湖北省武汉市部分重点中学2022-2023学年高二数学上学期期中联考试卷（Word版附答案）

武汉市部分重点中学2022-2023学年度上学期期中联考高二数学试卷命题学校：省实验中学考试时间：2022年11月9日下午15:00—17:00试卷满分：150分★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卷指定位置，认真核对与准考证号条形码上的信息是否一致，并将准考证号条形码粘贴在答题卷上的指定位置．2．选择题的作答：选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试题卷上无效．3．非选择题的作答：用黑色墨水的签字笔直接答在答题卷上的每题所对应的答题区域内，答在试题卷上或答题卷指定区域外无效．4．考试结束，监考人员将答题卷收回，考生自己保管好试题卷，评讲时带来．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线在x轴上的截距是（）A．1B．C．D．22．双曲线的焦点坐标是（）A．B．C．D．3．已知，，则向量与的夹角为（）A．B．C．D．4．若曲线与曲线有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D． 5．对于直线m，n和平面，，的一个充分条件是（）A．，，B．，，C．，，D．，，6．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，若A为线段BF的中点，且，则C的离心率为（）A．B．2C．D．37．已知点P在直线上运动，点E是圆上的动点，点F是圆上的动点，则的最大值为（）A．6B．7C．8D．98．在正四面体中，点E在棱AB上，满足，点F为线段AC上的动点，则（）A．存在某个位置，使得B．存在某个位置，使得C．存在某个位置，使得直线DE与平面DBF所成角的正弦值为D．存在某个位置，使得平面DEF与平面DAC夹角的余弦值为二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．方程表示圆，则实数a的可能取值为（）A．4B．2C．0D．10．若直线m被两平行直线与所截得的线段长为，则直线m的倾斜角可以是（）A．B．C．D． 11．已知椭圆，，分别为它的左、右焦点，A，B分别为它的左、右顶点，点P是椭圆上的一个动点，下面结论中正确的有（）A．的最小值为8B．的最小值为C．若，则的面积为D．直线PA与直线PB斜率乘积为定值12．如图，已知正方体的棱长为1，点M为棱AB的中点，点P在侧面及其边界上运动，则下列选项中正确的是（）A．存在点P满足B．存在点P满足C．满足的点P的轨迹长度为D．满足的点P的轨迹长度为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是________．14．过点做圆的两条切线，切点分别为M，N，则________．15．两条异面直线a，b所成角为，在直线a，b上分别取点，E和点A，F，使，且．已知，，，则线段的长为________． 16．城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此乘坐出租车时往往不能沿直线到达目的地，只能按直角拐弯的方式行进．在平面直角坐标系中，定义，之间的“出租车距离”为．已知，则到点A，B“距离”相等的点的轨迹方程为________，到A，B，C三点“距离”相等的点的坐标为________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知双曲线C的焦点在x轴上，焦距为4，且它的一条渐近线方程为．（1）求C的标准方程；（2）若直线与双曲线C交于A，B两点，求．18．（12分）已知的顶点，重心．（1）求线段BC的中点坐标；（2）记的垂心为H，若B、H都在直线上，求H的坐标．19．（12分）如图，四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，，，．（1）求证：平面ABCD；（2）求直线BD与平面BPC所成角的正弦值．20．（12分）如图，已知圆，点P为直线上一动点，过点P作圆O的切线，切点分别为M，N，且两条切线PM，PN与x轴分别交于A，B两点． （1）当P在直线上时，求的值；（2）当P运动时，直线MN是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．21．（12分）已知正四棱柱中，，，E点为棱AB中点．（1）求二面角的余弦值；（2）连接EC，若P点为直线EC上一动点，求当P点到直线距离最短时，线段EP的长度．22．（12分）已知椭圆过点，过其右焦点F且垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，且．（1）求椭圆C的方程；（2）若矩形MNPQ满足各边均与椭圆C相切，求该矩形面积的最大值，并说明理由． 武汉市部分重点中学2022—2023学年度上学期期中联考高二数学试卷参考答案及评分标准一、二选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.题号123456789101112答案CCABDBDCADBDABCABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.14.15.或16.（2分）；（3分）四、解答题：共70分.解答题：17.（10分）解：（1）因为焦点在轴上，设双曲线的标准方程为，由题意得， 又双曲线的一条渐近线为，联立上述式子解得，，故所求方程为；···········4分（2）设，，联立，整理得，由，所以，，即.···········10分18.（12分）解：（1）设，且，由重心定义得，解得，记线段的中点为，则，即；···········4分（2）设，由（1）得，，，解得，即，，, ，，即.···········12分19.（12分）解：（1）由于，，所以，由于，，，所以，所以，由，得.取的中点为，连接，因为底面是直角梯形，，且，所以四边形为正方形，所以，，在中，，故，所以在中，，即，由于，，所以；········4分（2）由（1）可知两两垂直，所以建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为，则，即，令，可得， 设直线与平面的夹角为，，所以直线与平面所成角的正弦值为.···········12分20.（12分）解：（1）联立两条直线方程，解得，设切线方程为，则圆心到切线的距离解得，所以，令，解得，则；···········4分（2）分析知在以为圆心，为半径的圆上，设，，，，即在圆上，联立，得，所以过定点.···········12分21.（12分）解：（1）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 设平面的法向量为，则，即，令，得，设平面的法向量为，则，即，令，得，设二面角的平面角为，则.···········5分（2）设，则，，令，设点到直线的距离为，则，整理得，. ···········12分22.（12分）解：（1）由题意：椭圆过点，又过点，有，变形，得代入，得，即，，解得，则，所以椭圆方程；···········4分（2）①当MN的斜率为0或不存在时，此时，②当MN的斜率存在且不为0时，设直线MN：，联立消去y得，，化简得，所以两平行线MN和PQ的距离，以代替k，两平行线MQ和NP的距离，所以矩形MNPQ的对角线，根据基本不等式，所以当，即，矩形MNPQ面积的最大值为.···········12分