湖南省张家界市2021-2022学年高一数学上学期期末试卷（Word版附解析）

张家界市2021年普通高中一年级第一学期期末联考数学试卷本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由交集的定义计算．【详解】由已知．故选：C．2.函数的定义域是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】 【分析】由题可得，即得.【详解】∵，∴，解得，且，所以函数的定义域为.故选：D.3.下列函数中在上是增函数的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据指数函数，二次函数，余弦函数的性质判断即可.【详解】因为底数大于1的指数函数为上的增函数，所以函数为上是增函数，A对，函数在上为减函数，B错，函数在上为减函数，C错，函数在上为减函数，D错，故选：A.4.命题“”的否定是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据命题的否定的定义判断．【详解】全称命题的否定是特称命题． 因此命题“”的否定是：．故选：C．5.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先判断能否推出，再判断能否推出，由此确定正确选项.【详解】当时，，，所以，又能推出，所以“”是“”的必要不充分条件，故选：B.6.已知，，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据对数的单调性，指数函数的单调性，求解即可.【详解】因为，，所以．故选：A7.已知扇形的周长为4，当扇形的面积最大时，扇形的圆心角等于A.B.C.1D.2【答案】D【解析】【详解】设半径 弧长扇形面积对称轴是时，面积有最大值半径弧长扇形的中心角的弧度数.8.已知函数的定义域为，，当时，有，则不等式的解集为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】构造函数，可得函数在上单调递减，由题可得，即求.【详解】∵当时，有，∴，即，令，则当时，，∴函数在上单调递减，由，知，可得，又，所以， ∴，∴，解得.故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列命题为真命题的是（）A.若，则B.若，，则C.若，则D.若，则【答案】ACD【解析】【分析】利用不等式的性质或举反例的方法来判断各选项中不等式的正误.【详解】由不等式性质知若，则，即，A对，取，则，，，B错，因为，所以，所以(当且仅当时等号成立)，而，故，C对，因为，所以，，所以，D对，故选：ACD.10.已知幂函数图象过点，则下列命题中正确的有（）A.B.函数的定义域为C.函数为偶函数D.若，则【答案】AD【解析】 【分析】由题可得，利用函数的性质逐项判断即得.【详解】∵幂函数图象过点，∴，即，∴，故A正确；又函数的定义域为，故B错误；函数为非奇非偶函数，故C错误；当时，，故D正确.故选：AD.11.若下列各式左右两边均有意义，则其中恒成立的有（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】分析】根据三角函数恒等变换公式逐个选项加以判断.【详解】，A对，，B错，，C对，，D对，故选：ACD.12.高斯是德国著名的数学家，人们称他为“数学王子”，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家.用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数（例如：，），则称为高斯函数．已知函数， ，下列结论中不正确的是（）A.函数是周期函数B.函数的图象关于直线对称C.函数的值域是D.函数只有一个零点【答案】AB【解析】【分析】由题可知函数为偶函数，结合条件可得，然后逐项判断即得.【详解】∵，∴，∴函数为偶函数，不是周期函数，是周期函数，对于，当时，，当时，， ∴，由函数为偶函数，函数是偶函数，时函数成周期性，但起点为，所以函数不是周期函数，故选项A不正确；由函数是偶函数，函数的图象关于对称，由，，故函数的图象不关于对称，故B不正确；由上可知函数的值域是，故C正确；由可得，，当时，，，当时，，，当时，，，故直线与的图象只有一个交点，即函数只有一个零点，故D正确.故选：AB.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用正弦函数的性质分析函数的图象和性质，进而利用高斯函数的定义可得函数的性质即得.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，则______．【答案】1【解析】【分析】由分段函数定义行计算出和，然后可得结论．【详解】由题意，，所以．故答案为：1． 14.已知，则的最小值为___________.【答案】【解析】【分析】由可得，将整理为，再利用基本不等式即可求解.【详解】因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.15.已知函数的部分图象如图所示，则______，______．【答案】①.2②.【解析】 【分析】根据函数图象，由，求得周期，进而得到，再根据点可求，即得.