湖北省重点高中智学联盟2022-2023学年高三数学上学期10月联考试题（Word版含解析）

湖北省重点高中智学联盟2022年秋季高三年级10月联考数学试题一、单项选择题1.已知集合，若，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】讨论m的取值，写出A，使其满足条件即可.【详解】时，，，，所以即；时，，，不可能；时，，，不可能.故选：C.2.已知向量、满足，，，则（）A.5B.6C.7D.8【答案】B【解析】【分析】利用，即可得到结果.【详解】∵，∴，又，，∴，即，解得.故选：B3.在中，已知，则的形状一定是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形 【答案】B【解析】【分析】根据正弦定理，结合同角的三角函数关系式、二倍角的正弦公式、正弦型函数的性质进行求解即可.【详解】根据正弦定理，由，因为，所以，所以有，或，或，当时，有，此时有，即，所以此时该三角形是等腰直角三角形；当时，即，所以此时三角形是直角三角形；当时，即，不符合三角形内角和定理，舍去，综上所述：的形状一定是直角三角形，故选：B4.已知函数在定义域上是单调增函数，则实数a的取值范围为（）A.0<a<1B.3<a<6C.1<a≤4D.1<a≤2【答案】C【解析】【分析】根据绝对值函数和对数函数的单调性进行求解即可. 【详解】∵函数在定义域上是单调增函数，∴，解得1<a≤4，∴实数a的取值范围为（1，4]，故选：C．5.已知三边､､上的高分别为､､，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】设面积为，分别将三角形的边用表示，利用余弦定理得出．【详解】设面积为，，，，则，故选：C.6.5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受噪声干挠的信道中，最大信息传递速率取决于信道带宽、信道内信号的平均功率、信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升至2000，则大约增加了（）A.10%B.30%C.50%D.100%【答案】A【解析】【分析】根据香农公式，分别写出信噪比为1000和2000时的传递速率为和，两者相比，再根据对数运算即可估计得答案. 【详解】当时，当时，则又，根据选项分析，所以信噪比从1000提升至2000，则大约增加了10%.故选：A.【点睛】本题考查知识的迁移应用，考查对数的运算，是中档题.7.设函数在内恰有3个零点，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先令，求得或，再根据题意尝试的值可确定，进而得到的4个零点，结合题意排除其中1个零点有两种情况，分别求之即可得到的取值范围.【详解】∵，即，∴或，，∴或，，∵，即， ∴当时，且，即所有根都小于零，当时，且，即所有根都大于，综上：，即在内的三个零点为，，，中的三个.由于上述4个值是依次从小到大排列，且，故有两种情况，分别：，解得，故，或，解得，故，故或，即.故选：D．8.直线与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右三个交点的横坐标依次是、、，则下列关系式正确的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先用转化法判断两条曲线的交点个数，再利用导数的性质画出两个函数图象，最后利用数形结合思想进行求解即可. 【详解】当时，则有，设函数，则，当时，单调递增，当时，单调递减，而，而，如下图所示：因此曲线的交点只有一个，因此曲线和只有一个交点，,当时，单调递增，当时，单调递减，且当时，，且，图象如下图所示，，当时，单调递增，当时，单调递减，且当时，，当时，，图象如下图所示， 当直线经过曲线和唯一的公共点时，直线与两条曲线恰好有三个不同的交点，如上图所示，则有，且，①对上式同构可得：，∵，且函数在单调递增，∴，②又∵，，且函数在上单调递减，∴③由方程②③可得：，再结合方程①可得：．故选：D【点睛】关键点睛：用转化法判断曲线、的交点个数是解题的关键.二、多项选择题9.已知，，则（）A.若，则B.若，则C.的最小值为5D.若向量与向量的夹角为钝角，则【答案】BC【解析】 【分析】A：两向量平行，成数乘关系，坐标成比例；B：两向量垂直，数量积为零；C：当两向量同向时，它们差的模最小；D：两向量夹角为钝角时，数量积为负且夹角不能为18°.【详解】由，得，A不正确；由，得，，B正确；，当时，取得最小值5，C正确；当时，即，得，当与反向时，，故若向量与向量夹角为钝角，则，或，D不正确.