江苏省G4联盟2022-2023学年高三数学上学期12月联考试题（Word版带解析）

G4联盟—苏州中学、扬州中学、常州中学、盐城中学2022－2023学年第一学期12月联合调研高三数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据集合间的交集运算即可.【详解】由，，所以.故选：A.2.若复数的共轭复数满足（其中为虚数单位），则的值为（）AB.5C.7D.25【答案】D【解析】【分析】求出共轭复数，以及复数，即可求出的值.【详解】解：由题意，则，所以，，∴故选：D.3.如图是近十年来全国城镇人口、乡村人口的折线图（数据来自国家统计局）． 根据该折线图，下列说法错误的是（）A.城镇人口与年份呈现正相关B.乡村人口与年份的相关系数接近C.城镇人口逐年增长率大致相同D.可预测乡村人口仍呈现下降趋势【答案】B【解析】【分析】根据折线图判断乡村人口与年份、城镇人口与年份的相关关系以及线性相关关系的强弱，逐项判断可得出合适的选项.【详解】对于A选项，由折线图可知，城镇人口与年份呈现正相关，A对；对于B选项，因为乡村人口与年份呈负线性相关关系，且线性相关性很强，所以接近，B错；对于C选项，城镇人口与年份呈现正相关，且线性相关性很强，相关系数接近，故城镇人口逐年增长率大致相同，C对；对于D选项，由折线图可知，乡村人口与年份呈负线性相关关系，可预测乡村人口仍呈现下降趋势，D对.故选：B.4.函数在的图象大致为（）A.B. C.D.【答案】D【解析】【详解】试题分析：函数|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于轴对称，因为，所以排除选项；当时，有一零点，设为，当时，为减函数，当时，为增函数．故选：D.5.椭圆焦点为，，过的最短弦PQ长为10，的周长为36，则此椭圆的离心率为A.B.C.D.【答案】C【解析】【详解】试题分析：设椭圆方程为其焦点坐标为(-c,0)，由已知P、Q坐标为：M(-c,),N(-c,-)所以，2·=10，；△PQ的周长为36|P|=|Q|==13,c=6=+36，所以(a-9)(a+4)=0因为a>0,所以，a=9，椭圆的离心率为，故选C． 考点：本题主要考查了椭圆的标准方程、几何性质．点评：过的最短弦PQ垂直于x轴，另外，由椭圆的对称性，△PQ是一直角三角形．6.南宋时期，秦九韶就创立了精密测算雨量、雨雪的方法，他在《数学九章》载有“天池盆测雨”题，使用一个圆台形的天池盆接雨水．观察发现体积一半时的水深大于盆高的一半，体积一半时的水面面积大于盆高一半时的水面面积，若盆口半径为，盆底半径为，根据如上事实，可以抽象出的不等关系为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】补全圆台为圆锥，可得到以为底面半径的圆锥体积与以为底面半径的圆锥体积之比为，再结合题意分析即可.【详解】经圆台形的天池盆补形为圆锥，则以为底面半径的圆锥体积与以为底面半径的圆锥体积之比为，如图所示，设以为底面半径的圆锥体积为，则以为底面半径的圆锥体积为，以为底面半径的圆锥体积为，则由题意，即.故选：D.7.在数列中，，则该数列项数的最大值为（）A.9B.10C.11D.12 【答案】C【解析】【分析】根据题意确定为等差数列，并根据的范围即可确定求解.【详解】，所以为等差数列，公差为，所以，所以，故选:C.8.在中，，，，点在该三角形的内切圆上运动，若（，为实数），则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由可得，再结合余弦定理，面积公式可求出、、边上高，内切圆半径，最后根据平行线等比关系即可求解.【详解】，由在内切圆上，故，假设，由于，， 则，且为上一点，，，三点共线，由平行线等比关系可得，要使，即与之间的比例最小，则在内切圆的最高点，如图所示，由，因为，所以，设边上高为，内切圆半径为，由，所以，，可得的最小值为，故选：B.【点睛】关键点点睛：这道题关键的地方是转化得到，令，观察到分母的系数相加为1，则可得到为上一点，再结合平行线等比关系以及图象可得到比例最小的具体位置二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知，，，则（）A.B.C.D. 【答案】BCD【解析】【分析】结合基本不等式即可判断A、B、C选项，D选项先利用和差化积公式可得到，再结合三角函数性质即可判断.【详解】，，，，当且仅当，即时取等号，故A不正确；又，当且仅当，即时取等号，故B正确；，当且仅当时取等号，故C正确；又，,，故D正确；故选：BCD.10.已知函数，，则（）A.