浙江省金华市两校2022-2023学年高二数学上学期12月阶段试题（Word版带答案）

2022学年第一学期12月阶段测试高二数学参考答案一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知空间向量t1,−1,䁕，th,−,1，则||()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】本题考查空间向量模的坐标运算，掌握空间向量模的坐标运算公式是解题基础．先求，再求模．【解答】解：t1,−1,䁕，th,−,1，t,−h,1，||t−h1．故选：．2.《张邱建算经》记载：今有女子不善织布，逐日织布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织布()A.1香䁕尺B.11䁕尺C.䁕尺D.䁕尺【答案】C【解析】【分析】利用等差数列的前项和求解．本题考查等差数列的前项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意数列知识在生产生活中的合理运用．【解答】解：由题意知每日织布量构成等差数列，1，h䁕1，h䁕h䁕t1䁕t尺． 3.方程−䁕表示一个圆，则的取值范围是()A.−1,B.−,−1C.−1,D.t−,−1【答案】A【解析】【分析】本题主要考查求圆的标准方程，二元二次方程表示圆的条件，属于基础题．由二元二次方程表示圆的条件得到的不等式，解不等式即可得到结果．【解答】解：方程−䁕，即11，此方程表示圆时，应有1݉䁕，解得݉−1，故选A．4.直线ǣ−h−1䁕t过定点，则点的坐标为()A.t−h,1B.t−h,−1C.th,−1D.th,1【答案】D【解析】【分析】本题主要考查直线经过定点问题，属于基础题．在直线方程中，先分离参数，再令参数的系数等于零，求得、的值，可得直线恒过定点的坐标．【解答】解：直线ǣ−h−1䁕t可化简为t−h−1䁕，−h䁕故可得，可得h，1，−1䁕故可得直线ǣ−h−1䁕t过定点th,1．故选D．5.已知直线1：t䁕与：1䁕平行，则实数的值为() A.−1或B.䁕或C.D.−1【答案】D【解析】【分析】本题考查了利用两条直线平行求参数的值，考查了推理能力与计算能力，要注意重合的特殊情况，属于基础题．由题意知−t䁕，即−−䁕，解得，经过验证即可得出．【解答】解：由题意知−䁕，即−−䁕，解得或−1．经过验证可得：时两条直线重合，舍去．−1．故选：．6.已知t1,，t,，直线过点t,−1且与线段相交，那么直线的斜率的取值范围是()11A.−,−,B.−h,hhh11C.−,D.−,−hh,hh【答案】D【解析】【分析】本题考查了直线的倾斜角与斜率，属于基础题．根据直线的斜率与倾斜角的变化关系求解即可．【解答】−t−1−−1解：−h，1−−h，且直线与线段相交，−h或h，故选D．7.若三条直线，h，䁕相交于同一点，则点t，到原点的距离的最小值是()A.B.C.hD. 【答案】A【解析】【分析】本题考查直线的交点坐标以及两点间的距离公式，以及利用配方法求一元二次函数的最小值，属于中档题．应先根据和h求得交点，代入䁕可得䁕，利用两点距离公式表示出点到原点的距离，将用表示代入后，利用配方法求得最小值．【解答】1解：联立，解得，h把t1,代入䁕，得䁕，−−，点t,到原点的距离tt，当且仅当−，−1时取等号．点t,到原点的距离的最小值为．故选A．8.已知是椭圆ǣ1t݉݉䁕的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于，两点，若||h||，且1䁕，则椭圆的离心率为()11A.B.C.D.h【答案】C【解析】【分析】本题考查椭圆几何性质的运用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．