故选：BC.10.下列命题正确的是（）A.直线是曲线的一条切线B.在中，“”是“”的充要条件C.命题“，”的否定为“，”D.，【答案】BCD【解析】【分析】A选项，求导，设出切点，利用直线斜率列出方程，求出切点坐标，进而求出切线方程；B选项，结合正弦定理，先证明充分性，再证明必要性；C选项，全称量词命题的否定是存在量词命题，把任意改为存在，再把结论否定；D选项，利用诱导公式进行求解.【详解】定义域为，，设切点为，令，解得：或（舍去），所以切点坐标为， 所以切线方程为，所以不是曲线的切线，A错误；在中，，则由大角对大边得，由正弦定理得：，因为，所以，充分性成立，在中，，由正弦定理得：，所以，由大边对大角可知：，必要性成立，故B正确；命题“，”的否定为“，”，C正确；由诱导公式可得，，D正确.故选：BCD11.已知函数，以下结论不正确的是（）A.是函数的一个周期B.函数在上单调递减C.函数的值域为D.函数在内有6个零点【答案】ABD【解析】【分析】根据判断选项A错误；对于B，当将化简，然后检验即可；对于C，求出函数在一个周期的值域，先求当，再求当的值域即可判断；对于D，根据函数为偶函数，可通过区间上零点个数从而确定其零点个数. 【详解】对于A：因为，所以，，因为，所以不是函数的一个周期，即选项A错误；对于B：当时，，其中，，不妨设为锐角，则，因为，所以，因为，所以函数在无单调性，即选项B错误；对于C：因为是函数的一个周期，可取一个周期上研究值域，当，，其中，，不妨设为锐角，则，则，所以， 即；又因为是偶函数，所以当时，，故函数在上的值域为，故选项C正确；对于D：当，令，得，即，只有1个解；当，令，得，即，只有1个解；所以在上有2个零点，又因为函数为偶函数，所以在区间内有4个零点，即选项D错误.故选：ABD．12.函数（k为常数）的图象可能是（）A.B.C.D. 【答案】ABC【解析】【分析】先判断函数零点的个数，再求导函数，根据导函数判断原函数的单调性，从而逐一判断选项.【详解】显然有唯一零点，故D错误；，，∴在上单减，上单增，∴，且时，时，故当时，，单增，选项A可能；当时，存在两个零点，在和上单增，上单减，选项B可能；当时，存在唯一零点，在上单增，在上单减，选项C可能．故选:ABC.【点睛】关键点睛：函数图像的判断关键在求出导函数，用极限思想判断导函数的符号，得出原函数的单调性.三、填空题13.角的终边经过点，且，则的值为______．【答案】【解析】【分析】根据三角函数的定义列式，求得m,再根据正切函数的定义即可求得答案.【详解】由题意角的终边经过点，且，可知， 则，解得，所以，故答案为：14.化简____________【答案】2【解析】【分析】结合、换底公式化简计算即可【详解】原式.故答案为：2.15.已知，则函数的值域为______．【答案】【解析】【分析】将函数化简为，再结合双勾函数即可得出答案.【详解】因为，所以，，令，由双勾函数知，在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，所以. 故答案为：.16.若函数在上存在唯一的零点，若函数在上存在唯一的零点，且，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】根据导数的性质，结合函数的零点定义进行求解即可.【详解】由，因为，所以，因此，所以单调递增，故，因为在上存在唯一的零点，所以有；由，由函数的性质可知：当时，，函数单调递减，当时，单调递增，要想，只需，综上所述：．故答案为：【点睛】关键点睛：利用导数性质，结合函数零点的定义是解题的关键.四、解答题17.已知数列的前项和为，，数列满足，．（1）求数列、的通项公式； （2）若数列满足，求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用与的关系可求出数列的通项公式；利用累加法可求出数列的通项公式；（2）由（1）问结论求出，然后利用裂项相消求和法，求出的和即可证明原不等式.【小问1详解】解：由，得，所以又由，得，满足，所以，而，所以，所以；【小问2详解】证明：因为，所以.18.如图，矩形所在平面与所在平面垂直，，． （1）证明：平面；（2）若平面与平面的夹角的余弦值是，且直线与平面所成角的正弦值是，求异面直线与所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由矩形性质和平行关系可证得，，由线面垂直的判定可得结论；（2）方法一：由面面垂直性质可证得平面，过点作，由线面角和面面角的定义可知，，由此可求得，由异面直线所成角的定义可知所求角为，由可求得所求余弦值；方法二：以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，，利用线面角和面面角的向量求法可求得的值，利用异面直线所成角的向量求法可求得结果.