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人教八下数学17.1 第2课时勾股定理的应用教案
人教八下数学17.1 第2课时勾股定理的应用教案
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第2课时 勾股定理的应用第4页共4页1.熟练运用勾股定理解决实际问题;(重点)2.掌握勾股定理的简单应用,探究最短距离问题.(难点) 一、情境导入如图,在一个圆柱石凳上,若小明在吃东西时留下了一点食物在B处,恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息,于是它想从A处爬向B处,你们想一想,蚂蚁怎么走最近?二、合作探究探究点一:勾股定理的实际应用【类型一】勾股定理在实际问题中的应用如图,在离水面高度为5米的岸上,有人用绳子拉船靠岸,开始时绳子BC的长为13米,此人以0.5米每秒的速度收绳.问6秒后船向岸边移动了多少米(假设绳子始终是直的,结果保留根号)?解析:开始时,AC=5米,BC=13米,即可求得AB的值,6秒后根据BC,AC长度即可求得AB的值,然后解答即可.解:在Rt△ABC中,BC=13米,AC=5米,则AB==12米.6秒后,B′C=13-0.5×6=10米,则AB′==5(米),则船向岸边移动的距离为(12-5)米.方法总结:本题直接考查勾股定理在实际生活中的运用,可建立合理的数学模型,将已知条件转化到同一直角三角形中求解.【类型二】利用勾股定理解决方位角问题如图所示,在一次夏令营活动中,小明坐车从营地A点出发,沿北偏东60°方向走了100km到达B点,然后再沿北偏西30°方向走了100km到达目的地C点,求出A、C两点之间的距离.解析:根据所走的方向可判断出△ABC是直角三角形,根据勾股定理可求出解.第4页共4页 解:∵AD∥BE,∴∠ABE=∠DAB=60°.∵∠CBF=30°,∴∠ABC=180°-∠ABE-∠CBF=180°-60°-30°=90°.在Rt△ABC中,AB=100km,BC=100km,∴AC===200(km),∴A、C两点之间的距离为200km.方法总结:先确定△ABC是直角三角形,再根据各边长,用勾股定理可求出AC的长.【类型三】利用勾股定理解决立体图形最短距离问题如图,长方体的长BE=15cm,宽AB=10cm,高AD=20cm,点M在CH上,且CM=5cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M,需要爬行的最短距离是多少?解:分两种情况比较最短距离:如图①所示,蚂蚁爬行最短路线为AM,AM==5(cm),如图②所示,蚂蚁爬行最短路线为AM,AM==25(cm).∵5>25,∴第二种短些,此时最短距离为25cm.答:需要爬行的最短距离是25cm.方法总结:因为长方体的展开图不止一种情况,故对长方体相邻的两个面展开时,考虑要全面,不要有所遗漏.不过要留意展开时的多种情况,虽然看似很多,但由于长方体的对面是相同的,所以归纳起来只需讨论三种情况:前面和右面展开,前面和上面展开,左面和上面展开,从而比较取其最小值即可.【类型四】运用勾股定理解决折叠中的有关计算如图,四边形ABCD是边长为9的正方形纸片,将其沿MN折叠,使点B落在CD边上的B′处,点A的对应点为A′,且B′C=3,则AM的长是( )第4页共4页 A.1.5 B.2 C.2.25 D.2.5解析:连接BM,MB′.设AM=x,在Rt△ABM中,AB2+AM2=BM2.在Rt△MDB′中,MD2+DB′2.∵MB=MB′,∴AB2+AM2=BM2=B′M2=MD2+DB′2,即92+x2=(9-x)2+(9-3)2,解得x=2,即AM=2.故选B.方法总结:解题的关键是设出适当的线段的长度为x,然后用含有x的式子表示其他线段,然后在直角三角形中利用勾股定理列方程解答.【类型五】勾股定理与方程思想、数形结合思想的应用如图,在树上距地面10m的D处有两只猴子,它们同时发现地面上C处有一筐水果,一只猴子从D处向上爬到树顶A处,然后利用拉在A处的滑绳AC滑到C处,另一只猴子从D处先滑到地面B,再由B跑到C,已知两猴子所经过的路程都是15m,求树高AB.解析:在Rt△ABC中,∠B=90°,则满足AB2+BC2=AC2.设BC=am,AC=bm,AD=xm,根据两只猴子经过的路程一样可列方程组,从而求出x的值,即可计算树高.解:在Rt△ABC中,∠B=90°,设BC=am,AC=bm,AD=xm.∵两猴子所经过的路程都是15m,则10+a=x+b=15m.∴a=5,b=15-x.又∵在Rt△ABC中,由勾股定理得(10+x)2+a2=b2,∴(10+x)2+52=(15-x)2,解得x=2,即AD=2米.∴AB=AD+DB=2+10=12(米).答:树高AB为12米.方法总结:勾股定理表达式中有三个量,如果条件中只有一个己知量,通常需要巧设未知数,灵活地寻找题中的等量关系,然后利用勾股定理列方程求解.探究点二:勾股定理与数轴如图所示,数轴上点A所表示的数为a,则a的值是( )A.+1B.-+1C.-1D.解析:先根据勾股定理求出三角形的斜边长,再根据两点间的距离公式即可求出A点的坐标.图中的直角三角形的两直角边为1和2,∴斜边长为=,∴-1到A的距离是.那么点A所表示的数为-1.故选C.方法总结:本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式,解答此题时要注意,确定点A的位置,再根据A的位置来确定a的值.三、板书设计第4页共4页 1.勾股定理的应用方位角问题;路程最短问题;折叠问题;数形结合思想.2.勾股定理与数轴本节课充分锻炼了学生动手操作能力、分类比较能力、讨论交流能力和空间想象能力,让学生充分体验到了数学思想的魅力和知识创新的乐趣,突现教学过程中的师生互动,使学生真正成为主动学习者.第4页共4页
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初中 - 数学
发布时间:2023-02-10 16:22:02
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文章作者:随遇而安
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