【解答】设椭圆右焦点为，连接，，根据椭圆对称性可知四边形为平行四边形，则||||，因为1䁕，可得䁕，所以||||||，1h则||，||，由余弦定理可得t〷||||−||||cos䁕t||||−h||||，〷即〷−，即．1 〷故椭圆离心率．1二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.已知为直线的方向向量，1,分别为平面,的法向量t,不重合，那么下列说法中正确的有()A.1B.1C.1D.1【答案】BC【解析】【分析】本题考查直线的方向向量与平面的法向量，以及利用直线的方向向量与平面的法向量判断空间的平行、垂直关系，属于基础题．根据直线的方向向量与平面的法向量的定义以及空间线面、面面的平行和垂直关系的判断方法，逐项判断，即可得到答案．【解答】解：因为为直线的方向向量，1,分别为平面,的法向量t,不重合，A.1或，故错误；B.1正确；C.1正确；D.1或，故错误，故选BC．10.关于，的方程h−1t其中h对应的曲线可能是()A.焦点在轴上的椭圆B.焦点在轴上的椭圆C.焦点在轴上的双曲线D.焦点在轴上的双曲线【答案】 ABC【解析】解：当h−݉䁕且h−，即݉且时，曲线为1，h即，为以t䁕,䁕为圆心，为半径的圆；当h−݉䁕且݉h−，即时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，h当h−݉䁕且h−，即݉时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，当h−䁕，即时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，h故选：选：．分情况讨论h−的正负及与h−大小关系，即可得出答案．本题考查曲线与方程，解题中注意分类讨论思想的应用，属于中档题．11.若圆t݉䁕上恒有个点到直线−−䁕的距离为1，则实数的可能取值是()A.B.h1C.hD.1【答案】BC【解析】解：作出到直线−−䁕的距离为1的点的轨迹，得到与直线−−䁕平行，且到直线−−䁕的距离等于1的两条直线，圆的圆心为原点，|䁕−䁕−|原点到直线−−䁕的距离为，两条平行线中与圆心距离较远的一条到原点的距离为1，又圆t݉䁕上有个点到直线−−䁕的距离为1，两条平行线与圆有个公共点，即它们都与圆相交．由此可得圆的半径݉，即݉1，实数的取值范围是t1,．故选：选：．到已知直线的距离为1的点的轨迹，是与已知直线平行且到它的距离等于1的两条直线，根据题意可得这两条平行线与有个公共点，由此利用点到直线的距离公式加以计算，可得的取值范围，从而可得结论． 本题给出已知圆上有四个点到直线的距离等于半径，求参数的取值范围．着重考查了圆的标准方程、直线与圆的位置关系等知识，属中档题．12.设1、分别是双曲线：：−1的左、右焦点，且|1|，则下列结−论正确的有()A.B.当䁕时，：的离心率是C.当䁕时，1到渐近线的距离随着的增大而减小D.当1时，：的实轴长是虚轴长的两倍【答案】AC【解析】【分析】本题考查双曲线简单的几何性质，点到直线的距离公式，属于中档题．根据题意，得出，，〷关于，的代数式，再逐一分析各选项即可．【解答】解：因为1、分别是双曲线：：−1的左、右焦点，且|1|，−〷−所以，可得，故A正确；〷1−〷当䁕时，，：的离心率是，故B错误；当1时，h,1，：的实轴长是虚轴长的h倍，故D错误；〷1t−〷,䁕到渐近线的距离为−，当䁕，随着的增大而减小，故C正确；故选AC．三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设等差数列的前项和为，若香，则h的值为【答案】1 【解析】【分析】本题主要考查等差数列的求和公式及等差数列的性质，属于基础题．由已知等差数列的求和公式及性质可求，结合等差数列的性质即可求解．