四川省泸县第四中学2022-2023学年高二数学（文）上学期期中考试试卷（Word版带解析）

泸县四中2022-2023学年高二上期中考试文科数学考试时间：120分钟满分：150分第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.为了解名学生的学习情况，现采用系统抽样的方法，从中抽取容量为的样本，则分段的间隔为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据系统抽样的定义，即可得到结论．【详解】解：从1000名学生中抽取20个样本，由，可得分段的间隔为.故选：【点睛】本题主要考查系统抽样的定义和应用，属于基础题．2.某社区义工队有24名成员，他们年龄的茎叶图如图所示，先把他们按年龄从小到大编号为1至24号，再用系统抽样方法抽出6人组成一个工作小组．则这个小组中年龄不超过55岁的人数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】根据题意，求出样本间隔，结合茎叶图，即可求解.【详解】根据题意，样本间隔为，根据茎叶图可知不超过55岁的有8人，因此抽出6人中，年龄不超过55岁人数为人.故选：B. 3.设满足约束条件，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】画出约束条件表示的平面区域，平移目标函数，找出最优解，计算目标函数的最小值．【详解】解：画出约束条件表示的平面区域，如图阴影部分所示；平移目标函数知，目标函数过点取最小值.故选：【点睛】本题考查了简单的线性规划应用问题，考查数形结合思想，属于基础题．4.下列命题中，真命题是（）A.B.C.的充要条件是D.是的充分条件【答案】D【解析】【分析】的值域为,据此可判断A错误;若,则,则B错误;是的充分不必要条件,则C错误;若,,则,因此D正确.【详解】对于A,的值域为,故不存在,使得,故A错误;对于B,若,则,故B错误; 对于C,时，当，不成立，故是的充分不必要条件,故C错误;对于D,若,,则,即,是的充分条件,故D正确;故选：D.【点睛】本题主要考查命题的真假判断,考查基础知识.5.若，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用特殊值，判断选项，利用作差法判断选项，利用指数函数的单调性判断选项，利用对数的定义判断选项，【详解】解：因为，若，，则，故选项错误；因为，当时，，故选项错误；因为在上为增函数，若，则，故选项正确；若，则和无意义，故选项错误．故选：．6.直线被圆所截得的弦长是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先求出圆心到直线的距离，然后利用半径、圆心距和弦的关系可求出弦长【详解】圆的圆心为，半径，则圆心到直线的距离，所以直线被圆所截得的弦长为，故选：D7.小王与小张二人参加某射击比赛，二人在选拔赛的五次测试的得分情况如图所示. 设小王与小张这五次射击成绩的平均数分别为和，方差分别为和，则（）A.，B.，C.，D.，【答案】C【解析】【分析】直接利用平均数、方差公式计算即可．【详解】由折线图可知，，,,,所以，．故选：C故选：C8.如果一个正方体的八个顶点都在半径为2的球面上，则该正方体的体积为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】 【分析】由题意，球为正方体的外接球，设正方体的棱长为，即，再利用正方体的体积公式，即得解【详解】由题意，正方体的八个顶点都在半径为2的球面上故球为正方体的外接球，设正方体的棱长为则故正方体体积为故选：D9.若椭圆的动弦斜率为，则弦中点坐标可能是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】已知弦中点的斜率，用点差法求中点的坐标.【详解】设，，则由已知得，，，两式作差可得，，整理可得中点D的坐标为，则有.又点D在椭圆的内部，所以故选：B.10.已知双曲线的一条渐近线平行于直线，则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】由题可得，即，由此即可求出离心率.【详解】直线的斜率为，由题意，得，所以，所以，所以双曲线的离心率.故选：D.11.已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴，直线交轴于点．若，则椭圆的离心率是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【详解】由于BF⊥x轴，故，设，由得，选D.考点：椭圆的简单性质12.已知A，B分别是椭圆与圆上的动点，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】 【分析】首先利用点到圆心的距离得到、的等式，再将代入，化简可得，最后利用二次函数的性质即可求得最小值.【详解】依据题意，圆心记为，半径，则的最小值为的最小值减去圆的半径，设，在椭圆上，则有，且，当时，有最小值.的最小值为.故选：B第II卷非选择题（90分）二、填空题（5分每题，共20分）13.三进制数化为六进制数为，则_______．【答案】9【解析】【分析】根据题意，先将化为十进制数，再化为六进位制数，即可求解.【详解】根据题意，三进制数转化为十进制数为，因为，，，所以十进制数化为六进位制数为，因此.