D的距离，根据抛物线的定义知点R的轨迹是以点D为焦点，以AB为准线的抛物线，以AD的中点为坐标原点O，过点O且垂直于AD的直线为x轴建立平面直角坐标系，则抛物线的方程为，设与直线AN平行且与抛物线相切的直线l的方程为：，联立，整理得，由，解得，再根据平行线间的距离可求得PR长度的最小值．【详解】解：对于A，取BC的中点N，连接AN，，则，，所 以平面，平面，又平面，平面，，所以平面平面，又点P在底面四边形ABCD内（包括边界），平面，所以点P的轨迹为线段AN，因为，所以点P的轨迹的长度为，故A不正确；对于B，连接DQ，因为Q在底面ABCD上，，所以，解得，所以点Q的轨迹是以点D为圆心，以为半径的圆，如下图所示，所以点Q的轨迹的长度为，故B正确；对于C，过点D作于，交点Q的轨迹于，此时的长度就是PQ长度的最小值，而，所以，所以，即 ，解得，所以，所以PQ长度的最小值为，故C正确；，对于D，因为点R到平面的距离等于它到点D的距离，由正方体的特点得点R到直线的距离等于点R到平面的距离，所以点R到直线的距离等于它到点D的距离，根据抛物线的定义知点R的轨迹是以点D为焦点，以AB为准线的抛物线，以AD的中点为坐标原点O，过点O且垂直于AD的直线为x轴建立平面直角坐标系，如下图所示，则，，，直线AB的方程为，直线AN的方程为，则抛物线的方程为，设与直线AN平行且与抛物线相切的直线l的方程为：，联立，整理得，，解得，所以直线l的方程为：，则直线AN与直线l的距离为：，所以PR长度的最小值为，故D正确，故选：BCD. 12.若对任意，不等式恒成立，则实数a可能为（）A.B.C.D.【答案】ABC【解析】【分析】依题意可得对任意的恒成立，令，，利用导数说明函数的单调性，即可得到只需对任意的恒成立，令，则，再构造函数，，利用导数求出函数的最小值，即可得到，从而求出的取值范围，即可得解.【详解】解：依题意，对任意，恒成立，即恒成立，即恒成立，即恒成立，设，，则恒成立，所以在上单调递增，所以只需对任意恒成立，因为，令，则，即，令，，则，所以当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以，所以，所以故选：ABC【方法点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数在区间上的值域是___________．【答案】【解析】【分析】由题意可得，利用正弦函数的性质即得函数值域.【详解】当时，，∴，故，即的值域为.故答案为：.14.已知的展开式中的系数是20,则实数______.【答案】【解析】【分析】根据多项式中前一项进行展开,然后用二项式定理将两个项中关于的找出相加等于20即可求出.【详解】解:由题知,,所以展开式中系数是,解得：.故答案为：15.在四面体中，，，且，，异面直线 ，所成角为，则该四面体外接球的表面积为______.【答案】或【解析】【分析】由题意将四面体补成一个直三棱柱，由此可求出外接球的半径，求得答案.【详解】由题意可以将四面体补成一个如图所示的直三棱柱，因为异面直线，所成角为，所以或，设的外接圆半径为r，当时，，当时，，则，设四面体的外接球半径为R，则，所以该四面体外接球的半径或，则外接球的表面积为.或，故答案为：或16.设点在椭圆上，点在直线上，则的最小值为_____________．【答案】2【解析】【分析】令，则目标式可改写为 ，应用放缩、绝对值的性质、辅助角公式及正弦函数的性质求最小值，注意等号成立的条件.详解】设且，∴，当且仅当且时等号成立.故答案为：2四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在锐角中，内角所对的边分别为，已知.（1）求角的大小；（2）求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）结合，以及诱导公式、二倍角公式、正弦定理化简原式，即得解；（2）利用正弦定理，辅助角公式可化简，结合的范围即得解【小问1详解】， ，又为锐角【小问2详解】由正弦定理，，由锐角，故故.18.已知数列中，，点对任意的，都有，数列满足，其中为的前n项和．（1）求的通项公式；（2）求数列的前n项和．