广东省深圳实验学校高中部2022-2023学年高一数学上学期第一阶段考试试题（Word版带解析）

深圳实验学校高中部2022-2023学年度第一学期第一阶段考试高一数学时间：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据补集、交集的定义计算可得.【详解】解：因为，所以，又，所以.故选：B2.设命题：，，则以下描述正确的是（）A.为假命题，是“，”B.为假命题，“，”C.为真命题，是“，”D.为真命题，是“，”【答案】B【解析】【分析】通过取特殊值，使得是有理数，所以为假命题【详解】当时，，与，矛盾，所以，，所以为假命题而是，故选：B3.已知，则函数的解析式是（） A.B.（且）C.D.【答案】B【解析】【分析】根据换元法求解析式即可.【详解】解：由题知且，令，则（且），∴（且），∴（且）．故选：B．4.若实数满足，则的最小值为A.B.2C.D.4【答案】C【解析】【详解】，（当且仅当时取等号），所以的最小值为，故选C.考点：基本不等式【名师点睛】基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．5.函数在区间上的最大值是5，最小值是1，则m的取值范围是A.B.C.D.【答案】B【解析】 【分析】利用配方法可得,则,,根据二次函数的对称性即可判断的范围【详解】由题,,因为,,且对称轴为,所以,因为在区间上的最大值是5,最小值是1,所以故选：B【点睛】本题考查已知二次函数最值求参数问题,属于基础题6.若关于的方程在内有解，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】分离参数为，转化为求函数的值域．【详解】由题意在内有解，，时，，时，，所以．故选：A．7.若两个正实数满足，若至少存在一组使得成立，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意得，即求，利用基本不等式，可解得，进而得到，进而可求解.【详解】至少存在一组使得成立，即， 又由两个正实数满足，可得，当且仅当，即时，等号成立，，故有，解得，故，所以实数的取值范围是故选：C.8.关于的不等式的解集中恰有个整数，则实数的取值范围是（　　）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】分类讨论一元二次不等式的解，根据解集中只有一个整数，即可求解.【详解】由得，若，则不等式无解．若，则不等式的解为，此时要使不等式的解集中恰有个整数解，则此时个整数解为，则．若，则不等式的解为，此时要使不等式的解集中恰有个整数解，则此时个整数解为，则．综上，满足条件的的取值范围是故选：C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.若a，b，，则下列命题正确的是（）A.若且，则B.若，则C.若且，则D. 【答案】BCD【解析】【分析】由不等式的性质逐一判断即可.【详解】解：对于A，当时，结论不成立，故A错误；对于B，等价于，又，故成立，故B正确；对于C，因为且，所以等价于，即，成立，故C正确；对于D，等价于，成立，故D正确.故选：BCD.10.下面命题正确的是（）A.“”是“”的必要不充分条件B.“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件C.设，则“”是“且”的充分不必要条件D.“”是“”的必要不充分条件【答案】ABD【解析】【分析】根据必要不充分条件的定义，即可判断A选项；根据一元二次方程中根的个数和根与系数的关系，即可判断B选项；由“”，则不一定有“且”，即可判断C选项；若，则或，结合必要不充分条件的定义，即可判断D选项.【详解】解：对于A，根据必要不充分条件的定义，可知A正确；对于B，若，则，所以一元二次方程有两个根，且一正一负根，若一元二次方程有一正一负根，则，则，故B正确；对于C，若“”，则不一定有“且”，而若“且”，则一定有“”，所以“”是“且”的必要不充分条件，故C不正确；对于D，若，则或，则若“”，则不一定有“”，而“”时，一定有 “”，所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确.故选：ABD.11.下面结论正确的是（）A.若，则的最大值是B.函数的最小值是2C.函数（）的值域是D.，且，则的最小值是3【答案】ACD【解析】【分析】利用基本不等式求最值判断ABD，结合二次函数的性质判断C．【详解】时，．，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是2，即的最小值是1，从而的最大值是，A正确；，当且仅当时等号成立，但无实数解，因此等号不能取得，2不是最小值，B错；时，，，因为，所以时，，时，，时，．所以值域是，C正确；，且，， ，则，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是4－1＝3，D正确．故选：ACD．12.已知，，且，则（）A.的取值范围是B.的取值范围是C.的最小值是3D.的最小值是【答案】BD【解析】【分析】根据基本不等式可求得，判断A;将变形为结合基本不等式，判断B；由整理得到结合基本不等式可判断C,D.【详解】对于A，因为，，所以，当且仅当时取等号，即，解得，即，A错误；对于B,由，,，当且仅当时取等号，得，所以,又，所以，B正确；对于C,由，，，得，则，当且仅当，即时等号成立,但， 所以．（等号取不到）,故C错误；对于D，由C的分析知：，,,，当且仅当，即时等号成立，D正确，故选：BD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知集合A＝，B＝，且9∈(A∩B)，则a的值为________．【答案】5或－3【解析】【分析】根据元素与集合关系列方程，再代入验证，即得结果.【详解】因为9∈(A∩B)，所以9∈A，即2a－1＝9或a2＝9，解得a＝5或a＝±3.当a＝5时，A＝，B＝，A∩B＝，9∈(A∩B)，符合题意；当a＝3时，A＝，a－5＝1－a＝－2，B中有元素重复，不符合题意，舍去；当a＝－3时，A＝，B＝，A∩B＝，9∈(A∩B)，符合题意，综上所述，a＝5或a＝－3.