函数有且仅有一个零点B.且C.函数的图象是轴对称图形D.函数在R上单调递增【答案】ABD【解析】【分析】根据零点的定义判断A，根据导数运算公式判断B，通过判断函数的奇偶性判断C，根据导数与函数的单调性的关系判断D.【详解】对于A，令可得，解得，A正确；对于B，由，可得，，B正确； 对于C，设，则，所以，因为，所以函数为奇函数，所以的图象关于原点对称，所以的图象关于点对称，即函数的图象关于点对称；故C错误；对于D，函数的定义域为，又，所以函数在R上单调递增，D正确；故选：ABD.11.乒乓球（tabletennis），被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目，是推动外交的体育项目，被誉为“小球推动大球”．某次比赛采用五局三胜制，当参赛甲、乙两位中有一位赢得三局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束．每局比赛皆须分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前已赛结果影响．假设甲在任一局赢球的概率为，实际比赛局数的期望值记为，下列说法正确的是（）A.三局就结束比赛的概率为B.的常数项为3C.D.【答案】ABD【解析】【分析】设实际比赛局数为，先计算出可能取值的概率，即可判断A选项；进而求出期望值，即可判断BCD选项.【详解】设实际比赛局数为，则，，，因此三局就结束比赛的概率为，则A正确；则 ，由，则常数项为3，则B正确；由，则D正确；由，，所以，令，则；令，则，则函数在上单调递增，在上单调递减，因为，所以关于对称，且越极端，越可能快结束，有，得，则C不正确.故选：ABD.12.在四棱锥中，底面为正方形，底面，为的中点，为平面上一点下列说法正确的是（）A.的最小值为B.若则点的轨迹是椭圆C.若，则点的轨迹围成图形的面积为D.存在点，使得直线与所成角为30°【答案】AC【解析】【分析】根据空间向量的坐标运算求出点到平面的距离即可判断选项A，先根据题意确定点在椭球上，再证明椭球的长轴垂直于所在的平面，即可判断选项B，根据题意求出为定值，即可确定的轨迹进而判断选项C，根据线线角大度等于线面角可判断选项D. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则,设平面的一个法向量为，则有，令则，所以，,则点到平面的距离，所以当平面时，的最小值为，故A正确；因为,,，所以点的轨迹在以为焦点的椭球面，又因为，所以平面，即平面垂直于椭球的长轴所在直线,所以点的轨迹是圆，故B错误；设平面，平面，由以上过程知到平面的距离，所以到平面的距离,，所以点的轨迹围成图形是以为圆心为半径的圆， 面积等于，故C正确；，设与平面所成的角为，则有，所以，因为平面，所以与所成角，故不存在点，使得直线与所成角为30°，故D错误.故选:AC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.的展开式中常数项是______.【答案】15【解析】【分析】由二项式定理求出通项公式，得到，从而求出常数项.【详解】的展开式的通项公式为：，令，解得：，故.故答案为：1514.如图，将绘有函数部分图象的纸片沿轴折成直二面角，此时之间的距离为，则＝_____________．【答案】 【解析】【分析】根据三角函数图象的性质结合函数图象求解即可.【详解】如图，因为的周期为，所以，，所以，解得，所以，所以，，因为，所以或，又因为函数在轴右侧单调递减，所以．故答案为:.15.我们利用“错位相减”的方法可求等比数列的前项和，进而可利用该法求数列的前项和，其操作步骤如下：由于，，从而，所以，始比如上方法可求数列的前项和，则_____________.【答案】【解析】 【分析】结合求的操作步骤类比求即可.【详解】由题意，，，两式相减得，即，即，即所以.故答案：.16.已知函数是定义在上的偶函数，且当时，.若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是_____________．【答案】【解析】【分析】先根据函数奇偶性求出函数解析式，再将，恒成立问题转化为恒成立，即可求解.【详解】由题意，是定义在上的偶函数，且当时，，设，则，即，所以，即，由，，即，所以，即，即恒成立，所以，即实数的取值范围是.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在数列中，，其前项和满足 （1）求数列的通项公式；（2）若为正整数，记集合元素个数为，求数列的前20项和．