【详解】由图象知：，所以，则，所以，因为点在图象上，利用“五点法”可得，，又，所以，，所以.故答案为：2；.16.酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定∶100mL血液中酒精含量达到20~79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到1mg/mL．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过_____小时才能驾驶．（注∶不足1小时，按1小时计算，如计算结果为7.3，就答8小时）参考数据∶取lg0.2=-0.699，lg0.3=-0.523，lg0.6=-0.229，lg0.7=-0.155【答案】5【解析】【分析】根据题意先探究出酒精含量的递减规律，再根据能驾车的要求，列出模型求解.【详解】因为1小时后血液中酒精含量为（1-30%）mg/mL,x小时后血液中酒精含量为（1-30%）xmg/mL，由题意知100mL血液中酒精含量低于20mg的驾驶员可以驾驶汽车， 所以，两边取对数得，，，所以至少经过5个小时才能驾驶汽车.故答案为：5四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合，（）．（1）当时，求和；（2）是否存在实数，使得集合？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1），=或（2）存在，【解析】【分析】(1)代入，根据集合的运算律求解，(2)假设存在实数，使得集合，列方程求实数，由此可得结果.【小问1详解】当时，，∵∴=或（注：结果正确，用区间表示同样给分．）【小问2详解】假设存在实数满足条件，∵，由，有由，则 解得：故存在，使得集合．18.在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答．已知为第二象限角，_____________．（1）求和的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用同角关系式及三角函数在各象限的符号即求；（2）利用两角和公式展开即求.【小问1详解】选择①，法一：联立与，解得：或，∵为第二象限的角，∴；法二：由及已知得：，∵为第二象限的角，∴，，联立，得：；选择②， 联立与，解得：∵为第二象限的角，∴；【小问2详解】∵，∴．19.设函数，且．（1）求a的值，并求函数的定义域；（2）用单调性的定义证明：函数在区间上单调递减．【答案】（1）a=2，；（2）证明见解析【解析】【分析】(1)由函数值求参数，通过真数大于零求得函数定义域；(2)通过函数单调性定义证明函数的单调性.【小问1详解】由，得：∴解，得：∴的定义域为；【小问2详解】设（），则∵∴∴∴即∴=在区间上单调递减． 20.已知关于x的不等式的解集为．（1）求的值；（2）解关于x的不等式：．【答案】（1）（2）答案不唯一，详见解析【解析】【分析】(1)由韦达定理求参数；(2)求解含参数的一元二次不等式，讨论参数.【小问1详解】∵关于x的不等式的解集为∴－1，2为方程的两个根∴解得：；【小问2详解】由（1）知，不等式即为∵方程的两根为①当时，有；②当时，；③当时，有.综上所述，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为．21.已知函数．（1）求函数的最小正周期，并求的单调递减区间；（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域； （3）对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为，试确定n的值，并求的值．【答案】（1），；（2）；（3）5，.【解析】【分析】（1）利用正弦函数的性质即得；（2）根据三角函数的图象变换得到，再结合正弦函数的图象性质求解值域即可；（3）结合三角函数图象，画图分析的位置，再根据对称性的性质结论求解即可.【小问1详解】∵，∴，由得：，∴的单调递减区间为；【小问2详解】将函数的图像向右平移个单位长度，可得的图像，再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图像，当时，，当时，函数取得最小值，最小值为，当时，函数取得最大值，最大值为， 故函数的值域.【小问3详解】由方程，得，即，因为，可得，设，其中，即，结合函数的图像，可得方程在区间有5个解，即，其中，即，解得，所以.22.已知函数为奇函数．（1）求实数k的值；（2）若对，不等式恒成立，求实数m的最大值；（3）若函数在有零点，求实数的取值范围．【答案】（1）1（2）26（3） 【解析】【分析】（1）由奇函数的性质求得参数值，然后检验函数是否满足题意即得；（2）用分离参数变形不等式，转化为求函数的最值，得参数范围；（3）用换元法，设，由函数单调性求得范围，问题转化为关于的函数有零点，分离参数后求函数值域即得．【小问1详解】因为是奇函数，所以，解得：，此时符合题意；【小问2详解】原问题即为，即恒成立，则设，∵∴，则∵∴当时，y取得最小值26，要使不等式在上恒成立，则，即实数m的最大值为；【小问3详解】则，设，当时，函数为增函数，则若在有零点，则函数在上有零点，即，即， ∵，当且仅当时取等号∴，即的取值范围是.