故答案为：5或－3【点睛】本题考查根据元素与集合关系求参数，考查基本分析求解能力，属基础题.14.若函数的定义域为，则的值为_________．【答案】【解析】【分析】由定义域得一元二次不等式的解，从而由二次不等式的性质可得参数值．【详解】由题意的解是，所以，解得，，所以． 故答案为：．15.若关于x的二次方程的两个根分别为，且满足，则m的值为______【答案】【解析】【分析】先求出方程有两根时的范围，再由根与系数关系将用表示，建立关于的方程，求解即可.【详解】关于x的二次方程有两个根，则，，又，即，解得或（舍去），的值为.【点睛】本题考查一元二次方程根与系数关系的应用，要注意两根存在的条件，属于基础题.16.已知函数，若且，则取值范围是_____．【答案】【解析】【分析】确定函数的单调性，由已知得出的范围，及的关系，把表示为的函数，然后由二次函数性质得结论．【详解】时，是增函数，且，时，是增函数，且，如图，且，则，，由得（负值舍去），因此，，，， ，所以时，取得最大值，时，取得最小值，所以的取值范围是．故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设集合，集合．（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由根式、分式性质求定义域得集合A，根据已知及集合并运算求即 可；（2）求，根据交集结果，讨论、求参数m的范围.【小问1详解】对于集合A：，得，故；当时，所以.【小问2详解】由或，而，当时，，即满足题设；当时，，可得；综上，.18.已知命题“，”，命题“，”．（1）若命题是真命题，求实数的取值范围；（2）若命题和中有且仅有一个是假命题，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根据命题是真命题，参变分离，构造函数求最值，得实数的取值范围；（2）根据命题和中有且仅有一个是假命题，分别求解命题和是真命题和假命题时实数的取值范围，按要求即可得实数的取值范围．【小问1详解】解：当命题是真命题，则不等式对满足的一切恒成立．由，得．设，则在上单调递增，在上单调递减，， ．因此，实数的取值范围是．【小问2详解】解：当命题是真命题时，实数的取值范围是，（1）当命题是假命题时，实数的取值范围是．…………………（2）当命题假命题时，则命题“，”是真命题．由，得，，且当时取等号，的最小值是．当命题是假命题时，实数的取值范围是．…………………（3）当命题是真命题时，实数的取值范围是．…………………（4）当命题是真命题且是假命题时，由（1）、（3），得实数的取值范围是；当命题是假命题且是真命题时，由（2）、（4），得实数的取值范围是；综上，实数的取值范围是或．19.（1）已知、、、是实数，求证：（2）已知，，，且，求证：【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】对不等式进行化简，利用完全平方公式、基本不等式证明即可；【详解】证明：（1），当且仅当时，取等号，对任意实数，，，，成立．（2） 20.设函数．（1）若不等式对于实数时恒成立，求实数的取值范围；（2）若，解关于不等式．【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）把不等式整理为关于的不等式，然后利用其在时恒成立可得关于的不等关系从而得结论；（2）不等式化简为，然后分类讨论求解．【小问1详解】不等式对于实数时恒成立，即，，显然，函数在上递增，从而得，即，解得，所以实数的取值范围是；【小问2详解】不等式，即，当时，，当时，不等式可化为，而，解得，当时，不等式可化为，当，即时，，，当，即时，或，当，即时，或， 所以，当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为.21.某食品公司拟在下一年度开展系列促销活动，已知其产品年销量x万件与年促销费用t万元之间满足与成反比例，当年促销费用万元时，年销量是1万件．已知每一年产品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件产品需再投入32万元的生产费用，若将每件产品售价定为：其生产成本的与“平均每件促销费的一半”之和，则当年生产的商品正好能销完．（1）求x关于t的函数；（2）将下一年的利润y（万元）表示为促销费t（万元）的函数；（3）该食品公司下一年的促销费投入多少万元时，年利润最大？（注：利润=销售收入-生产成本-促销费，生产成本=固定费用+生产费用）【答案】（1）（2）（3）当促销费投入7万元时，企业年利润最大【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可.（2）利用销售收入减去成本即得利润.（3）利用基本不等式处理该最值问题.【小问1详解】由题意：与成反比例，所以设，将t＝0，x＝1代入，得k＝2，所以.【小问2详解】当年生产x(万件)时，年生产成本为：， 当销售x(万件)时，年销售收入为：，由题意，生产x万件产品正好销完，且年利润＝年销售收入－年生产成本－促销费，所以即：.【小问3详解】由（2）有：因为，所以，当且仅当，即时，等号成立.所以，，即.所以当促销费投入7万元时，企业年利润最大．22.对任意实数a，b，定义函数，已知函数，，记．（1）若对于任意实数x，不等式恒成立，求实数m的取值范围；（2）若，且，求使得等式成立的x的取值范围；（3）在（2）的条件下，求在区间上的最小值．【答案】（1），（2）（3）【解析】【分析】（1）根据条件可得对任意的恒成立，利用根的判别式即可求出取值范围；（2）整理为，表示出，分类讨论即可；（3）由（2）得到，，，分类讨论求出 取值范围进而得最小值.【小问1详解】解：由题意可得，（2）恒成立，即对任意的恒成立，所以，解得，；【小问2详解】解：因为，所以，因为，，所以，时，；①当时，，所以，又因为，所以；②当时，，所以，因为，，所以，，所以上式不成立；综上可知，的取值范围是；【小问3详解】由（2）知，且，即，所以当时，，所以（1），当时，，①当时，又，即时，；②当时，即时，（6）；综上，，，，由，解得时，； 由，解得时，；当，即时，（6）；综上．【点睛】本题考查利用二次函数根的判别式求参数取值范围，考查新定义函数的最值，分类思想，属于难题．