人教八下数学第十七章《勾股定理》专题课件

综合专题讲解第十七章勾股定理 专题一：勾股定理的方程思想专题二：最短路径专题目录 例1如图，在长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，求△ABE的面积.分析：39x9-x求△ABE的面积求AE的长，设AE=xBE=ED=9-x9-x在Rt△ABE中，BE2=AB2+AE232+x2=(9-x)2专题一：勾股定理的方程思想 解：由折叠可知ED=BE.设AE=xcm，则ED=BE=(9-x)cm．在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2，∴32+x2=(9-x)2，解得x=4.∴△ABE的面积为×3×4=6(cm2).39x9-x9-x 【应对策略】勾股定理可以直接解决直角三角形中已知两边求第三边的问题；如果只知一边和另两边的关系时，往往要通过勾股定理列方程去求解． 例2如图，在△ABC中，AB=17，BC=9，AC=10，AD⊥BC于D.试求△ABC的面积．分析：求△ABC的面积17910求AD的长观察图形，AD既是Rt△ABD的一直角边也是Rt△ACD的一直角边AB2-BD2=AC2-CD2设CD=x，列方程求解 解：在Rt△ABD和Rt△ACD中，AB2-BD2=AD2，AC2-CD2=AD2．设CD=x，则BD=9+x．故172-(9+x)2=102-x2，解得x=6.∴AD2=AC2−CD2=64．∴AD=8.∴S△ABC=×9×8=36．17910x 例3如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=3cm，动点P从点B出发，沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为ts，当t=________s时，△ABP为直角三角形.分析：使△ABP为直角三角形，且动点P在射线BC上运动，则需分两种情况讨论：①∠APB=90°；②∠BAP=90°；分别求出此时t的值. 解：∵∠C=90°，AB=5cm，AC=3cm，∴BC=4cm.①当∠APB=90°时，点P与点C重合，BP=BC=4cm，∴t=4÷2=2s.53 ②当∠BAP=90°时，BP=2tcm，CP=(2t-4)cm，AC=2tcm，在Rt△ACP中，AP2=AC2+CP2=32+(2t-4)2.在Rt△BAP中，AP2=BP2-AB2=(2t)2-52.32+(2t-4)2=(2t)2-52，解得t=综上，当t=2s或者时，△ABP为直角三角形.53 1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=8.斜边AB中的垂直平分线交BC于点D，则CD=_________.ABC3练一练 解：(1)如图①作AD⊥BC，∵AB=AC=5，BC=8，∴BD=CD=4cm.∴由勾股定理得AD=3.∴S△ABC=BC·AD=×3×8=12.2.如图，等腰三角形ABC的底边长为8cm，腰长为5cm，一动点P在底边上从点B向点C以1cm/s的速度移动.(1)求△ABC的面积；(2)请你探究：当点P运动多长时间时，点P与顶点A的连线PA与腰垂直？D535 (2)分两种情况讨论：如图①，当点P运动t秒后有PA⊥AC，BP=t，PC=8-t，PD=4-t，∵AP2=PD2+AD2=PC2-AC2，∴(4-t)2+32=(8-t)2-52.∴t=1.75.∴PD=2.25.如图②，当点P运动t秒后有PA⊥AB时，同理可证得PD=2.25.∴BP=4+2.25=6.25.∴t=6.25.综上所述，当P运动1.75s或6.25s时，P点与顶点A的连线PA与腰垂直.D535图①图② 专题二：最短路径例3如图所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处，问怎样走路线最短？最短路线长为多少？①②③分析：根据展开图的不同形式，运用勾股定理算出最短路线长. 解析：蚂蚁由A点沿长方体的表面爬行到C1点，有三种方式：①沿ABB1A1和A1B1C1D1面；②沿ABB1A1和BCC1B1面；③沿AA1D1D和A1B1C1D1面，把三种方式分别展成平面图形，如下：①②③ 解：①在Rt△ABC1中，②在Rt△ACC1中，③在Rt△AB1C1中，∴沿路径①走路径最短，最短路径长为5.①②③ 例4如图，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=5，Q、R分别是AO、OB上的动点，求△PQR周长的最小值()A.5B.C.10D.分析：本题考查轴对称—最短路线的问题，综合应用了轴对称、等腰直角三角形以及勾股定理的有关知识.可过点P作关于OA、OB对称点，分别为M、N，当点R、Q在MN上时，△PQR周长为PR+RQ+QP=MN，此时周长最小. 解：分别做点P关于OA、OB的对称点M、N，连接OM、ON、MN，MN交OA、OB于点Q、R，连接PR、PQ，此时△PQR周长的最小值等于MN.由轴对称性质可得，OM=ON=OP=5，∠MOA=∠POA，∠NOB=∠POB，则∠MON=2∠AOB=2×45°=90°.在Rt△MON中，即△PQR周长的最小值等于. 例5△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE的长是()A.4.8B.4.8或3.8C.3.8D.5分析：本题考查勾股定理，等腰三角形的性质和面积法的应用，过点A作AF⊥BC于F，连接AP.首先由等腰三角形的性质得到BF=4，再有勾股定理求出AF的长，然后由面积法求解即可. ∵在Rt△ABC中，AB=AC=5，BC=8，∴BF=4.∴AF2=AB2-BF2=9.∴AF=3.∵S△ABC=S△ABP+S△APC∴×8×3=×5×PD+×5×PE∴12=×5×(PD+PE)，即PD+PE=4.8.解：如图，过点A作AF⊥BC于F，连接AP. 【应对策略】最短路径问题①根据展开图的不同形式，运用勾股定理算出最短路线长．②综合应用了轴对称(找对称点)、等腰直角三角形以及勾股定理的有关知识. 练一练1.有一圆柱体高为8cm，底面圆的半径为2cm，如图.在AA1上的点Q处有一只蜘蛛，QA1=3cm，在BB1上的点P处有粘住了一只苍蝇，PB=2cm.求蜘蛛爬到苍蝇处的最短路径长(π取3). 解：如图，沿AA1剪开，过Q作QM⊥BB1于M，连接QP.则PM=8-3-2=3(cm)，QM=A1B1=×2×π×2=6(cm)．在Rt△QMP中，由勾股定理得答：蜘蛛爬行的最短路径长是cm．M 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点M在AC边上，且AM=1，MC=4，动点P在AB边上，连接PC，PM，则PC+PM的最小值是()A.B.6C.D.7解：过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′=OC，连接MC′，交AB于P，此时MC′=PM+PC′=PM+PC的值最小，连接AC′. ∵CO⊥AB，AC=BC，∠ACB=90°，∴∠ACO=×90°=45°.∵CO=OC′，CO⊥AB，∴AC′=CA=AM+MC=5，∴∠OC′A=∠OCA=45°.∴∠C′AC=90°.∴C′A⊥AC.∴MC′=.∴PC+PM的最小值是. 3.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=5，BC=6，D为BC上一动点(不与B、C重合)，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，则DE+DF=__________.