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用题意可得到，则能得到，即可得到答案； （2）利用（1）算出，继而得到，接着利用裂项相消法即可得到答案【小问1详解】∵，可得，∴是公差为2的等差数列，∴，；【小问2详解】由（1）可得，∴，∴．19.已知正三棱柱中，.棱上一点.（1）若，求直线与平面所成角的正弦值；（2）若是中点，求点到平面的距离.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)在侧面内作，交棱于点，证明为所求线面角，结合余弦定理计算即可求解；(2)在中，由余弦定理可得，从而，所以，利用等体积转化计算即可求解.【小问1详解】 在侧面内作，交棱于点．因是正三棱柱，故平面，从而平面．连接，则为所求线面角，另一方面，由且得，故在中，由余弦定理得，，因为平面，而在平面内，所以．于是，故直线与平面所成角的正弦值为．【小问2详解】设所求距离为，则，而，故．由题意得，，，故在中，由余弦定理得，从而，因此，，故点到平面的距离．20.根据中国海洋生态环境状况公报，从2017年到2021年全国直排海污染物中各年份的氨氮总量（单位：千吨）与年份的散点图如下： 记年份代码为，，对数据处理后得：60.51.52107617（1）根据散点图判断，模型①与模型②哪一个适宜作为关于的回归方程？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果，建立关于的回归方程，并预测2022年全国直排海污染物中的氨氮总量（计算结果精确到整数）.参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.【答案】（1）模型②适宜作为关于的回归方程.（2）关于的回归方程为，预计2022年全国直排海污染物中的氨氮总量为3吨【解析】【分析】（1）可根据散点图判断出非线性回归方程模型.（2）根据表中数据和参考数据代入公式求出回归方程，并可预测2022年全国直排海污染物中的氨氮总量.【小问1详解】根据散点图的趋势，可知模型②适宜作为关于的回归方程．【小问2详解】 ，.故关于的回归方程为，即关于的回归方程为，2022年对应的年份代码为，，故预计2022年全国直排海污染物中的氨氮总量为3吨．21.已知双曲线，O为坐标原点，离心率，点在双曲线上．（1）求双曲线的方程（2）如图，若直线l与双曲线的左、右两支分别交于点Q，P，且，求的最小值．【答案】（1）；（2）24.【解析】【分析】（1）由条件可知，再代入点求双曲线方程；（2）设直线OP的方程为，则直线OQ的方程为，与双曲线方程联立，求点的坐标，并求，再将换为求，利用是定值，求的最小值再表示 【详解】因为，所以，．所以双曲线的方程为，即．因为点在双曲线上，所以，所以．所以所求双曲线的方程为．设直线OP的方程为，则直线OQ的方程为，由，得，所以．同理可得，，所以．设，则，所以，即当且仅当时取等号．所以当时，取得最小值24． 【点睛】关键点点睛：本题的第一个关键是利用直线和垂直，利用斜率的关系求，第二个关键是注意隐含条件22.已知函数.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若有两个极值点，（），且不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义，结合切线的点斜式方程，可得答案；（2）由极值点的必要条件，得到参数与极值点之间的等量关系，化简整理并整体还原，可得一元不等式，利用导数证明不等式恒成立，可得答案.小问1详解】若，则，，则切线的斜率为，又，所以曲线在点处的切线方程是，即.【小问2详解】，由条件知，是方程的两个根，所以则. 所以.设，可知的取值范围是，则，不等式恒成立，等价于恒成立.设，则恒成立，.（i）若，则，所以，在上单调递增，所以恒成立，所以符合题意；（ii）若，令，得，令，得则在上单调递增，在上单调递减，所以当的取值范围是时，，不满足恒成立.综上，实数的取值范围是.【点睛】关键在于第二问，注意利用等量关系进行等量代还，转化不等式，再利用导数研究含参函数的单调性，注意分类讨论和数形结合思想的应用，