【答案】（1）（2）397【解析】【分析】(1)根据的关系求通项公式；(2)利用等差数列的前项和公式求解.【小问1详解】，所以，所以，即，经检验满足上式子，故【小问2详解】，因为，当且仅当时成立，所以，，当，因为，，所以能使成立的的最大值为，所以，所以的前20项和为．18.在轴截面为正方形的圆柱中，分别为弧，弧的中点，且在平面 的两侧．（1）求证：四边形是矩形；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据几何位置关系，先证明四边形是平行四边形，再利用勾股定理的逆定理即可证明；（2）利用几何法找到二面角，用余弦定理求解即可.【小问1详解】证明：设轴截面正方形边长为，取弧另一侧的中点，则与垂直平分，且，所以四边形为正方形，，因为为弧中点，所以，四边形为矩形，所以，所以，所以四边形为平行四边形，因为，，所以，所以，所以四边形为矩形；小问2详解】解：由（1）知，，，， 所以所以，斜边上的高，作交于点，连接，因为，，，所以，则，所以即为二面角平面角，，，在中，由余弦定理得，二面角的余弦值为.19.文化月活动中，某班级在宣传栏贴出标语“学好数学好”，可以不同断句产生不同意思，“学/好数学/好”指要学好的数学，“学好/数学/好”强调数学学习的重要性，假设一段时间后，随机有个字脱落．（1）若，用随机变量表示脱落的字中“学”的个数，求随机变量的分布列及期望；（2）若，假设某同学检起后随机贴回，求标语恢复原样的概率．【答案】（1）分布列见解析，（2）0.6【解析】【分析】(1)利用超几何概率分布模型求解即可；(2)根据掉落的两个字的不同情况进行分类讨论求解.【小问1详解】方法一：随机变量X的可能取值为0，1，2， ，，，随机变量X的分布列如下表：X012P随机变量X的期望为法二：随机变量X服从超几何分布，所以.【小问2详解】设脱落一个“学”为事件，脱落一个“好”为事件，脱落一个“数”为事件，事件为脱落两个字，，，，，，所以某同学捡起后随机贴回，标语恢复原样的概率为，法二：掉下的两个字不同的概率为，所以标语恢复原样的概率为．20.记的内角、、的对边分别为、、，已知，．（1）若，，求；（2）若，求的面积．【答案】（1）（2） 【解析】【分析】（1）由可得出，利用平面向量数量积的运算性质结合可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值；（2）由已知条件结合三角形的内角和可得出，，由已知可得出结合两角差的正弦公式化简可得出，利用二倍角的正弦公式以及弦化切可求得的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积.【小问1详解】解：因为，则，所以，，所以，，所以，，又因为，故.【小问2详解】解：因为，所以，，因为，，则，所以，，化简整理得，所以，故的面积为.21.在平面直角坐标系中，已知点在抛物线上，圆（1）若，为圆上的动点，求线段长度的最小值；（2）若点的纵坐标为4，过的直线与圆相切，分别交抛物线于 （异于点），求证：直线过定点．【答案】（1）1（2）证明见解析【解析】【分析】(1)转化为抛物线上的点到圆心距离减去半径的最小值；(2)根据直线圆的位置关系、与抛物线的位置关系建立方程，进而求直线恒过定点.【小问1详解】设，则，当，Q为线段与圆的交点时，【小问2详解】题意可知，过P点直线与圆相切，则，即，①设直线为：，则与抛物线C的交点方程可化为：，令，则：，②题意有，①②方程同解，故有，即：，所以直线为：，即，由，解得，直线恒过．22.若对实数，函数，满足且，则称为“平滑函数”，为该函数的“平滑点”.已知，.（1）若1是平滑函数的“平滑点”，（ⅰ）求实数，的值； （ⅱ）若过点可作三条不同的直线与函数的图象相切，求实数的取值范围；（2）对任意，判断是否存在，使得函数存在正的“平滑点”，并说明理由．【答案】（1）（ⅰ），；（ⅱ）（2）存在，理由见解析【解析】【分析】（1）（ⅰ）求导列出a.b的方程求解即可,（ⅱ）转化为方程：有3个不同根，构造函数结合图像求解即可；（2）消参得成立，转化为是否恒成立，构造函数证明即可【小问1详解】（ⅰ）由，，则，，由题意，1是平滑函数的“平滑点”，可知，且，解得：，.（ⅱ）由题意，，过点作的切线，切点满足方程：，故题意等价于方程：有3个不同根，设，则，令，即；令，即或， 所以函数在单调递增，在和上单调递减，且，，如图所示，所以.【小问2详解】题意等价于：，是否，使得有解，消去a有：，，其中由，可得，故题意进一步化简，是否，使得成立，，是否恒成立，设，，故时，单调递减；，单调递增，故得证，即，，使得存在的“平滑点”．【点睛】方法点睛：定义函数问题，主要根据定义理解函数性质特征，结合函数求导求解即可.