故答案为：9.14.若与相外切，则实数____________.【答案】11【解析】【分析】两圆外切时圆心距等于两圆的半径之和，据此可以求解.【详解】对于：，即； 对于：，即；当外切时，圆心距，；故答案为：11.15.当时，则的最大值为______.【答案】【解析】【分析】对代数式形式进行化简，得到基本不等式形式，根据基本不等式，得到答案.【详解】由题意，，故当且仅当，即时，等号成立.故答案为：16.已知直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】将已知转化为直线与曲线有两个不同的交点，画出图形，结合图形可得所求的范围．【详解】由题意，将已知转化为直线与曲线有两个不同的交点，直线过定点，曲线表示圆心为原点，半径为2 的圆的上半部分（包括与轴的交点），画出图形如下图所示．当直线，即直线与圆相切时，则有，解得，．结合图形可得当直线与圆有两个不同的交点时，则有，∴实数取值范围是．故答案为：．【点睛】解决曲线交点个数、方程根的个数等关于“个数”的问题时，一般要结合图形（或函数的图象）求解，即利用数形结合的方法求解，考查数形结合思想的运用和转化能力，属于中档题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答17.求下列不等式的解集：（1）；（2）.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）由一元二次不等式的解法求解，（2）移项，通分后化简求解，【小问1详解】由，得 解得或.所以不等式的解集为或；【小问2详解】由，可得，等价于，解得，所以不等式的解集为．18.已知曲线（1）求其长轴长，焦点坐标，离心率；（2）求与已知曲线共焦点且离心率为的双曲线方程；【答案】(1)长轴18，，焦点，（2）【解析】【详解】试题分析：（1）由椭圆方程，明确a=9，b=3，c=6，从而求得长轴长，焦点坐标，离心率；（2）设出双曲线方程,利用条件布列的方程组，解之即可.试题解析：椭圆的标准方程为，∴a=9，b=3，c=6(1)由题意易得：长轴长2a=18，焦点坐标、离心率．(2)设双曲线方程为：又双曲线与椭圆共焦点且离心率为∴，解得：∴双曲线方程为：19.已知圆C：，直线l：．（1）求证：直线l与圆C恒相交；（2）当时，过圆C上点作圆的切线交直线l于点P，Q为圆C上的动点，求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）直线方程整理为关于的方程，然后由恒等式知识列方程组求解得出直线所过定点坐标，证明定点在圆内即可；（2）求出点坐标，再计算（为圆心），由加减半径得距离的最大值和最小值，从而得所求范围．【小问1详解】∵直线l的方程可化为m(x＋2y－7)＋2x＋y－8＝0，故l恒过点A(3，2)．∵(3－2)2＋(2－3)2＝2＜4，即点A在圆C内，∴直线l与圆C恒相交．【小问2详解】圆心是,圆半径为2,因此过的切线方程为x＝0．又当m＝1时，l：x＋y＝5，∴联立，得交点P（0，5），∴，圆半径为2，∴．20.已知长轴长为的椭圆的一个焦点为．（1）求椭圆C的方程；（2）若斜率为l的直线交椭圆于，两点，且，求直线的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根据题意结合椭圆性质，运算可求出结果；（2）设出直线的方程，与椭圆的方程联立，结合弦长公式即可求出结果.小问1详解】由题意，，，∴， ∴椭圆的方程为．【小问2详解】设直线的方程为，点，联立方程组化简，得，，即，且，，∴解得，符合题意，∴直线的方程为或.21.如图，在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，，是的中点.（1）证明：；（2）若，求到平面的距离.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】(1)取中点，连接，,证平面可得.(2)作平面的垂线，或利用三棱锥的等积转换求解.【详解】（1）证明：取中点，连接，.为等边三角形，.，是的中点，为中点，∴.又，平面. （2）方法一：取中点，连接CM.为等边三角形，.平面平面，，平面..又，平面.，为等边三角形，.是的中点，到平面的距离的倍等于到平面的距离.到平面的距离为.方法二：由平面平面，，可得平面，则.，为等边三角形，则.是的中点，.点到平面的距离为，设到平面的距离为，由，解得.【点睛】本题考查空间垂直关系的转化，空间距离的求解.面面垂直、线面垂直、线线垂直之间可以互相转化，要合理创造转化的条件.求点面距离的常用方法是作—证—求和等积转换.22.设椭圆的右焦点为，右顶点为，上顶点为.已知椭圆的短轴长为，且有.（1）求椭圆的方程;（2）设为该椭圆上两动点，分别为在轴上的射影，而直线、 的斜率分别为、，满足，其中为原点.记和的面积之和为，求的最大值【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）根据列方程，解方程得到，即可得到椭圆方程；（2）联立椭圆和直线方程，得到，，利用三角形面积公式得到的面积为，同理可得，的面积为，即，然后利用换元法和基本不等式求最值即可.【小问1详解】由题设知，设椭圆半焦距为，则，，，，又,则，又，可得，则椭圆的方程为.【小问2详解】联立，得，可得，，而的面积为，同理，面积为，故，而 令，则，故当，即或时，取到最大值.