人教八下数学17.1 第1课时勾股定理课件1

新知一览勾股定理勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理勾股定理勾股定理的逆定理的应用利用勾股定理作图或计算勾股定理在实际生活中的应用勾股定理的概念 17.1勾股定理第十七章勾股定理第1课时勾股定理人教版八年级（下） 《周髀算经》的第一章曾记载了一段对话，商高对周公姬旦说：“故折矩以为勾广三，股修四，径隅五”.数学文化在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”，斜边称为“弦”.按照商高的说法，如果勾长为三，股长为四，弦长必定是五.你知道为什么吗？ 国际数学家大会是最高水平的全球性数学科学学术会议.2002年在北京召开了第24届国际数学家大会.如图就是大会的会徽的图案.它由哪些基本图形组成？你见过这个图案吗？ 我们一起穿越回到2500年前，跟随毕达哥拉斯再去他那位老朋友家做客，看到他朋友家用等腰三角形砖铺成的地面（如图）：知识点1：勾股定理认识及验证观察右边地面的图形，猜想毕达哥拉斯发现了什么？ABC （图中每一格代表1cm2）RQPACB如图，在等腰三角形ABC中，∠C=90°，以AC为边作正方形P，以BC为边作正方形Q，以斜边AB为边作正方形R.观察图形进行填空.合作探究正方形Q的面积是_____个单位面积；正方形P的面积是_____个单位面积；正方形R中含有_____个小方块，正方形R的面积是_____个单位面积.1122 （图中每一格代表1cm2）SP+SQ=SRRQPACBAC2+BC2=AB2等腰直角三角形ABC三边长度之间存在什么关系吗？SP=AC2SQ=BC2SR=AB2上面三个正方形的面积之间有什么关系？以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积和，等于以斜边为正方形的面积. 请你类比上面的方法对一般直角三角形进行探索(每个小正方形的面积为单位1)：这两幅图中A，B的面积都好求，该怎样求C的面积呢？ 方法一：割方法二：补方法三：拼分割为四个直角三角形和一个小正方形.补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积.将几个小块拼成若干个小正方形，图中两块红色（或绿色）可拼成一个小正方形. 分析表中数据，你发现了什么？A的面积B的面积C的面积左图4913右图16925双击图标开始演示几何画板结论：以直角三角形两直角边为边长的两个小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积. 同学们发现的直角三角形三边的规律是否适用于所有的直角三角形呢？验证命题：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.两直角边的平方和等于斜边的平方.让我们跟着以前的数学家们用多种方法来证明这一命题. abbcabca证法1让我们跟着我国汉代数学家赵爽拼图，再用所拼的图形证明命题吧. abc∵S大正方形＝c2，S小正方形＝(b-a)2，∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，b-a证明：“赵爽弦图”通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积证明了这一命题，表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲！因此，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽. 证法2毕达哥拉斯证法，请先用手中的四个全等的直角三角形按图示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧. aaaabbbbcccc∴a2+b2+2ab=c2+2ab，∴a2+b2=c2.证明：∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab，S大正方形=4S直角三角形+S小正方形=4×ab+c2=c2+2ab， aabbcc∴a2+b2=c2.证法3美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：a2+b2=c2. 在我国又称商高定理，在外国则叫毕达哥拉斯定理，或百牛定理.a、b、c为正数abc归纳总结勾股定理公式变形如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2. 例1如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.(1)若a=b=5，求c；(2)若a=1，c=2，求b.解：(1)据勾股定理得(2)据勾股定理得CAB知识点2：利用勾股定理进行计算 (1)若a∶b=1∶2，c=5，求a；(2)若b=15，∠A=30°，求a，c.【变式题1】在Rt△ABC中，∠C=90°.设a=x，c=2x，(2x)2-x2=152，解：(1)设a=x，b=2xx2+(2x)2=52，(2)解得 【变式题2】在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.解：本题斜边不确定，需分类讨论：当AB为斜边时，如图①，当BC为斜边时，如图②，43ACB43CAB图①图②当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下一定要进行分类讨论，否则容易漏解.总结 求下列图中未知数x、y的值：解：由勾股定理可得81+144=x2，解得x=15.解：由勾股定理可得y2+144=169，解得y=5.练一练 1.下列说法中，正确的是（）A.已知a，b，c是三角形的三边，则a2+b2=c2B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方C.在Rt△ABC中，∠C=90°，所以a2+b2=c2D.在Rt△ABC中，∠B=90°，所以a2+b2=c2C2.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为cm².8cm10cm36 3.在△ABC中，∠C=90°.(1)若a=15，b=8，则c=.(2)若c=13，b=12，则a=.4.若直角三角形中，有两边长是5和7，则第三边长的平方为_________.17574或24 解：∵AE＝BE，∴S△ABE＝AE·BE＝AE2.又∵AE2＋BE2＝AB2，∴2AE2＝AB2.∴S△ABE＝AB2＝.同理可得S△AHC＋S△BCF＝AC2＋BC2.又∵AC2＋BC2＝AB2，∴阴影部分的面积为AB2＝.如图，以Rt△ABC的三边长为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝3，求△ABE及阴影部分的面积.能力提升 关于今天学习的勾股定理，你还知道更多的信息吗？①是联系数学最基本、最原始的两个对象—“数”与“形”的第一定理，开创了“数形结合”的先河，被誉为“千古第一定理”；②是揭示三角形中边与边之间一种特殊关系的定理；③有500余种证明方法，是数学中证明方法最多定理之一；④推动无理数的发现，引发第一次数学危机；⑤被大数学家罗华庚先生认为可以作为人类探寻“外星人”并与“外星人”沟通的语言；⑥在中国北京举行的第24届国际数学大会(被誉为数学界的“奥运会”)选用图案作为会标；⑦美国第二十任总统加菲尔德在任众议院议员时给出了一种证法，被称为总统证明法. 勾股定理内容符号语言：在Rt△ABC中，∠C=90°，______________注意在直角三角形中看清哪个角是直角已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论a2+b2=c2.abc 更多练习可见专题讲解