重庆市2022-2023学年高三数学上学期第四次（12月）质量检测试卷（Word版附答案）

重庆市高2023届高三第四次质量检测数学试题2022.12命审单位：重庆南开中学注意事项：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．已知复数z满足：，其中i为虚数单位，则复数z的模（）A．1B．C．2D．2．已知集合，则集合的真子集个数为（）A．7B．8C．15D．163．已知直线与直线相互平行，则实数m的值是（）A．B．1C．D．64．公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的范围是：，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就．小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的前6位数字3，1，4，1，5，9进行某种排列得到密码．如果排列时要求两个1不相邻，那么小明可以设置的不同密码有（）个．A．240B．360C．600D．7205．已知函数，正实数a，b满足，则的最小值为（）A．1B．2C．4D． 6．已知函数，若关于x的方程有五个不同的实数根，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．7．已知点P为抛物线上一动点，点Q为圆上一动点，点F为抛物线的焦点，点P到y轴的距离为d，若的最小值为2，则（）A．B．C．D．8．已知数列满足，且，若不等式对于任意正整数成立，则的最小值为（）A．10B．12C．14D．16二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．9．下列说法正确的是（）A．数据1，3，5，7，9，11，13的第60百分位数为9B．已知随机变量服从二项分布：，设，则的方差C．用简单随机抽样的方法从51个体中抽取2个个休，则每个个体被抽到的概率都是D．若样本数据的平均数为2，则的平均数为810．已知函数，将函数图象上的所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的一半得到函数，且不等式对任意的恒成立，则下列说法正确的是（）A．B．为的一个零点 C．在上单调递增D．方程在上共有30个解11．已知函数有三个不同的极值点，且，则下列结论正确的是（）A．B．C．为函数的极大值点D．12．如图，过曲线右支上一点P作双曲线的切线l分别交两渐近线于A、B两点，交x轴于点D，分别为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．若存在点P，使，且，则双曲线C的离心率三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知平面向量满足，则向量的夹角为__________．14．已知正项等比数列的前n项和为，且，若，则__________．15．已知圆与圆相交于A，B两点，则________．16．已知是单位向量，满足，则 的最大值为________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知等差数列的前n项和为，公差，且满足成等比数列．（1）求；（2）求数列的前30项和．18．如图，四棱锥中，平面，，E为中点．（1）求证：平面；（2）若，求二面角的余弦值．19．在锐角中，a，b，c分别是的内角A，B，C所对的边，外接圆周长为，且．（1）求c；（2）记的面积为S，求S的取值范围．20．一款实景逃脱类游戏，密室逃脱可以因不同的设计思路衍生出不同的主题，从古墓科考到蛮荒探险，从窃取密电到逃脱监笼，玩家可以选择自己喜好的主题场景在规定时间内完成任务，获取奖励．李华同学和他的小伙伴们组团参加了一次密室逃脱游戏，他们选择了其中一种模式，该游戏共有三关，分别记为A，B，C，他们道过三关的概率依次为：．若其中某一关不通过，测游戏停止，游戏不通过．只有依次通过A，B，C三道关卡才能顺利通关整个游戏，并拿到最终奖励．现已知参加一次游戏的报名费为150元，最终奖励为400元．为了吸引更多的玩家来挑战该游戏，商家推出了一项补救活动，可以在闯关前付费购买通关币．游戏中，若某关卡不通过，则自动使用一枚通关币通过该关卡进入下一关．购买一枚通关币需另付100元，游戏结束后，剩余的未使用的通关币半价回收． （1）若李华同学购买了一枚通关币，求他们通过该游戏的概率．（2）若李华同学购买了两枚通关币，求他们最终获得的收益期望值．（收益等于所得奖励减去报名费与购买通关币所需费用）．21．已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若不等式对恒成立，求实数a的取值范围；（3）证明：当．22．已知椭圆的左右焦点分别为，右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，．（1）若的面积为，求椭圆的标准方程；（2）如图，过点作斜率的直线l交椭圆于不同两点M，N，点M关于x轴对称的点为S，直线交x轴于点T，点P在椭圆的内部，在椭圆上存在点Q，使，记四边形的面积为，求的最大值．重庆市高2023届高三第四次质量检测数学答案1-4BCAA5-8BCDC9-12ADBCACDBCD13．14．3115．16． 17．（1）（2）令18．（1）为等腰三角形E为中点面面∴面（2）由A点建立空间直角坐标系，，，，，易知面法向量设面法向量为则19．（1） （2） 则20．（1）．（2）记收益为xx可取150，100，50，．则21．（1）（2）可知在单增 （3）先证即令则故22．（1） （2）令易知，，设； ．代入：则原式则∴