【小问1详解】四边形为矩形，；，即，又，，，平面，平面.【小问2详解】 方法一：平面平面，平面平面，，平面，平面，则即为直线与平面所成的角，，过点作，则平面平面，由（1）可得：面，，，平面与平面夹角为，，又，，则，，，，又异面直线与所成的角为，，即异面直线与所成角的余弦值为．方法二：由（1）可得：，，，以点为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 设，，则，，，，，，，面，平面的一个法向量；设平面的法向量，则，令，解得：，，；，解得：；平面，平面的一个法向量；，解得：，，，，即异面直线与所成角的余弦值为.19.年月日晩，中国女排在世锦赛小组赛第三轮比赛中，又一次以的比分酣畅淋漓地战胜了老对手日本女排，冲上了热搜榜第八位，令国人振奋！同学们，你们知道排球比赛的规则和积分制吗？其规则是：每场比赛采用“局胜制”（即有一支球队先胜局即获胜，比赛结束）．比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以或取胜的球队 积分，负队积分；以取胜的球队积分，负队积分．已知甲、乙两队比赛，甲队每局获胜的概率为．（1）如果甲、乙两队比赛场，求甲队的积分的概率分布列和数学期望；（2）如果甲、乙两队约定比赛场，求两队积分相等的概率．【答案】（1）分布列答案见解析，（2）【解析】【分析】（1）分析可知随机变量的可能取值有、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进一步可求得的值；（2）设第场甲、乙两队积分分别为、，分析可得，利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率.【小问1详解】解：随机变量的所有可能取值为、、、，，，，，所以的分布列为所以数学期望.小问2详解】解：记“甲、乙两队比赛两场后，两队积分相等”为事件，设第场甲、乙两队积分分别为、，则，、， 因两队积分相等，所以，即，则，所以．20.已知向量，，设函数．（1）求函数的最小正周期；（2）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的角平分线交于点．若恰好为函数的最大值，且此时，求的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先利用平面向量加法、数量积的坐标表示、二倍角公式、辅助角公式得到，再利用周期公式进行求解；（2）先利用恰好为的最大值求得，利用正弦定理得到、和，再利用基本不等式进行求解.【小问1详解】∵，，∴， ∴则的最小正周期为；【小问2详解】由恰好为的最大值，得，即，∵，所以，则；在中，由，得，在中，由，可得，∴；在中，由，得，解得，，，∵，， ∴，（当且仅当，即时，等号成立）故的最小值为．21.已知直线：与椭圆：相切于点，与直线：相交于点（异于点）．（1）求点的坐标；（2）直线交于点，两点，证明：．【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）通过解方程组进行求解即可；（2）将直线方程与椭圆方程联立，结合椭圆弦长公式、相似三角形判定定理进行运算证明即可.【小问1详解】解：，消得：，解得：，故；【小问2详解】联立，解之得： 联立，消得：，由题可得：，∴，．，，，，∴，又，∴．【点睛】关键点睛：结合一元二次方程根与系数关系，运用椭圆的弦长公式是解题的关键.22.已知函数，．（1）若，求函数的单调区间；（2）若任意，，求的取值范围．【答案】（1）递减区间为；递增区间为（2）．【解析】【分析】（1）对求导，则在上单增，令，解得，即可求出函数的单调区间；（2）方法一：设，转化为求，求 ，得出的单调性，即可得出答案.方法二：，恒成立等价于恒成立．设，求，分类讨论，，，得出的单调性，即可得出答案.【小问1详解】，∵，∴在上单增，令，解得，则当时，；当，时，．∴的递减区间为；递增区间为【小问2详解】方法一：设，，，，，，令，，，①当即时，在上恒成立，∴在上单增，，在上单增，，∴当时，不等式恒成立，符合题意②当即时，由（1）可得：，在上恒成立，又，∴在成立，∴在单调递减，， ∴在单调递减，，与恒成立矛盾，故不符合题意③当时，此时，与恒成立矛盾，综上，实数的取值范围是．方法二：，恒成立等价于恒成立．设，，，①当即时，在恒成立，函数单调递减，∴，满足题意；②当且即且时，若时，，函数单调递增，∴时，，与矛盾，不符合题意；③当时，，显然不等式不恒成立，与题意矛盾．综上，实数的取值范围是．