人教八下数学16.1 第1课时二次根式的概念导学案

第十六章二次根式16.1二次根式第1课时二次根式的概念学习目标：1.理解二次根式的概念；2.掌握二次根式有意义的条件；3.会利用二次根式的非负性解决相关问题.重点：理解二次根式的概念及有意义的条件.难点：利用二次根式的有意义的条件及其非负性解题.自主学习一、知识链接1.什么叫做平方根？2.什么叫做算术平方根？什么数有算术平方根？二、新知预习1.用带根号的式子填空:(1)如图①的海报为正方形，若面积为2m2,则边长为m；若面积为Sm2，则边长为______m．图图(2)如图②的海报为长方形，若长是宽的2倍，面积为6m2，则它的宽为_____m．(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系h=5t2，如果用含有h的式子表示t，那么t为_____．2.自主归纳：（1）二次根式的概念：一般地，我们把形如的式子叫作二次根式.“____”称为二次根号.（2）二次根式的双重非负性：二次根式的被开方数为________数,二次根式的值为_________数. 三、自学自测1.下列各式中是二次根式的是（　　）A.B.C.D.2.二次根式有意义的条件是_____________.四、我的疑惑____________________________________________________________课堂探究一、要点探究探究点1：二次根式的意义及有意义的条件问题1分别表示什么意义？问题2这些式子有什么共同特征？要点归纳：一般地，我们把形如的式子叫作二次根式.“”称为_______.典例精析例1下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？方法总结:判断二次根式是，抓住二次根式两个必备特征：①外貌特征：含有“”；②内在特征：被开方数a≥0.例2当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义?变式题1当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ 方法总结:要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若式子为分式，应同时考虑分母不为零.【变式题】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？方法总结:被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.针对训练1.下列各式:一定是二次根式的有()A.3个B.4个C.5个D.6个2.(1)若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________;(2)若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________.探究点2：二次根式的双重非负性问题1：当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢？问题2：二次根式的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？要点归纳：二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式，我们知道：（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a____0；（2）表示一个数或式的算术平方根，可知_____0.典例精析例3若，求a-b+c的值.方法总结:多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式. 例4已知y=,求3x+2y的算术平方根.【变式题】已知a，b为等腰三角形的两条边长，且a，b满足，求此三角形的周长．方法总结:若，则根据被开方数大于等于0，可得a=0.针对训练已知|3x-y-1|和互为相反数，求x+4y的平方根．二、课堂小结当堂检测1.下列式子中，不属于二次根式的是（） 1.式子有意义的条件是（）A.x＞2B.x≥2C.x＜2D.x≤23.当x=____时，二次根式取最小值，其最小值为______．4.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？5.(1)若二次根式有意义，求m的取值范围．(2)无论x取任何实数，代数式都有意义，求m的取值范围．6.若x，y是实数，且y＜,求的值.拓展提升7.先阅读，后回答问题：当x为何值时，有意义？解：由题意得x(x-1)≥0，由乘法法则得解得x≥1或x≤0.即当x≥1或x≤0时，有意义.体会解题思想后，试着解答：当x为何值时，有意义？ 参考答案自主学习一、知识链接问题1:一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.问题2:如果x2=a(x≥0)，那么x称为a的算术平方根.用表示.非负数.二、新知预习(1)(2)(3)2.自主归纳：(1)≥(2)非负数，非负数三、自学自测1.B2.x≤5合作探究一、要点探究探究点1：二次根式的概念及有意义的条件问题1:分别表示2，S，3，的算术平方根问题2:①根指数都为2;②被开方数为非负数.归纳总结：二次根式例1：解：(1)(4)(6)均是二次根式，其中a2+1属于“非负数+正数”的形式一定大于零.(2)(3)(5)(7)均不是二次根式.例2：解：由x-2≥0，得x≥2.【变式题1】（1）解：由题意得x-1＞0，∴x＞1.（2）解：∵被开方数需大于或等于零，∴3+x≥0，∴x≥-3.∵分母不能等于零，∴x-1≠0，∴x≠1.∴x≥-3且x≠1.【变式题2】解：(1)∵无论x为何实数，-x2-2x-3=-(x-1)2≤0，∴当x=1时，在实数范围内有意义.(2)∵无论x为何实数，-x2-2x-3=-(x+1)2-2＜0，∴无论x为何实数，在实数范围内都无意义.练一练：1.B2.(1)x≥1(2)x≥0且x≠2 探究点1：二次根式的概念及有意义的条件问题1:前者x为全体实数；后者x为非负数.问题2：当a＞0时，表示a的算术平方根，因此＞0；当a=0时，表示0的算术平方根，因此=0.这就是说，当a≥0时，≥0.归纳总结：(1)≥;(2)≥.例3：解：由题意可知a-2=0，b-3=0，c-4=0，解得a=2，b=3，c=4.所以a-b+c=2-3+4=3.例4：解：由题意得∴x=3.∴y=8.∴3x+2y=25.∵25的算术平方根为5，∴3x+2y的算术平方根为5．【变式题】解：由题意得∴a=3.∴b=4.当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10；当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11．练一练：解：由题意得3x-y-1=0且2x+y-4=0．解得x=1，y=2．∴x+4y=1+2×4=9.∴x+4y的平方根为±3.当堂检测1.C2.A3.-1;04.(1)∵a-1≥0,∴a≥1.(2)∵2a+3≥0,∴a≥(3)∵-a≥0,∴a≤0.(4)∵5-a＞0,∴a＜5.5.(1)解：由题意得m-2≥0且m2-4≠0，解得m≥2且m≠-2，m≠2，∴m＞2．(2)解：由题意得x2+6x+m≥0，即(x+3)2+m-9≥0.∵(x+3)2≥0，∴m-9≥0，即m≥9.5.解：根据题意得∴x=1.∵y＜，∴y＜∴ 5.解：由题意得则解得x≥2或x＜，即当x≥2或x＜时，有意义．