人教八下数学第十七章勾股定理小结与复习课件1

小结与复习第十七章勾股定理 回顾整个单元的学习内容，补充知识结构图：直角三角形性质判定角边角边勾股定理知识结构图勾股定理的逆定理互逆定理 知识回顾1.如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么_____________.a2+b2=c2在直角三角形中才可以运用2.勾股定理的应用条件：___________________________一、勾股定理3.勾股定理表达式的常见变形：a2＝c2－b2，b2＝c2－a2，ABCcab 二、勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.2.勾股数3.原命题与逆命题如果两个命题的题设、结论正好相反，那么把其中一个叫做原命题，另一个叫做它的逆命题.ABCcab 考点一勾股定理及其应用考点讲练例1Rt△ABC中，斜边BC=2，则AB2+AC2+BC2的值为()A.8B.4C.6D.无法计算A分析：在Rt△ABC中，BC2=AB2+AC2AB2+AC2+BC2=2BC2=8ABC 例2一直角三角形的三边分别为2、3、x，那么以x为边长的正方形的面积为___________.5或13分析：题目没有告诉斜边长，则需要分两种情况讨论：当斜边长为3时，以x为边长的正方形的面积=x2，x2=32-22=5；当斜边长为x时，以x为边长的正方形的面积=x2，x2=32+22=13. 例3在O处的某海防哨所发现在它的北偏东60°方向相距1000米的A处有一艘快艇正在向正南方向航行，经过若干小时后快艇到达哨所东南方向的B处.(1)此时快艇航行了多少米？分析：将实际问题转化为几何问题已知：OA=1000米，∠AOC=30°，∠COB=45°，AB⊥OC.求解：AB的长.北东OAB60°45°C30° 解：根据题意得∠AOC=30°，∠COB=45°，AO=1000米.∴AC=500米，BC=OC.在Rt△AOC中，由勾股定理得∴BC=OC=(米).北东OAB60°45°C已知：OA=1000米，∠AOC=30°，∠COB=45°，AB⊥OC.求解：AB的长.30°∴AB=AC+BC=(米). (2)此时快艇距离哨所多少米？解：在Rt△BOC中，由勾股定理得北东OAB60°45°C分析：将实际问题转化为几何问题，即求OB的长. 练一练1.已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，求△ABC的面积.解：∵a+b=14，∴(a+b)2=196.又∵a2+b2=c2=100，∴2ab=196-(a2+b2)=96，∴ab=24，即△ABC的面积为24cm2． 2.如图，在△ABC中，AB∶BC∶CA=3∶4∶5，且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒2cm的速度移动，点Q从点C沿CB边向点B以每秒1cm的速度移动，如果同时出发，则过3s时，求PQ的长．解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，∵周长为36cm，即AB+BC+AC=36cm，∴3x+4x+5x=36，解得x=3.∴AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm.∵AB2+BC2=AC2，∴△ABC是直角三角形，过3秒时，BP=9-3×2=3(cm)，BQ=12-1×3=9(cm)，在Rt△PBQ中，由勾股定理得 解：当高AD在△ABC内部时，如图①.在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD2＝AB2－AD2＝202－122＝162，∴BD＝16.在Rt△ACD中，由勾股定理，得CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81，∴CD＝9.∴BC＝BD＋CD＝25，∴△ABC的周长为25＋20＋15＝60.3.在△ABC中，AB＝20，AC＝15，AD为BC边上的高，且AD＝12，求△ABC的周长． 题中未给出图形，作高构造直角三角形时，易漏掉钝角三角形的情况．如在本例题中，易只考虑高AD在△ABC内的情形，忽视高AD在△ABC外的情形.当高AD在△ABC外部时，如图②.同理可得BD＝16，CD＝9.∴BC＝BD－CD＝7，∴△ABC的周长为7＋20＋15＝42.综上所述，△ABC的周长为42或60.注意 例1判断：满足下列条件的△ABC是否一定是直角三角形？(一定是的打“√”，不确定的打“×”)()(2)∠A=35°，∠B=55°；()(3)∠A=45°，BC=5；()(4)AB=8，AC=17，BC=15.()×√√×考点二勾股定理的逆定理及其应用 例2如图，在四边形ABCD中，AB=20cm，BC=15cm，CD=7cm，AD=24cm，∠ABC=90°．猜想∠BAD与∠BCD的关系，并加以证明．分析：连接AC.201572425AB=20，BC=15，∠ABC=90°∠ABC=90°勾股定理AC=25AD=24CD=7△ADC是直角三角形 201572425解：猜想∠BAD+∠BCD=180°．证明如下：连接AC.在Rt△ABC中，由勾股定理得∴AD2+DC2=625=252=AC2．∴△ADC是直角三角形，且∠D=90°．∵∠DAB+∠B+∠BCD+∠D=360°，∴∠BAD+∠BCD=180°． 例3B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8nmile的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15nmile的速度前进，2h后，甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34nmile，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？北东OAB60°45°C30° 解：甲船航行的距离为BM=16(nmile)，乙船航行的距离为BP=30(nmile)．∵162+302=1156，342=1156，∴BM2+BP2=MP2，∴△MBP为直角三角形，∴∠MBP=90°，∴乙船是沿着南偏东30°方向航行的． 1.已知a，b，c是△ABC的三边长，如果，那么△ABC()A.是以a为斜边的直角三角形B.是以b为斜边的直角三角形C.是以c为斜边的直角三角形D.不是直角三角形练一练C 2.如图，在△ABC中，已知∠A为钝角，边AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E.如果DE2=BD2+EC2，那么∠A的度数是_________.135° 3.写出下列命题的逆命题，并指出这些逆命题的真假.(1)如果两个角是直角，那么它们相等；(2)如果两个实数相等，那么它们的平方相等；解：如果两个角相等，那么它们是直角.假命题解：如果两个实数的平方相等，那么它们就相等.假命题 4.如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=6，AC=10，AD=CD=，求四边形ABCD的面积.∴△ABC是直角三角形，且∠B是直角.∴△ADC是直角三角形，且∠D是直角.∴S四边形ABCD= 1.如图，已知等腰直角三角形ABC，∠ABC＝90°，AB＝1，以Rt△ABC的斜边AC为腰向外作等腰三角形ACD.依次作下去，则第4个等腰直角三角形的面积S4=_________；第10个等腰直角三角形的面积S10=_________；第n个等腰直角三角形的面积Sn=_________.ABCD拓展延伸 Dn⑩...2-1202122S10=28...Sn=2n-2面积=边长2边长序号S1=①1S3=22③S2=1②④S4=4指数比序号少21ABCS1S2S3S424