山西省大同市2022-2023学年高二数学上学期期中考试试卷（Word版附答案）

大同市2022-2023年度高二期中测试题（卷）数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知平面和平面的法向量分别为，，则（）A．B．C．与相交但不垂直D．以上都不对2．椭圆和具有（）A．相同的离心率B．相同的焦点C．相同的顶点D．相同的长、短轴3．直线与圆相切，则的值是（）A．或12B．2或C．或D．2或124．已知点，，若过点的直线与线段AB相交，则直线的斜率的取值范围是（）A．B．C．或D．5．在空间四边形OABC中，，，，点在OA上，且，为BC中点，则（）A．B．C．D．6．设抛物线上的三个点，，到该抛物线的焦点的距离分别为，，，若，，的最大值为3，则的值为（）A．B．2C．3D．7．设和为双曲线的两个焦点，若点，，是等腰直角三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是（）A．B．C．D．8．鳖臑是指四个面都是直角三角形的三棱锥．如图，在鳖臑中，平面， ，D，E分别是棱AB，PC的中点，点是线段DE的中点，则点到直线AC的距离是（）A．B．C．D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．设，圆与圆的位置关系不可能是（）A．内切B．相交C．外切D．外离10．若方程所表示的曲线为，则下面四个命题错误的是（）A．若为椭圆，则B．若为双曲线，则或C．曲线可能是圆D．若为椭圆，且长轴在轴上，则11．若实数x，y满足，则（）A．的最大值为B．的最小值为C．的最大值为D．的最小值为12．已知是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为，，且，则（）A．的周长为12B．C．点到轴的距离为D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．直线，的斜率，是关于的方程的两根，若，则 ______．14．已知，，，则等于______．15．已知双曲线被直线截得的弦AB，弦的中点为，则直线AB的斜率为______．16．如图，在梯形ABCD中，，，，，将沿对角线BD折起，设折起后点的位置为，并且平面平面BCD．则下面四个命题中正确的是______．（把正确命题的序号都填上）①；②三棱锥的体积为；③；④平面平面．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知，，为平面内的一个动点，且满足．（1）求点的轨迹方程；（2）若直线为，求直线被曲线截得的弦的长度．18．（12分）如图，在正方体中，为的中点．（1）求证：平面ACE；（2）求直线AD与平面ACE所成角的正弦值．19．（12分） 已知点，椭圆的离心率为，是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为2，O为坐标原点．（1）求E的方程；（2）设过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点M、N，且，求的值．20．（12分）如图，在三棱锥中，侧面PAC是等边三角形，，．（1）证明：平面平面ABC；（2）若AC=2AB，则在棱PC上是否存在动点，使得平面MAB与平面ABC所成二面角的大小为45°．21．（12分）已知抛物线上的一点到它的焦点的距离为．（1）求的值；（2）过点作抛物线的切线，切点分别为P，Q，求证：直线PQ过定点．22．（12分）已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，且过点（1）求双曲线的方程；（2）过的两条相互垂直的直线分别交双曲线于点A，B和点C，D，M、N分别为AB、CD的中点，连接MN，过坐标原点作MN的垂线，垂足为，问：是否存在定点，使得为定值？若存在，求定点的坐标；若不存在，请说明理由． 大同市2022-2023年度高二期中测试题（数学）参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1．B2．A3．D4．D5．B6．C7．C8．B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．CD10．AD11．CD12．BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．-214．15．116．③④四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）解：（1）由题意可设点的坐标为，由及两点间的距离公式可得，整理得．（5分）（2）圆心到直线的距离， 所以弦的长度．（10分）18．（12分）解：（1）证明：连接BD交AC于点，连接EF，则，∵平面，平面，∴平面ACE．（6分）（2）以D为原点，、、所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则，，，，所以，，设为平面ACE的法向量，所以即令，则，，所以，所以，所以直线AD与平面ACE所成角的正弦值为．（12分）19．（12分）解：（1）由离心率，得，直线AF的斜率为，解得， ∴，，∴椭圆的方程为．（4分）（2）[答案]设直线，，，则整理得，∵、是不同的两点，∴判别式，得，∴，，∴，整理得，解得或（舍去），∴．（12分）20．（12分）解：（1）证明：取AC的中点，连接PO，BO，因为为等边三角形，所以，在中，有，又因为，所以，所以，即，又因为，，所以平面ABC，又因为平面PAC，所以平面平面ABC．（6分）（2）不妨设，在中，，所以，在底面ABC内作于点，则OD，OC，OP两两垂直，以点为原点，OD所在的直线为轴，OC所在的直线为轴，OP所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则，，， 所以，，，，设，则，设平面MAB的法向量为，所以，令，可得，，所以，易知平面ABC的一个法向量为，所以，整理可得，即，解得或（舍去）．所以，所以当时，二面角的大小为45°．（12分）21．（12分）解：（1）∵抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离，∴，∴，∴．（2）证明：由题意得，过点的抛物线的切线的斜率存在，故可设切线方程为，代入得，．∵直线与拋物线相切，∴得，即．∴，代入并化简得，解得，设直线NP，NQ的斜率分别为，，则． ∴，，当时，直线PQ的方程为，整理得，，即．∴直线PQ过定点．当时，直线PQ的方程为，过点．综上可得，直线PQ过定点．（12分）22．（12分）解：（1）由题可知，所以双曲线的方程是．（4分）（2）[答案]存在定点，使得为定值．由题意可知，若直线AB和CD其中一条没有斜率，则点的坐标为，直线MN的方程为．当直线AB和CD的斜率都存在时，因为点，所以设直线AB的方程为，则直线CD的方程为，设，，， 联立得，所以，，故，．设，，，同理可得，，故，所以，所以直线MN的方程为，化简得，可知直线MN过定点．又，所以点的运动轨迹是以点为圆心，为直径的圆，所以存在定点，使得为定值．（12分）