【解答】t1解：因为等差数列中，香，，则hhh1．故答案为：1．14.圆：−1䁕关于直线−h䁕的对称圆的标准方程是．【答案】tt−1【解析】【分析】本题是考查对称圆的方程问题，重点在于求出对称圆的圆心坐标和半径，属于基础题．先求出圆−1䁕的圆心和半径，再利用两点关于已知直线对称所具有的结论，求出所求圆的圆心坐标即可求出结论．【解答】解：圆−1䁕转化为标准方程为t1t−11，所以其圆心为：t−1,1，1，设t−1,1关于直线−h䁕对称点为：t,−11−h䁕−则有．−11−11故所求圆的圆心为：t−,，半径为1．所以所求圆的方程为：tt−1故答案为tt−1．15.已知抛物线，过焦点作直线与抛物线交于点，选两点，若||，则点的坐标为．【答案】 th,h或th,−h【解析】【分析】本题考查抛物线的简单性质，考查抛物线焦半径公式的应用，属于基础题．由抛物线方程求得抛物线的焦点坐标，由焦半径公式求得的横坐标，代入抛物线方程即可求得点的坐标．【解答】解：如图所示：设点的坐标为t,，由题意可得：t1,䁕，||，由抛物线定义可得：1，解得h．代入抛物线方程可得h，或−h，点的坐标为th,h或th,−h.故答案为：th,h或th,−h.16.若−−h恒成立，则实数的取值范围为__________．【答案】−,1【解析】【分析】本题考查根据直线与圆的位置关系求参数，属于较难题．把原不等式恒成立问题转化为转化成直线与圆的位置关系，由题意画出直线和半圆辅助分析，得到直线与半圆相切时斜率取到最大值，即可得出参数取值范围.运用了数形结合和转化化归思想．【解答】 解：由题意−−h恒成立转化为t−h−，令1t−h，−，所以1表示过点t,h，斜率为的直线，表示半圆，则直线必须在圆的上方，利用点到直线的距离公式，得到直线与半圆相切时的斜率，则t−,．11四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.t本小题1.䁕分记为等差数列的前项和，已知1−，h−1．t1求的通项公式；t求，并求的最小值．【答案】解：t1等差数列中，1−，h−1，1−，h1h−1，解得1−，，−t−1−；t1−，，−，1t1t−1−香t−−1，当时，前项的和取得最小值，为−1．【解析】本题主要考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前项和公式，属于基础题．t1根据1−，h−1，可得1−，h1h−1，求出等差数列的公差，然后求出即可；t由1−，，−，得t1t−−1，由此可求出 的最小值．18.t本小题1.䁕分已知圆：的圆心在轴上，且经过点t1,䁕，选th,t1求圆：的标准方程；t若直线过点t䁕,，且与圆：相切，求直线方程．【答案】解：t1根据题意，圆：的圆心：在轴上，设其坐标为t,䁕，圆：的半径为，又圆：经过点t1,䁕，选th,，则有t−1t−h，解可得h，则|−1|，则圆：的标准方程为t−h，t根据题意，圆：的标准方程为t−h，若直线的斜率不存在，则直线的方程为䁕，与圆：不相切，不符合题意；若直线的斜率存在，设直线的方程为，即−䁕，|h|若直线与圆：相切，且有，11解可得：䁕或−，1则直线的方程为或−．【解析】本题考查直线与圆相切，涉及圆的标准方程，属于基础题．t1根据题意，设：的坐标为t,䁕，半径为，结合题意可得t−1t−h，又|−1|可得的值，即可得答案；t根据题意，分直线的斜率存在与不存在种情况讨论，若直线的斜率不存在，则直线的方程为䁕，分析可得此时不符合题意；若直线的斜率存在，设直线的方程为|h|，结合直线与圆的位置关系可得，求出的值，即可求出直线的方程．119.t本小题1.䁕分如图，在三棱柱ABC-1选1：1中，1底面1选1：1，ACAB，ACAB，1，点，分别为：1与AB的中点． t1证明：EF平面BC：1选1．t求选1与平面所成角的正弦值．【答案】t1证明：如图，连接：1，选：1．因为三棱柱选：−1选1：1为直三棱柱，所以为：1的中点，又因为为选的中点，所以选：1．又平面选：：1选1，选：1平面选：：1选1．所以平面选：：1选1．t解：以1为原点建立如图所示的空间直角坐标系1−建，则t䁕,䁕,，选1t䁕,,䁕，t,䁕,h，t䁕,,．所以选1t䁕,−,，t,䁕,−h，t䁕,,䁕，设平面的法向量为t,,建，−h建䁕则,䁕令h，得th,䁕,.记选1与平面所成角为，选1h1h䁕则⸷|〷ܿ选1,|||．|选1||| 【解析】本题考查了线面平行的判定和利用空间向量求线面的夹角，是基础题．t1利用直线与平面平行的判定定理进行证明即可；t利用空间向量求直线与平面所成的角即可．20.t本小题1.䁕分已知双曲线：：−1t݉䁕,݉䁕的离心率为，虚轴长为，t1求双曲线：的标准方程；t若过点t䁕,1，倾斜角为的直线与双曲线交于，选两点，为坐标原点，求选的面积．【答案】〷解：t1依题意可得，〷解得1,,〷，双曲线的标准方程为−1；t直线的方程为1，设t1,1、选t,，1由，可得h−−䁕，−䁕݉䁕，1h，1−h，即|选|1t1−1䁕香，hh原点到直线的距离为，11香于是选|选|hh，选的面积为．h【解析】本题考查双曲线的方程、双曲线的简单几何性质及直线与双曲线的位置关系，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力，属于基础题．t1根据已知条件及〷可得关于,,〷的方程组，从而可求得,,〷； t由点斜式可得直线方程，与双曲线联立消去可得关于的一元二次方程.可得两根之和，两根之积.由弦长公式可得|选|，根据点到面的距离公式可得原点到直线的距离，从而可求得选的面积．21.t本小题1.䁕分已知点为抛物线：：pyt݉䁕的焦点，点t,h在抛物线：上，且|AF|.若点是抛物线：上的一个动点，设点到直线−−䁕的距离为．t1求抛物线：的方程；t求的最小值．【答案】解：t1因为抛物线：：t݉䁕，所以抛物线：的准线为−．t,h在抛物线：上，由抛物线的定义，得h，解得，所以抛物线：的方程为香．t方法一设点的坐标为t䁕,䁕，因为点在抛物线：上，所以香，䁕䁕1−䁕则到直线−−䁕的距离䁕−䁕−䁕−香䁕䁕−．䁕当䁕时，取到最小值，且的最小值为．方法二设直线−−䁕的平行线−〷䁕与抛物线：：香相切，−〷䁕由，得−−〷䁕，香所以11〷䁕，解得〷−1，−1−−故所求的最小值为．1【解析】本题主要考查抛物线的定义以及几何性质．t1由抛物线的定义，得h，解得，可得方程1t法一：到直线−−䁕的距离为|䁕−䁕−||䁕−香䁕−|t䁕−䁕.当䁕时，取到最小值，求解即可−〷䁕法二：由得−−〷䁕，令11〷䁕，解得〷−1，即可求解香 22.t本小题1.䁕分1如图，椭圆：ǣ1݉݉䁕的离心率是，短轴长为h，椭圆的左、右顶点分别为1、，过椭圆与抛物线的公共焦点的直线与椭圆相交于,选两点，与抛物线相交于,两点，点为PQ的中点．t1求椭圆：和抛物线的方程t记选1的面积为1，的面积为，若1h，求直线在轴上截距的范围．【答案】h〷1解：t1根据题意得：，解得，h，〷1，所以，抛物线焦点1,䁕，〷所以，椭圆：ǣ1，拋物线ǣ；h1t设ǣ1䁕,1,1,选,,h,h,,，联立与椭圆：ǣ，1h整理得：h−䁕，判别式：t−h−11，11弦长公式：选11−1，hh点1−,䁕到直线的距离为，11h1香1所以1选h，1联立与抛物线ǣ，整理得：−−䁕，1 判别式：t−−−11，弦长公式：1h−111，11111点,䁕到直线的距离为所以1，111香1因为1h，即h1，解得：−．hhh11所以，直线在轴上截距−−或−，所以，直线在轴上截距取值范围是t−,−,．【解析】本题主要考查椭圆和抛物线的性质及几何意义，直线与抛物线、直线与椭圆的位置关系，属于中档题．利用所给条件求出方程，分别联立直线与椭圆，抛物线，求出弦长公式，进而求出面积．